matlab報告——用matlab研究拋體運動

1、用matlab研究拋體運動2.用matlab研究拋體運動2.1引論MATLA語言是一種集數(shù)值計算、符號運算、可視化建模、仿真和圖形處理等多種功 能的高級語言。使用MATLA模擬物理現(xiàn)象為我們解決問題提供了一種新的方法，利用其 方便的數(shù)值計算和作圖功能，可以方便的模擬一些物理過程。對于處理非線性問題，既能 進行數(shù)值求解，又能繪制有關(guān)曲線，方便實用，基于其功能強大，界面友善，語言自然， 交互性強等優(yōu)點，已成為教學(xué)和科研中最根底的軟件之一，利用其解決復(fù)雜的數(shù)值計算問題，可以減少工作量，節(jié)約時間，圖形繪制問題，真實直觀，可以加深理解，提高工作效 率將物體以一定的初速度向空中拋出，僅在重力作用下物體所作

2、的運動，它的初速度 不為零，可分為平拋運動和斜拋運動。物理上提出的“拋體運動是一種理想化的模型， 即把物體看成質(zhì)點，拋出后只考慮重力作用，忽略空氣阻力。拋體運動加速度恒為重力加 速度，相等的時間內(nèi)速度變化量相等，并且速度變化的方向始終是豎直向下的。、實驗設(shè)計思路1、理論分析一般的處理方法是將其分解為水平方向和豎直方向， 平拋運動水平方向是勻速直線運 動，豎直方向是自由落體運動，斜拋運動水平方向是勻速直線運動，豎直方向是豎直上拋 運動，在任意方向上分解有正交分解和非正交分解兩種情加速度及位移等進行相應(yīng)分析。 無論怎樣分解，都必須把運動的獨立性和獨立作用原理結(jié)合進行系統(tǒng)分解，即將初速度、 受力情、

3、加速度及位移等進行相應(yīng)分析。斜拋運動：水平方向速度1234Vx V。cos豎直方向速度vyv0sin gt水平方向位移x V0cos t1豎直方向位移 y v0cos t gt2平拋運動：水平方向速度Vx Vo豎直方向速度Vy gt水平方向位移X V0t1(8)合速度VtVxVy212 4V04g t合速度方向與水平夾角gt:tg(10)合位移s x y(11)位移方向與水平夾角tggt2Vo(12)設(shè)某一拋射體的初速度為V0，拋射角為，將其運動在X,Y軸上進行正交分解，水平方向速度 vx v0 cos(13)豎直方向VyVsingt(14)質(zhì)點的坐標(x, y)是x(t)Vcos( )t(1

4、5)12y(t)V0sin t J(16)從上兩式消去t，便得質(zhì)點的軌跡運動方程xta n2gx tt2 V0cos(17)拋射體能到達的最大高度為H22V0si n2g(18)sin其到達最大高度所需時間為T也一g(19)空中飛行時間為t 2T2V0sing(20)拋射體的最大射程為X2V0sin 2g(21)它跟初速度V0和拋射角有關(guān)，在拋射角2不變的情況下，射程x與V。成正比，所以射程豎直方向位移Vy扌g(shù)t2隨初速度的增大而增大。在初速度 V。不變的情況下，隨著拋射角的增大，射程也增大,當(dāng) 45度時，si n2 1，射程到達最大值，以后隨著拋射角的增大，射程減小。利用MATLAB勺繪圖功

5、能，可以更直觀的表達上述結(jié)論。程序1程序運行結(jié)果如圖1所示。圖1射程與拋射角、初速度的關(guān)系對于最大飛行路徑所對應(yīng)的拋射角問題空氣阻力忽略不計，X,Y坐標軸分別代表拋射體的射程與射高，在 x, y處，設(shè)在某一微小時段內(nèi)拋射體的路徑變量為 dt，其對應(yīng)的水平及豎直方向的變量為dx與dy，那么 dL . dx2 dy222R 設(shè)射程為R,那么飛行路徑長度 L 1(叫匕230dx2根據(jù)前面的推論，R dsin(2 )g(24)學(xué)習(xí)文檔僅供參考根據(jù)運動學(xué)原理，有x (vcos )t26271 2 y 評(Vosin)t丄一x22 (V0cos )xtg從24、(25中消除t，我們可得到該運動的拋物線方程

