平面向量數(shù)量積及運(yùn)算律

1、5.6平面向量數(shù)量積及運(yùn)算律利用定義求向量的數(shù)量積例1.已知a=4,b=5,當(dāng)(l)a/b(2)a_Lb,(3)與的夾角為30,時(shí)，分別求與的數(shù)量積。分析：已知，a與b，求ab,只需確定其夾角，須注意到a/b時(shí)，有6=0°和6=180。兩種可能。解：(1)a/b,若與同向，貝U0=0ab=abcos0'=4x5=20；若與反向，貝U=180,ab=abcos180"=4®(-1)=-20,當(dāng)a_Lb時(shí)，9=90°,ab=,abcos90”=0,(2) 當(dāng)與的夾角為30時(shí)，ab=abcos30=4g；=10心.小結(jié)：(1)對于數(shù)量積ab=a，bco

2、s，其中的取值范圍是0,180可；(2)非零向量和，a_Lbuab=0；(3)非零向量和共線的充要條件是ab=±ab.向量性質(zhì)描述的判斷例1.已知、是三個(gè)非零向量，貝U下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為()ab=ab-a/b；、反向仁ab=-aba_Lbua+b,=a-b；a=叫仁ac'=bcA.1B.2C.3D.4分析：需對以上四個(gè)命題逐一判斷，依據(jù)有兩條，一是向量數(shù)量積的定義；二是向量加法與減法的平行四邊形法則.中ab=|abcos，由ab=|a，b及、為非零向量可得cos=1,0=。或，a/b且以上各步均可逆，故命題是真命題.中若、反向，貝U、的夾角為，a，b=|a|b<e

3、b兀=-ab且以上各步均可逆，故命題是真命題.中當(dāng)a_Lb時(shí)，將向量、的起點(diǎn)確定在同一點(diǎn)，則以向量、為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩對角線長相等，即有a+b=a-b.反過來，若a+b=a-b,則以、為鄰邊的四邊形為矩形，所以有a_Lb，因此命題是真命題.中當(dāng)a=b但與的夾角和與的夾角不等時(shí)，就有ac#|bc,反過來由ac=bc也推不出a=|b.故命題是假命題.答案：C小結(jié)：（1）兩向量同向時(shí)，夾角為0（或）；而反向時(shí)，夾角為（或180"）；兩向量垂直時(shí)，夾角為90°,因此當(dāng)兩向量共線時(shí)，夾角為0或，反過來若兩向量的夾角為0或，則兩向量共線.（2）對于命

4、題我們可以改進(jìn)為：a=|b既不是ac=bc的充分條件也不是必要條件.利用向量垂直證明平面幾何垂直問題例1.如圖，已知AABC中，NC是直角，CA=CB，是的中點(diǎn)，是AB上的一點(diǎn)，且AE=2EB.求證：AD_LCE.分析：借助向量垂直的充要條件解題，即證明ADCE=0.證明：設(shè)此等腰直角三角形的直角邊長為，則ADCE=ACCDCAAE=ACCACDCAACAECDAE222a222=a0aaa223222212=-aaa=0.33所以ADDE.小結(jié)：用向量方法證明幾何問題時(shí)，一般應(yīng)把已知和結(jié)論轉(zhuǎn)化成向量的形式，再通過相應(yīng)的向量運(yùn)算完成證明，不難發(fā)現(xiàn)，利用實(shí)數(shù)與向量的積可證明共線、平行、長度關(guān)系等

5、方面的幾何問題，利用向量的數(shù)量積可解決長度關(guān)系、角度、垂直等幾何問題。判斷四邊形形狀例1、平面四邊形ABCD中，屈=a,BC=b,CD=C,DA=d,且ab=bc=cd=da，判斷四邊形abcd的形狀.分析：在四邊形ABCD中可知，a+b+c+d=0，故4+b=（C+d）,兩邊平方后,根據(jù)題設(shè)可得四邊形ABCD邊長的關(guān)系，由此從四邊形的邊長及內(nèi)角的情況來確定四邊形的形狀.證明：由四邊形ABCD可知，a+b+c+d=0（首尾相接）a+b=-(c+d)，即(a+b)2=(c+d)2展開得-2一a+2ab+b.2.=c+2cd+dT2+d2.2=b+c(2)同理可得b=d,a=R,即AB=|CD,B

6、C=DA,故四邊形ABCD是平行四邊形又ab=bc，即bGc)=0,.b(2a)=0即a_LbnAB_LBC故四邊形ABCD是矩形特別是幾何圖形形狀的判小結(jié)：利用向量數(shù)量積及有關(guān)知識(shí)，可以解決許多幾何問題,斷，因?yàn)橄蛄糠e與長度（模）和角有關(guān).如用向量證明等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊.如圖所示，iABC為等腰三角形AB.=AC,為底邊BC的中點(diǎn).設(shè)AB=a,AC=b,a=b,BC=ba,1_AD=(ab)2二bcAD=(b打)；(b+a)=；(b-a)=0故AD_LBC，命題成立.求向量夾角的余弦例1.設(shè)a=6,b=10,£b=4招，則與的夾角的余弦值為.分析：要求夾角需先求出ab

