高等數(shù)學競賽試題(打印版)

1、競賽試題1一、填空：nsinx-e-,x0,一一假設(shè)f(x)=arctan是(-8,y止的連續(xù)函數(shù),那么a=ae2x-1,x三0,2.函數(shù)y=x+2sinx在區(qū)間口,J上的最大值為,23.4.3/*2y2=12繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(0,3,V2)處的指向外側(cè)的單位法向量為z=05.設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程z-y-x+xez_y=拒所確定,那么dz=二、選擇題：1.設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo),并且f1所確止,求du,1ud2ydx2x=9五、設(shè)n為自然數(shù),計算積分In2sin2n1x0sinxdxox六、設(shè)f(x)是除x=0點外處處連續(xù)的奇函數(shù),x=0為其第一類跳躍間斷點,證實Lf(t)d

2、t是連續(xù)的偶函數(shù),但在x=0點處不可導(dǎo).證實：七、設(shè)f(u,v)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),z=f(x2_y2,cos(xy),x=rcosS,y=rsinS,證實:=2xysin(xy).:ujv八、設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù),在點u=0處可導(dǎo),且f(0)=0,f(0)=-3求：limJ4口fq1x2+y2+z2dxdydz.Tttx24y2七2包2九、計算1M請就其中L為x+x+y=1正向一周.十、(1)證實：當x充分小時,不等式0Etan2x-x2Wx4成立.n設(shè)xn=Ztan2k11一、設(shè)常數(shù)k1n2-1,證實：當x0且xw1時,(x-1lx-1n2x+2k1nx-1)0證實：十二、設(shè)勻質(zhì)半球殼的半徑為

3、R,密度為內(nèi)在球殼的對稱軸上,有一條長為l的均勻細棒,其密度為p.假設(shè)棒的近殼一端與球心的距離為a,aR,求此半球殼對棒的引力.競賽試題2一、選擇題1 .以下命題中正確的命題有幾個？()(1)無界變量必為無窮大量；(2)有限多個無窮大量之和仍為無窮大量；(3)無窮大量必為無界變量；(4)無窮大量與有界變量之積仍為無窮大量.(A)1個；(B)2個；(C)3個；(D)4個.12.設(shè)f(x)=%g(x)xsinx再那么xm是間斷點的函數(shù)是()0,1,X=0(A)f(x)+g(x)；(B)f(x)-g(x)；(C)maxf(x),g(x)；(D)minf(x),g(x).3 .設(shè)：為f(x)m漏門*在

4、0,b上應(yīng)用拉格朗日中值定理的中值,那么虹0涓=(A)1;(B)1;(C)3;(D)1.4 .設(shè)f(x),g(x)連續(xù),當xT0時,f(x)與g(x)為等價無窮小,令F(x)=(f(xt)dt,1G(x)=xg(xt)dt,那么當xT0時,F(x)是G(x)的()(A)高階無窮?。?B)低階無窮??；(C)同階無窮小但非等價無窮??；(D)等價無窮小.5 .設(shè)f(x,y)在點(0,0)的某鄰域內(nèi)連續(xù),且滿足lim,f(x,y)f(0,0l=上那么f(x,y)在點(0,0)處()j二0x1xsiny-cosy(A)取極大值；(B)取極小值；(C)無極值；(D)不能確定是否有極值.6 .設(shè)f(x)在(

5、多位)連續(xù),且導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖形如下圖,那么f(x)有()(A) 1個極小值點與2個極大值點,無拐點；(B) 2個極小值點與1個極大值點,1個拐點；(C) 2個極小值點與2個極大值點,無拐點；(D) 2個極小值點與2個極大值點,1個拐點.(1,2)7 .設(shè)f有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),那么(f(x+y)dx+f(x+y)dy=(),(U,0)(A)2jf(x)dx；(B)jf(x)dx；(C)f_f(0);(D)0.8 .設(shè)任意項級數(shù)fan條件收斂,將其中的正項保存負項改為0所組成的級數(shù)記為fbn,將其中的負項保n1-.n.1留正項改為0所組成的級數(shù)記為fCn,那么京bn與：fcn()n1n_1n

6、_1(A)兩者都收斂；(B)兩者都發(fā)散；(C)一個收斂一個發(fā)散；(D)以上三種情況都可能發(fā)生.二、設(shè)f(x)在區(qū)間(-,w連續(xù),F(x)=f+f(t)dt(a0),G(x)=jf(t)dt,2a.x30試解答以下問題：(1)用G(x)表小F(x);(2)求F(x);(3)求證：嗎F(x)=f(x);(4)設(shè)f(x)在x-a,x+a內(nèi)的最大值和最小值分別是M、m,求證：|F(x)_f(x)三Mm.三、求曲線|lnx+jlny|=1所圍成的平面圖形的面積.四、設(shè)曲面S為曲線產(chǎn)e(1y0,“*)在(田2)內(nèi)恒有f(x)0且|f(x)|x2,記I=ff(x)dx,那么有().a(A) I=0;(B)I

