階行列式按行(或列)展開

1、三階行列式按一行或一列展開數(shù)學(xué)組孫冬梅教學(xué)內(nèi)容分析三階行列式按一行或一列展開是三階行列式計(jì)算的另外一種法那么， 學(xué)習(xí)這 種法那么有助于學(xué)生更好地理解二階行列式、三階行列式的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)這個(gè)法 那么也是較復(fù)雜的行列式計(jì)算的常用方法， 更是蘊(yùn)涵了數(shù)學(xué)問題研究過程中將復(fù)雜 問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的研究方法。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容主要圍繞代數(shù)余子式的符號 確實(shí)定研究三階行列式按一行或一列展開法那么。學(xué)情分析學(xué)生已掌握三階行列式的對角線法那么，并在計(jì)算過程中體會(huì)到對角線法那么展 開的不便。這種認(rèn)知和困惑是進(jìn)行本次課的一個(gè)有效開端，也是培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù) 學(xué)研究的有效思維路徑。教學(xué)目標(biāo)1掌握余子式、代數(shù)余子式的概念；

2、2經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、分析的數(shù)學(xué)探究，逐步歸納和掌握代數(shù)余子式的符號確實(shí)定方法和三階行列式按一行或一列展開方法，體驗(yàn)研究數(shù)學(xué)的一般方法； 體會(huì)用簡單二階行列式刻畫復(fù)雜三階行列式、將復(fù)雜問題簡單化的 數(shù)學(xué)思想.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)三階行列式按一行或一列展開、代數(shù)余子式的符號確實(shí)定。教學(xué)設(shè)計(jì)思路復(fù)習(xí)簡單的二階、三階行列式的展開，發(fā)現(xiàn)二、三階行列式之間的聯(lián)系，推 演至三階行列式的按一行或一列丘展開。過程中的難點(diǎn)是代數(shù)余子式的符號確 定，引導(dǎo)學(xué)生將符號的變化與一1*相聯(lián)系。通過相關(guān)例題，強(qiáng)化代數(shù)余子式展 開的原理，并體會(huì)其與對角線法那么的比擬優(yōu)劣。教學(xué)準(zhǔn)備學(xué)生已掌握二階、三階行列式的對角線法那么。教學(xué)過程一、情景引入

3、b2 C2b3C3aibiGa2b2c2=a3b3C3(說明將以下行列式按對角線法那么展開:(b2c3 - b3c2)aib2C3 azbsG一 QdQ 一 azbQ asbG)請學(xué)生展開幾個(gè)行列式的主要目的： 穩(wěn)固復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)的知識(shí)；同時(shí)，有助a b C|a2 b2 C2于學(xué)生發(fā)現(xiàn)三階行列式a3 b3 C3與相應(yīng)的二階行列式間的關(guān)系二、三階行列式的代數(shù)余子式展開的推導(dǎo)1、提問:請同學(xué)們觀察兩個(gè)行列式展開式的特征， 你能發(fā)現(xiàn)哪些有趣的現(xiàn)象?1、加式和減式成對出現(xiàn)；2、每一個(gè)乘積項(xiàng)的幾個(gè)元素取自不同行不同列 2、根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的特征，將三階行列式展開式中的正負(fù)項(xiàng)兩兩結(jié)合，得到: aQq azdq a

4、q -cdg -azdo -asbzG=印餉3 -鳥 a2©G -恥)asQc? -b?©)aia2a3bib2b33、比照、分析以上兩個(gè)行列式的展開式，你能將三階行列式含有幾個(gè)二階行列式運(yùn)算的式子嗎保持各元素的相對位置不變？ 進(jìn)一步，如何處理中間項(xiàng) 比2妨-b©的二階行列式表達(dá)？CiC2C3表示成bi Cia2 b2 C24、將三階行列式a3 b3 C3表示成幾個(gè)含有二階行列式運(yùn)算的式子，結(jié)果可能不唯aibiCia?b?C2a3b3C3，可以有三、知識(shí)整理與解析i、概念整理二 aib2bsC2C3aia2a2a3C3a2a3b2b3等等.在剛剛的實(shí)驗(yàn)中，將三階行

