習(xí)題1部分習(xí)題解答

1、習(xí)題習(xí)題1 部分部分習(xí)題解答習(xí)題解答1.(5)xyyyxyyyx計算下列行列式：333222=xyyxyxyxy解：原式332=23xyxyc1+c2c1+c32=xyyyxyyyx解法 ：222xyyyxyxyxyyx20000 xyyyxyxy2131rrrr2(2 )()xy xy2.(1)abxabaxcdycdcy證明下列等式：()()abxa dyc bxcdy解：根據(jù)二階行列式的定義：adbcaycxabaxcdcy2.0(2) 10baabefcddc證明下列等式：00 1 010e cbfdaa ebcfd 解：根據(jù)3階行列式的定義：左式=adbcabcd4. (1) 17

2、52 6ij求相應(yīng)的i,j值：成偶排列；：由于排列是7階排列，i,j是 3,4解 或 4,312345673,4(17 523+46)ij當(dāng)時，03 12 1 1 08 3417 52 63,4ij是偶排列，此時，4,3 17 52463ij 時，是奇排列，不符合要求。1 212 15. ,nn niiimi ii i如果排列的逆序數(shù)為求排列 的逆序數(shù)。1 21 22 , ,nqnpqnpiiimiiiii iipqC： 若 ()=排列中任何兩個數(shù)按排列中的次序配對（其解中），共有種配對.122,pqnnCmiimiii在排列中有個配對是正序的，有 個配對是逆序的。1221(),nqnpnCm

3、i ii ii iqpm在排列中有個配對其中是逆序的，有 個配對是正序的。1221(1)2nnni ii in nCmm()=6. 計算各排列的逆序數(shù)并判斷排列的奇偶性。（1）2653841712345678 + =6+0+2+3+1+0+1+0=13：(26538解417)= 26538417是奇排列。2(1)21n n（ ）(1) 2n n：(n(n-1)21)=解441nknk當(dāng)或時，排列是偶排列；否則為奇排列。32 (22)42(21)(23)31nnnn（ ） 24222132321 2 (22)42(21)(23)31nnnnnnnn解：()=414nknk 當(dāng)或3時，排列是偶排列

4、；否則為奇排列。(1)(2)1 0(21)(23)3 1nnnn 2(1)2(31)2n nnnn1235417ijaa a a 寫出5階行列式中含有因子的項。2525(251)1235411223541525 (-1) 3,4 4,3jjjja a aa aa a aj j解：含有因子的項：其中，是或(2 51 )(2 51 )122354151223534433443415 (-1)+(-1)a a a a aa a a a a所求項：34122354154312235415=a a a a aa a a a a27311408( )0152123xxf xxx 在多項式中，求 的系數(shù)。2

5、(42)(131 24 3)1123134422443(41)1132322344132 ( 1)( 1)( 1)xa aaaaaa aaaa a ：項解含有 的：222262= ( 1)5 1 ( 1)02( 1) ( 1)23xxxxx 290nDnnD 證明：如果 階行列式 含有多于個元素 為零，則n0. D=0.D：行列式 不為零的元素少于n個, 行中至少 有某一行的元素全為則解1000000000ababbaba 用行列式的定義計算下列行列式：（3）(1234)(1324)1122334411233244(4231)(4321)1422334114233241( 1)( 1) ( 1

6、)( 1)a a a aa a a aa a a aa a a a 式解：原0412252264222( 1)( 1)( 1)( 1)()aa bb abab 12101000100010naaa 用行列式的定義計算下列行列式：（5）( 12(1)12132,1( 1)nnnn na a aa 式解：原11( 1)1 11( 1)nnnnaa 3333333333333333111234412334122341 利用行列式的性質(zhì)計算下列行列式：（4）33333333333333333333333333331 +2 +3 +42341 +2 +3 +41231 +2 +3 +44121 +2 +

7、3 +4341：原式解3333333333333333123411231 +2 +3 +414121341 （）33312340-7-19-37100056-26-5601937-633333 8 24 3 212340-7-19-3710000-178-3520220-174rrrr33312340-7-19-3720000-178-3520110-873332 7 41234005157220000-178-3520110-87rr33324123401108720000-178-3520051572rr3333+3 4123401108720000-2513640051572rr 333

8、4+2 3123401108720000-2513640013300rr 3333+25 41234011087200000838640013300rr333341234011087200001330000083864rr200 1-183864-16772800 （ ）11xxxaxxaxxaxxaxxx 利用行列式的性質(zhì)計算下列行列式：（5）(1)(1)(1)(1)anxxxaanxxaxanxaxxanxxxx：原式解21311(1)000000000nrrrrrranxxxaaxaxxa1(1)000000000nccaxxanxaxaxxa(1)12( 1)(1) )()n nnan

9、x ax 11000000 xxxaaxaxax 利用行列式的性質(zhì)計算下列行列式：（6）201,; 2,anxxanxax：當(dāng)時，若原式若原式解n3=0若，原式1122a0(1)000000000nnnnxccaxccaxccaxxxxanaaaa當(dāng)時，原式(1)2222( 1)(1)n nnaanx 22122lg42lg51cossin011221 證明下列等式：（1）222lg42lg51cossin2112( 21)( 21)：式證原232222lg42lg52lg51cossinsin12( 21)21cc232222lg511sin1121cc0112233123112233123