7、0;(C)I0;(D)不確定.x4.設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(0)=0,f(0)0,F(x)=(x2t2)f(t)dt,當xt0時,F(x)與xk是同階無分小,-0那么k=(B)(A)4;(B)3;(C)2;(D)1.2、兒L,x2y2=0E5 .設(shè)f(x,y)/x?+y,那么0,x2y2=0(A)不連續(xù)；(C)可微；6 .設(shè)a=i+j,b=_2j+k,那么以向量a、f(x,y)在點(0,0)()(B)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在；(D)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微.b為邊的平行四邊形的對角線的長度為(b的值,使limf(x)與limf(x)都存在.x1x-4axdydz-2(xa)ydzdx、x2y2z

8、2-1五、x0=1,x2,x34(B) 3,11;(C)3,.10；(D)2,.11.7 .設(shè)L1與L2是包含原點在內(nèi)的兩條同向閉曲線,L2在L1的內(nèi)部,假設(shè)及2xdx：ydy=k(k為常數(shù)),那么L2x.y有皿號承()(A)等于k;(B)等于上；(C)大于k;(D)不一定等于k,與L2的形狀有關(guān).8 .設(shè):fanxn在x=1處收斂,那么J-ajx-1)n在乂=0處()nn：6n12nl2K、設(shè)f(x)=nm、x2na；x(zN),試確定a、設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù),且F(0)=1,F(x)f(x)=cos2x,求廣|f(x)|dx.-0四、設(shè)G4x,y,z)ER314a2x2y2Ez

9、0,S為.的邊界曲面外側(cè),計算求證：(1)數(shù)列4收斂；(2)4的極限值a是方程x4+4x-1=0的唯一正根.六、設(shè)f(x,y)在單位圓上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且在邊界上取值為零,求證:ffxylimIxgdxdy=_2nf(0,0),其中D為圓環(huán)域：2x2+y2lnx(15分)六.2t,一設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù),且F(1)=n,當x0時,有f(x)F(x)=4Iarctan、x一x(1x),試求f(x)o(15分)x.c0jllim(ax-sinx)=0limfb七.假設(shè)曲線Li：y=1-x2(0xx軸和y所圍成的平面區(qū)域被曲線L2:y=ax2分為面積相等的的兩局部,其中a是大于零的常數(shù),試確

10、定a的值.(15分)八.函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=0,f(1)=1,證實:(1)存在(0,1),使得f優(yōu))=1-%(7分)(2)存在兩個不同的點L%使得f()fd)=1(8分)解答提示：一.x=0,時y=1兩邊對x求導(dǎo),再將x=0,y=1代入即可.1n:t)dt=0,故必有：b=0.再用洛必達法那么推出a=1,c=1/2.作變換以-1=t即可四.構(gòu)造輔助函數(shù)5J)=*),在區(qū)間0,1應(yīng)用羅爾中值定理.2五.構(gòu)迫輔助函數(shù)F(x)=x+1-證實其在(0,+訥只有一個極小值點,x-故對一切xQ者B有：F(x)之F(三22、31.八一)=-+-ln2022六.由f(x

11、)=F(x),知F(x)F(x)=,ctaxx(1x)即F(x)dF(x)=2arctan、xdarctan.x1解出F(x)=arctanxC2代入初始條件即得f(x)=(x0)2、x(1x)七.先求出兩條曲線交點的橫坐標x=-積分f(1-a11a-1x2-ax2)dx=2,13.a13*1a八.(1)構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)1+x,在0,1上應(yīng)用零點存在定理即可.(2)利用(1)的結(jié)果,分別在0,引和仁,1上對f(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理即可.競賽試題5一、計算題9十x求5dxx12 .求15m11(1x)x-(12x產(chǎn)sinxb3 .求p的值,使a(x+P)2007(xp)2edx

12、=04.2設(shè)X/xW(*,+),f(x)0,且0Wf(x)W1e,求f(x)的表達式5.計算口(x2+y)dS,其中S為圓柱面x2+y2=4,(0z1)s、一121、設(shè)un=1-23412.-十IH+563n-23n-13nVn二n1n21州43n求(1)u10V10(2)limUnE為DB的中點,現(xiàn)將紙卷三、有一張邊長為4n的正方形紙(如圖),C、D分別為AA、BB的中點,成圓柱形,使A與A重合,B與B重合,并將圓柱垂直放在xoy平面上,且B與原點O重合,D落在Y軸正向上,此時,求：(1)通過C,E兩點的直線繞Z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程；(2)此旋轉(zhuǎn)曲面、xoy平面和過A點垂直于Z軸的平面所

13、圍成的立體體積.=(x,y,z)|1x2+y2+z20,b0)qQ2.設(shè)幕級數(shù)anxn的系數(shù)滿足a0=2,nan=an+n-1,n=1,2,3,n0求此事級數(shù)的和函數(shù)s(x)ox1,x解方程s(x)=ce+由s(0)=13s(x)=e+1-x1-x3.f(x)二階可導(dǎo),且f(x)0,f(x)f(x)-If(x)f0,xwR(1)證實f(Xi)f(X2)-f2(x1x2Vxi,X2=R(2)假設(shè)f(0)=1,證實f(0)xf(x),e,xR4 .求limx_01(1x)x-eln(1x)x二cos(t2)5 .設(shè)t2_u2e,求96.sinududxdx(1x2)(1x:)7 .設(shè)函數(shù)f(x)滿