5、列式 算的式子：C2C3一 a2b2 c2其中二階行列式b3 C3a3bib2b3CiC2C3表示成了含有三個(gè)二階行列式運(yùn)bib3CiC3biqb3C3a3bib2bib2CiC2。CiC分別叫做元素ai，比，a3的余子式，添上相應(yīng)的符號正號省略，如b2b3C2C3人biACiC3bib2CiC2A、A、A3分別叫做元素ai，a2，a3的代數(shù)余子式于是三階行列式可以 表示為第一列的各個(gè)元素與其代數(shù)余子式的乘積之和：a1 b1 a2 b2 a3 b3CiC2C3=aiC2biCibiCi_a2C3b3C3b2C2b2b3像這樣的展開，我們稱之為三階行列式按第一列展開.2、代數(shù)余子式的符號確定探索

6、提問:我們能否類似的將三階行列式按其余的行或列展開?學(xué)生實(shí)踐例如:aia2a3bib2b3CiC2C3-bia?C2a3C3b2Cia3C3aiCia?C2等等.從上述研究，我們不難發(fā)現(xiàn)這種展開方法的關(guān)鍵是要找到三階行列式某一行 或某一列各個(gè)元素的代數(shù)余子式不難發(fā)現(xiàn)， 要確定某元素的代數(shù)余子式，我們 可以先確定其余子式，然后確定代數(shù)余子式符號，而最主要的就是其符號確實(shí)定.提問:如何確定每一個(gè)代數(shù)余子式的符號？試根據(jù)以推得的代數(shù)余子式的展開式進(jìn)行研究討論。說明1以上主要由學(xué)生合作完成，目的主要是讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、歸納、猜測、抽象 并獲得新知的過程；2通過上述研究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：確定某個(gè)元素的余子式

7、其實(shí)就是將這個(gè)元素所在的行和列劃去，將剩下的元素按照原來的位置關(guān)系所組成的二階行列式；而這個(gè)元素的代數(shù)余子式與該元素所在行列式的位置即第i行，第j列有關(guān)，其代數(shù)余子式的正負(fù)號是“"廠.一般地，三階行列式可以按其任意一行或一列展開成該行或該列的各個(gè) 元素與其代數(shù)余子式的乘積之和.其中，最關(guān)鍵的是確定三階行列式某一行或某 一列各個(gè)元素的代數(shù)余子式尤其是其符號.四、例題講解-23i302 i例題i按要求計(jì)算行列式：一2 01按第一行展開；2按第一列展開；3自選一行或一列展開。說明i 一個(gè)三階行列式可以按其任意一行或一列展開，其中，最關(guān)鍵的是確定三階行列式某一行或某一列各個(gè)元素的代數(shù)余子式尤

8、其是其符號；當(dāng)一個(gè)三階行列式的某一行或某一列元素中，0的個(gè)數(shù)較多，我們往往將行列式按照該行或該列，這樣計(jì)算往往比擬方便. 例題2.化簡：1 0 0a 001 a _1 a _1b d e(1)、 1-22、c 0 f說明讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察比擬兩種行列式展開的特點(diǎn)，選取不同的展開方式進(jìn)行三階 行列式的展開。1選擇代數(shù)余子式展開較優(yōu)；2選擇對角線法那么展開較快。四、課堂小結(jié)1余子式、代數(shù)余子式的概念；2三階行列式按一行或一列展開方法.五、作業(yè)布置作業(yè)冊相應(yīng)一節(jié)練習(xí).教學(xué)反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是三階行列式按一行或一列展開方法，從內(nèi)容上看，這 局部內(nèi)容與上節(jié)課一樣，同樣概念性比擬強(qiáng)，同樣容易上成教師“一堂言的枯 燥無味的數(shù)學(xué)課，但是這局部內(nèi)