6、： 從24中可知，為求解L,先得求出眾，因此在4式兩邊同時對x求導(dǎo)，得:xtg2 x28L()2V0gsin2 i 1 sin cos lncos29根據(jù)式:28，為求得L的最大值，將28兩邊同時對求導(dǎo)2l( ) 2Vcos g1sinIn1 cossin30(Vocos )將27代入式24，等式兩邊同時積分，便得到了飛行路徑長度與拋射角之間的關(guān)系:令L( ) 0，可得到最大飛行路徑所對應(yīng)的拋射角的大小，但解此方程是比擬困難的。為 此，我們采用MATLAB勺函數(shù)運算功能來解決這一問題。程序2 程序如下，設(shè)其中的拋射初速度 V0 10叭，g 9.8%2。運行結(jié)果如圖2所示。圖2拋射角與飛行路徑及

7、其一階導(dǎo)數(shù)曲線圖圖2給出了飛行路徑隨拋射角的變化曲線 L()及飛行路徑曲線的斜度L()，從圖中可以得到，當(dāng) 0.9855弧度時，即56.49度時，飛行路徑最大，2此時 L 1.21Vo-g 31我們知道，在不考慮空氣阻力的情況下，當(dāng)拋射角45度時，其射程最遠，但此時其飛行路徑并不是最遠，而是當(dāng)拋射角56.49度時，其飛行路徑最遠，且其長度約為2L 1.21血 實際上，由于空氣阻力的存在，拋射體在空中是沿導(dǎo)彈曲線彈頭飛行時其 g重心所經(jīng)過的路線飛行的，它與拋物線不同，它的升弧與降弧不對稱，在重力與空氣阻 力的共同影響下，彈道形成不均等的圓弧，升弧較長而直伸，降弧較短而彎曲.斜拋射出的炮彈的射程和

8、射高都沒有按拋體計算得到的值那么大，路線也不是理想曲線。物體在空氣中受到的阻力，與物體運動速度大小有密切聯(lián)系，速度越小，越接近理想情況，當(dāng)物體速度低于200米每秒時，阻力與物體速度大小的平方成正比，速度介于400至600米每秒之間時，空氣阻力與速度大小的三次方成正比，在速度很大的情況下，阻力 與速度大小的高次方成正比。將物體用一定的初速度沿水平方向拋出， 不考慮空氣的阻力，物體只在重力作用下所 做的運動，叫做平拋運動。豎直的重力與速度方向有夾角，做曲線運動；水平方向不受外力作用，是勻速運動， 速度為Vo；豎直方向受重力作用，沒有初速度，加速度為重力加速度g,是自由體運動。即做平拋運動的物體，在

9、水平方向上由于不受力，將作勻速直線運動；在豎直方向上的物 體的初速度為0且只受到重力作用，物體做自由落體運動，加速度為go平拋運動的規(guī)律：1拋出t秒末的速度：一拋出點為坐標原點，水平方向為x軸正方向和初速度V0的方向相同， 豎直方向為y軸，正方向向下，貝水平分速度：Vx=Vo 32豎直分速度：Vy=gt 33合速度：Vt= . Vx2 Vy2 34tan =也=型35Vx Vo(2)平拋運動的物體在任意時刻t的位置坐標：水平位移：x=Vot 361豎直位移：y = gt2372合位移：s= x2 y2 38tan =丄=旦39x 2Vo2、實驗步驟 (1)運用MATLA編程得到平拋速度隨時間的

10、變化關(guān)系。(程序3) 依據(jù)公示32， 33， 34，(35)圖3平拋運動速度隨時間變化關(guān)系運用MATLAB編程到到平拋物體運動的曲線運用公式32，33，34, (35),(37),(38),39,我們可以求得物體在任意時刻的坐標并找到物體所在位置后，再用平滑曲線把這些點連起來，就得到平拋運動的軌跡。程 序4運行結(jié)果如圖4所示Q Figjre No 1File Edit T oor Window HelpII U & A / / T 膚爐 Gn物林平拋遠動軌跡3 I = I_ iriiii:- !-.!；:!: : : _ : :-1Q0- 4- - - - 4- - - - - - -J；I

11、；IkiF -150 i1卜亠:：:-200 一二氓圖4物體平拋軌跡曲線利用matlab模擬物體斜拋運動通過該程序可以畫出在任意位置以初始速度 V和拋射角度a拋出的軌跡。程序5按“ run 運行時，彈出窗口將圖框中的相關(guān)數(shù)據(jù)更改為:seting 匚叵區(qū)|初嫦位置C坐標點擊圖框中的“ OK，在“ comma nd win dow中輸出結(jié)果為:圖5.物體斜拋運動曲線(4)試計算拋射角為90度的特殊拋體運動任意時刻的位置和速度一彈性小球，初始高度h=10m,向上初速度v0=15米每秒，與地面碰撞的速度衰減系數(shù)k=0.8，試計算任意時刻球的位置和速度。高度與時間的關(guān)系：d2ydt2dyg，Vdt40速

