特征值特征向量的計(jì)算

1、第五講特征值與特征向量定義設(shè)A是n階矩陣，若有在數(shù)Q及非零向量X,使得AX=AX XQ則稱A是矩陣A癱筵國(guó)，X是矩陣A屬于特征值X的特征向班 計(jì)算特征值的方法（1）定義法（2）特征多項(xiàng)齊 盟-4|法特征向量的求法I（1）定義法（2）基礎(chǔ)解系法仇一*技=0若 AX=AX,XO化磁二0,即（巫-蟲(chóng)）X=0 XhO 于是/是齊次方程組（砸-丿）孟=0的非零解。 故 AE-A=Q定義設(shè)4二為一個(gè)n階矩陣，則行列式稱為矩陣A的特乎多項(xiàng)式（Q的n次多項(xiàng)式） 對(duì)于n階矩陣E-A=Q可求出A的特值人（共n個(gè)） 對(duì)每個(gè)恃征值人由 （尋一如=0，求基礎(chǔ)解系，即人的線性無(wú)關(guān)的特征向量。定理I設(shè)A是n階矩陣，兀婦，幾

2、是A的特征值，貝J呦二翠二護(hù)一+么22 + 介33）護(hù) +311 ai2 占21 a22幺22儀23a32 a33（2）國(guó)二m、兔1如2如3幾_尙1 _如2a13旬1 22 23 |zi5-4| =a21 2_刎_切361 勺 2 )a31_巧2 a33兒一匕訂（）-如（)-時(shí)A-2訂0巧2 0-勺3(-知_畋2)-畋3AE-A =Or21 2 -咕0-%3(-他1 01。32 _如0 c31 0-d32 乂-巧3第一子列第二子列二仇-易)(4仇-右=護(hù)-(/?1 +九+箱)護(hù)+ (易嘉+玄恣+ 4召)2-入為血 71 + a22 + “33 + *2 +j -2/3 （$ 若尸（&=1,込恥

3、才- m才二來(lái)（2一蝕）M-1丿故A的特征值是R二財(cái)，人二急二0一般地，陌n階矩陣，廠（*）二T逝則固-牛|才茲曠1Xkl L例1設(shè)A是n階矩陣，所有元素都是1,那么A的n個(gè)待征值是分析： 阻一廈卜才一加(2)用特征多項(xiàng)式具體地算:1例2求A= 240 03 0的特征值，特征向量。5 6解由特征多項(xiàng)式2-1 0AE-= _2 A-3-4-500 =U-l)U-3)U-6)2 6所以,A的特征值是=3,X=6o 注意:上三角矩陣、下三角矩陣、對(duì)角矩陣的特征值就是主對(duì)角線元素。解 = 1,42 = 3過(guò)程略。對(duì)入=卻由(6-)a=0(接上)500-230-4-507$X = 0T 2忑 +3乃=09:.x= 0是2 = 6的特征向量。歐九=6的特征向量是畫空業(yè)-2例 3 求 4二 一2 14-4的特征值，特征向量。-2 -4 14解由特征多項(xiàng)式Z-17還川二22Z-1720不要息于展開(kāi)，要把久變成因子提出來(lái)二-17242 10二仇_18)2(2_9)二口一18)(/-272 + 162)-822 2-542-54J1-124|000，故A的特征值是入二易=18,堪二9對(duì)兄二9,由（9E 4葉二095- = 0,r(9E A) = 29S-A=0, r(9E A)二 2令 i3 = 2 = x2 = 2 = 1心二2是2=9的特征向禹歹全部的特征向量七內(nèi)（際= 0）。J2丿對(duì) 2