7、的值。解：a-b=4<6,2_222ab=(ab"(ab)=a-2ab+b=|a+|b-2ab=446)-把a(bǔ)=6,b=10,代入得ab=20.由ab、bcos6，得20=6乂10區(qū)cos。，于是1cosH=32小結(jié)：本題涉及了平面向量的數(shù)量積的概念，性質(zhì)a，a=a2=a以及有關(guān)運(yùn)算律，體現(xiàn)了較強(qiáng)的綜合性.向量垂直例1、已知向量i,j為相互垂直的單位向量，設(shè)a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,(a+b)_L(a-b)，則m=.分析：本題考查向量運(yùn)算，兩向量垂直的充要條件.解：由題設(shè)可知a+b=(m+2)i+(m-4)j,biab=mi+(m2)j.由(a+b)(40=

8、0,得(m+2)i+(m4)jmi+(m2)j=0,即(m+2)m+(m4)(m-2)=0，得m=-2.小結(jié)：解決本題時(shí)，應(yīng)注意ij=0,i=j=1.另外，解本題時(shí)，也可利用向量的坐標(biāo)表示求解，即a+b=（m+2,m4）,ab=（m,m2）,再運(yùn)用向量垂直的充要條件求出m的值.向量垂直的證明例1.已知非零向量和夾角為，且（a+3b）_L（7a_5b），求證：（a_4b）_L（7甘-2b）.分析：欲證兩個(gè)向量垂直只需證明它們的數(shù)量積為零.*1T、.一-一，-，一一.QI,證明：因?yàn)楹蛫A角為，所以a.b=a.bcos60=a.b；又因?yàn)?（a+3b）_L（7a5b）,所以（a+3b）（755b）=

9、0,即7亍+16b15b2=7司2+16尺1叵b15b2=7£2+85,b15b2=0,（7+15b），何一b）=0,|5b=0,即5=b.因?yàn)橐灰?一=221|一一22（a4b）（7a2b）=7a30ab+8b=7,a30尺1赤+8日=7a15b+8b把，a=b代入上式消去b得侄4b），（7£2b）=7a215aa+8a2=0.所以（£-4b）_L（7d-2b）.小結(jié)：這也是垂直的證明問題，但不是從平面幾何的角度，而是直接從數(shù)量積的角度給出條件，再運(yùn)用數(shù)量積的有關(guān)知識(shí)解決問題.向量垂直時(shí)的參數(shù)值例1.已知a_Lb,a=2,b=3，當(dāng)（3：2b）1（A+b）時(shí)，求

10、實(shí)數(shù)的值.分析：求一個(gè)實(shí)數(shù)的值，運(yùn)用方程的思想，建立一個(gè)方程，通過解方程使問題得解.解：二a_Lb,.ab=0.（3日一2b）aa+b）,（£2b）（a+b）=0,即3a2+（32兀）ab2b2=0,3兀a*2+（32兀）3b2b2=0米.把切=2,b=3,223ab=。代入式，礙3人2+（32九）023=0,二人=.2小結(jié)：通過向量垂直兩向量的數(shù)量積為0,建立等式將向量問題轉(zhuǎn)化為方程求解.向量的夾角例1、已知不共線向量，a=3,b=2，且向量a+b與a2b垂直.求：與的夾角的余弦值.分析：由向量數(shù)量積定義知cosabn-|,所以需求ab之值.由已知得a|b|(a+b)(a2)=0，

11、從中可求得ab之值.解：v(a+b)(a2b)垂直，.(ab)(a-2b)=0根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律得ab=abcos6b=2ab1口，cose=F=，即為所求.|a|b|6小結(jié)：非零向量a_Lbua，b=abcose=0是應(yīng)用向量解決有關(guān)垂直問題很重要的手段，特別是根據(jù)向量數(shù)量積的定義，把研究形的問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題，如已知a=1b=2,與夾角為60，問當(dāng)取何值時(shí)，(ka+b)與(3a2b)垂直，lab=abcos60°=1，由(ka+b)(3a-2b)=0可求得k=5.向量數(shù)量積的運(yùn)算例1、已知向量為相互垂直的單位向量，a+b=2i-8j,ab=8i+16j,那么ab=.分析：應(yīng)

12、先求出a,b,再計(jì)算ab.解：由已知a+b=2i-8j,a-b=-8i十16j,+得a-3i4j.一得b=5i-12j.故ab=(-3i4j)(5i-12j)=-15-48=-63.小結(jié)：解決本題也可利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，或4a心=(a+b)2-(a-b)2求解.已知平行四邊形對角線一半的數(shù)量積例1、如圖所示，已知平行四邊形ABCD,AB=a,AD=b,日=4,Ib=2，求:OAOB.分析：根據(jù)向量數(shù)量積定義OAOB=OAOBcosH，來求OAOB顯然不行，因?yàn)镺A,OB,cos都無法確定2 怎么辦呢？由于OA=1AC,OB=DB,22AC=a+b,DB=ab，由此OAOB=】ACDB=La+b)(a-b)41-4(a_2_P_Hb)，從而可求得OAOB.AC=a+b,DB=ab解：ABCD為平行四邊形，根據(jù)向量的加、減法法則知:.ACDB=(ab)(a-b)-2-2=ab=12二"O點(diǎn)為平行