12、度與時間關(guān)系：dVdtg41對等式兩邊積分，有dvgdt，v Vo gt42dy vdt， y yVot1 .22gt43由此可得數(shù)學(xué)方程：第一次落地前：v %gt44y h vitgt2245Ti 3.62s46第二次落地前：%k(V1gTj47v V02gt48第三次落地前:y v2t gt 2T2V02gV03k(V02 gT2)v V03gtyV03t(49)(50)51525354第n次落地前：V0nk(Vo(n 1) gT(n 1)V Von gt555657)(58)如用手工進行計算，計算量極大，利用 MATLA編程程序6 程序運行結(jié)果如以下圖。圖6.拋射角為90度的特殊拋體運動

13、任意時刻的位置和速度用matlab研究定點投籃命中率問題以下圖一9.0m/s。問題一：考慮球心對框心的點對點的投籃，求出手速度和出手方向的范圍問題二：假設(shè)考慮球的大小和框的大小進行投籃，球入筐時可以偏離框心，求出手速度、角度及其最大偏值1U1 t 1 t t111示意圖1問題一不考慮籃球和籃筐的大小，不考慮空氣阻力大小的影響，從未出手時的球心P為坐標原點, x軸為水平方向，y軸為豎直方向，籃球在t=0時以出手速度v和出手角度a投出，可視為質(zhì)點的斜拋運動，其運動方程為:x(t) vt cosy(t) vtsingt(59)其中g(shù)是重力加速度，由此可得球心的運動軌跡如下拋物線yxta n2gx2

14、22v cos x(60)以x=L, y=H-h代入(60)式，就得到了球心命中框心的條件ta ngL1 H h %v2v61可以看出，給定出手速度V和出手高度h,就有兩個a滿足條件，而61式有解的前提為:1 2g1 v2HgLh202v262可解得：2v gHh , L2H L 263于是對于一定的出手高度山使63式等號成立的V為最小的出手速度Vmin0LLA示意圖2球入籃筐處的入射角度為B,可從下式得到:.64ta ndy xdx這里的導(dǎo)數(shù)由(60)式計算代入后得tan tan2( HL對應(yīng)1，2，有h)1，,2，設(shè) 12求解程序7表1速度 高度對于不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射

15、角度最大出手角1 最小出手角對應(yīng)入框角1對應(yīng)入框角2注：速度單位均為問題二m/s,高度單位均為m角度單位均為CB示意圖4考慮籃球和籃筐的大小,如示意圖3,假設(shè)入射角太小，那么球無法入筐。由圖不難看出,球心命中筐心的條件為66d sin D將 d， D =45.0cm 代入得 33.1。由此對表1進行篩選，可得下表：表2.對于不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度速度V高度h出手角度a入射角度 B由示意圖4看出，球入筐時球心可以偏前偏后與偏前一樣的最大距離 x為67d2sin在60式中，用y H h代入，可得xg2v2 cos2xta n68對求導(dǎo)并令x L，就有dxx LdL(v2 gL

16、tan ) gL v sin cos69用丄近似代替左邊導(dǎo)數(shù)，即可得到出手角度的偏差與x的以下關(guān)系70gL v2 si n cosLV 2 gLtan )由和已經(jīng)得到的 也可以求得相對偏差類似的，68式對v求導(dǎo)并令x L ,可得出手速度允許的最大偏差71gL v2 si n cos gL由70和71式v的相對偏差為2叱 tan )72編程實現(xiàn)見程序8計算結(jié)果表3:出手角度和出手速度最大偏差出手速度v高度h出手角度a偏差aa偏差vv相對偏差|aa/a|相對偏差|vv/v|978222 、結(jié)果分析從以上對拋體運動的分析可得出這些結(jié)論：1拋射體的射程與初速度和拋射角有關(guān)，在拋射角不變的情況下，射程隨