14、足方程,exf(x)+2e7rf(n-x)=3sinx,xwR,求f(x)的極值.8 .證實當xw(jn)時,21-sinxln(1sinx)1sinx10 .設(shè)lim(2x-3/1-x3-ax-b)=0,x-y二求a,b的值sinx2sin1x9.求limx0ln(1x)11 .設(shè)f(x)=x2-2x-312 .某水庫的泄洪口為圓形,半徑為下降多少米時,泄洪口被蓋住一半?1米,現(xiàn)有一半徑為2米的閘門懸于泄洪口的正上方(如圖)問閘門113 .y=f(x)是0,1上二階可導(dǎo)函數(shù),且f(0)=1,f(1)=12f(1),證實:Ue(0,1)使得f(匕)=1.證實競賽試題7一.選擇1.函數(shù)z=f(x

15、,y)在點(x0,y0)處連續(xù)是它在該點偏導(dǎo)數(shù)存在的:A、必要而非充分條件;C、充分必要條件；B、充分而非必要條件；D、既非充分又非必要條件2.設(shè)u=arctanyx,那么電=A、:xyb2,2B、xyC、D、-x2xy3.曲線弧aB上的曲線積分和BA上的曲線積分有關(guān)系:A、.ABf(x,y)ds=-BAf(x,y)dsB、.abf(x,y)ds=BAf(x,y)dsC、.ABf(x,y)ds.BAf(x,y)ds=0.ab“x,y)ds=BAf(-x,-y)ds=04.設(shè)I1=JJln(x+y)7dxdy,I2=JJ(x+y)7dxdy,I3=fsin7(x+y)dxdy其中D是由x=0,y

16、=0,x+y,x+y=1所圍成的區(qū)域,那么I1,I2,I3的大小順序是A、I1I2I3;二、填空題B、I3I2I1；C、I1I3I2；D、I3I1I2.5.設(shè)u=xy,丫,貝U-u=xFy6.函數(shù)f(x,y)=esin(x+2y)在點(0,三)處沿y軸負向的方向?qū)?shù)是.4227 .設(shè)C表示橢圓勺+%=1,其方向為逆時針方向,那么曲線積分%(x+y2)dx=ab2cc8 .設(shè)I=JJJ(3ysiny+ztanx+3)dv,貝I=xyz三、計算9 .求極限Hm0y02210 .函數(shù)z=z(x,y)由方程sin(xz)+3x-z=1+lny所確定,求：xx=00y=111 .求函數(shù)z=x3+y2-x

17、y-x的極大值點或極小值點.12 .設(shè)閉區(qū)域D:x2+y20.f(x,y)為D上的連續(xù)函數(shù),且f(x,y)=丫；1一x2-y2口f(u,v)dudv,求f(x,y)1c.13 .計算二重積分Hxdxdy,其中D是由拋物線y=x2及直線y=x+4所圍成的區(qū)域.d214 .計算I=川2yzdv,其中.是由x2+z2=1,y=0,y=1所圍的位于z方暗B分的立體.615 .L是由x2+y2M1,0MyMx所確定的平面域的邊界線,求cosdx2+y2ds.16 .計算曲線積分(xsin(x2+y2)dx+ycos(x2+y2)dy,式中L是正向圓周x2+y2：四、證實題17 .試證曲面xyz=a3的切

18、平面與三個坐標面所圍四面體的體積為常數(shù).證實：曲面上點切平面法向量競賽試題8一.填空題JIlimX01假設(shè)ax-sinxx3二c(c=0)Uldtbt,試確定常數(shù)a一,b=_,c=_2設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù),且F(1)一二4f(x)F(x),當X0時,有arctan、x.x(1x)那么f(x)3.設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(0)=0,f(0)x22F(x)=(x-t)f(t)dt0,當x0時,F(x)與是同階無窮小,那么k=.0i(x)1dx4.設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù),且F()=1,F(X)f(x)=cos2x,那么x22F(x)=(x2-t2)f(t)dt2f(0)5,當XT

19、0時,p的導(dǎo)數(shù)F(叩與乂為等價無窮小,那么1()=6 .設(shè)y(x)是微分方程y*+(x-1)y+xy=e的滿足y(0)=,y(0)=1的解,那么lim&px0x=27 .設(shè)巴為f(x)=arCtan,b上應(yīng)用拉格朗日中值定理的中值,那么叫0b2lnx+lny=18 .曲線Inxy1所圍成的平面圖形的面積是cosx,9,求y=(sinx)的導(dǎo)數(shù).y=11一110.求極限n：n21j22/n2n2).二.計算題3dxf12421 .求x1x2 .設(shè)f(x)在x0處連續(xù).證實：在x0的某鄰域(x0-6,x0+肉)f(x)有界3 .設(shè)y=ln(secx+tgx),求y4,設(shè)f(x)在區(qū)間(*連續(xù),1x-aF(x)二癡xJxG(x)=f(t)dt試解答以