10、112233123122xyxyxyxxxyzyzyzyyyzxzxzxzzz 證明下列等式：（2）11223332112233112233ccxyxyxyyzyzyzxyxyxy證：原式1231+ 3112233112233222ccxxxyzyzyzxyxyxy1231122331122332xxxyzyzyzxyxyxy123311122331232rrxxxyzyzyzyyy123231231232rrxxxzzzyyy1231231232xxxzzzyyy123231231232rrxxxyyyzzz12231131221231anananan 證明下列等式：（3）1+ 2131(1

11、)(2)232(1)(2)132(1)(2)222(1)(2)2312nccccccnnannnaannnaannnaan原式證：1(1)(2)(1)2nnnaa123113(1)(2)() 12221231nannnaanan213111230100(1)(2)() 001020001nrrrrrrnannaaa1(1)(2)(1)2nnnaa0120001000100=0000001niin iabababababa bababab 證明下列等式：（4）=nD：設(shè) 原式證1 211100100100000()( 1)0000001001nnnabababababDababababababa

12、bab 按第 行展開：120000100100()0000001001nnabababababababababababababab12()nnnDab DabD11212()nnnnnnDaDbDabDb DaD223221()()nnnbDaDbDaD2()1nababba abab22()nnbbb1=+nnnDaDb12212= (+)+nnnnnna aDbba Dabb221332213=()+nnnnnnnnaaDbabba Da babb1222211=+nnnnnaDaba babb122221()+nnnnnaababa babb122221+nnnnnnaababa bab

13、b0nin iia b13|,ijijjiDaaa 設(shè)有n階行列式若其元素滿足=-,則 稱為反對稱行列式。試證明：（1）反對稱行列式主對角線上的元素全為0； ,1,2,ijjiaai jn ：反對稱矩陣：解的元素滿足 1,2,iiiiaain 則 11220 1,2,0iinnainaaa得 即主對角線元素全為 。13|,ijijjiDaaa 設(shè)有n階行列式若其元素滿足=-,則 稱為反對稱行列式。試證明：（2）奇數(shù)階反對稱行列式必為0。 ,1,2,ijjiaai jn ：反對稱矩陣：解的元素滿足1213112232132331230000nnnnnnaaaaaaDaaaaaa則 =121311

14、2232132331230000nnTnnnnaaaaaaD Daaaaaa=12131122321323312300( 1)00nnnnnnnaaaaaaaaaaaa nD 是奇數(shù)0D147491102000-36-15-211-31 計算下列行列式：（1）22 2711=20 ( 1)315231 按第 行展開：原式解213 3 1711204061904rrrr21 24620 1 ( 1)194 按第 列展開1960111213142122232433344344140000aaaaaaaaaaaa 計算下列行列式：（2）333411121 2 1 243442122=( 1)aaaa

15、aaaa ：根據(jù)拉普拉斯展開定理，選定第1,2解列展開：原式3334111243442122=aaaaaaaa112221 1233443443=()()a aa aa aa a140000000000000000 xyxyxxxyy（ 計算下列行列式：3）1110000000000+( 1)0000000000nnnxyxyxyxyxyxyxy ：選定第1行展開：式解原1+( 1)nnnxy1400000000000000 xzyxzyxxzyx 計算下列）行列式：（41100000000000000000nnnnDxzyzyxxDxyxzxzyxyx：令 原式,按第1行展開：解12nnxD

16、zyD12 nnnDxDyzD得112 ()nnnnDaDb DaD令12()nnnDab DabD2244,22abxabyzxxyzxxyzab得：1110 ()nnnDaDbDaD則1() 1nxba 1()nnababb1, nnna bDbDa利用的對稱性，同樣可得11nnnnnnDaDbDbDa111111 ()nnnnnnnnnbDabDbaDabDaab Dab得1122 44,22nnnabDabxxyzxxyzab其中，1212121212171(1)(1)(1)11(2)(2)(2)21(1)(1)(1)1 1()()()1nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxn

17、xnxnxnxnxnxnxn 計算行列式：3232323232 1 1(1)(1)(1)1 1(2)(2)(2)2=(-1) 1(1)(1)(1)1 1()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxxxnxnxnxnxnxnxnxn：原式解432432432+(n-1)432432 1 11(1)(1)(1) 12(2)(2)(2)=(-1) 11(1)(1)(1) 1()()()nxxxxxxxxxxxxxnxnxnxnxnxnxnxn212121+(n-1)+12121 1 11(1)(1)(1) 12(2)(2)(2)=(-1) 11(1)(1)(1) 1()()()nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxnxnxnxnxnxnxnxn(1)2( 1)!(1)!(2)!2!1!n nn nn 1212,( ), ( ) (1,2, )nniia aab bbnf xf abin21 設(shè)是互不相同的實數(shù)，是任意實數(shù)。 用克拉默法則證明：存在唯一的次數(shù)小于 的多項式使得 210121( )nnnf xcc xc xcx：設(shè)次數(shù)小于 的多項式解21101 1211 1121201222122210121()