17、初速度的 增大而增大，在拋射角不變的情況下，射程隨拋射角的增大而增大，當(dāng)拋射角到達四十五 度時射程到達最大值，之后射程隨著拋射角的增大而減小。2、速度一定時，出手高度越大，出手角度應(yīng)越大，但隨著速度的增加，高度對角度的影響變小，這種情形在1度左右；出手高度一定時，速度越大，出手角度也應(yīng)越大,速度的影響在79度左右。3、出手角度和出手速度的允許偏差總的來看，允許偏差都比擬小；進一步分析可知，出手高度一定，速度越大，角度的允許 偏差越小，速度的允許偏差越大，且對角度的要求比對速度的要求嚴格，出手速度一定，高度越大，雖然也是高度的允許偏差越小，速度的允許偏差越大，但這時角度和速度 的要求都相對較低。

18、、程序及其說明%?序1射程與拋射角、初速度的關(guān)系x=li nspace(0,pi/2,100);g=10；v1=10;v2=15;v3=20;v4=25;y1=v1A2*si n(2*x)/g;y2=v2A2*si n(2*x)/g;y3=v3A2*si n(2*x)/g;y4=v4A2*s in( 2*x)/g; subplot(2,2,1);plot(x,y1);title( v0=10); text(pi/4,10,射程為 10); subplot(2,2,2);plot(x,y2);title( v0=15);text(pi/4,22.5,射程為 22.5);subplot(2,2,3

19、);瀘生行向量發(fā)射角%重力加速度捌速度取109初速度取209初速度取259初速度為10下的射程捌速度為15下的射程9初速度為20下的射程9初速度為25下的射程%選擇2*2個區(qū)的一號區(qū)9俞出初速度為10下的射程曲線 滋圖形標題9在最大射程處加圖形說明9選擇2*2個區(qū)的二號區(qū)9俞出初速度為15下的射程曲線 滋圖形標題曲最大射程處加圖形說明9選擇2*2個區(qū)的三號區(qū)plot(x,y3);%輸出初速度為 20下的射程曲線title( v0=20 );%加圖形標題text(pi/4,40, 射程為40 );%在最大射程處加圖形說明subplot(2,2,4);%選擇 2*2個區(qū)的四號區(qū)plot(x,y4)

20、;%輸出初速度為 25下的射程曲線title( v0=25 );%加圖形標題text(pi/4,62.5, 射程為 62.5 );%在最大射程處加圖形說明%程序2拋射角與飛行路徑及其一階導(dǎo)數(shù)曲線x=(0:pi/100:pi/2);%產(chǎn)生行向量 xy1=(sin(x)+(cos(x).*cos(x).*log(1+sin(x)./cos(x)*100/9.8;%飛行路徑長度與拋射角之間的函數(shù)關(guān)系 y2=cos(x).*(1-sin(x).*log(1+sin(x)./cos(x)*200/9.8;%飛行路徑對拋射角的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)關(guān)系 m=(sin(pi/6)+(cos(pi/6)*cos(pi

21、/6)*log(1+sin(pi/6)/cos(pi/6)*100/9.8;%拋射角取某一特定值時飛行路徑值n=cos(pi/3)*(1-sin(pi/3)*log(1+sin(pi/3)/cos(pi/3)*200/9.8;%拋射角取某一特定值時飛行路徑一階導(dǎo)的值%輸出飛行路徑長度與拋射角之間的函數(shù)表達式%設(shè)置圖形保持狀態(tài)% 輸出飛行路徑對拋射角的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)表達系%關(guān)閉圖形保持%在指定位置添加圖例說明%在指定位置添加圖列說明%網(wǎng)格線控制plot(x,y1, hold on;plot(x,y2, hold off;text(pi/6,m, text(pi/3,n, grid;b: );k

22、);y1 );y2 );%程序3平拋速度隨時間的變化關(guān)系 t=0:0.01:10;Vt=-sqrt(10A2+9.8*t.A2);plot(t,Vt);title( 物體速度隨時間的變化grid%程序4平拋運動的軌跡 t=0:0.01:10;s=-sqrt(3*t).A2+(0.5*9.8*t.A2).A2); plot(t,s, r:);title( 物體平拋運動軌跡 );grid%程序5物體斜拋運動曲線 clear;clc;global location v0 alpha g;options= 初始位置坐標 , topic=seting;lines=1;def=0,0,20,45,9.8;

23、 );%產(chǎn)生時間的行向量%求速度 %輸出速度曲線 % 圖形名稱%加網(wǎng)格線%產(chǎn)生時間行向量%求位移%輸出位移曲線%圖形名稱%加網(wǎng)格線初始速度V0,拋射角度,重力加速度g,;h=inputdlg(options,topic,lines,def);location=eval(h1);v0=eval(h2);alpha=eval(h3);g=eval(h4);a=location(1);b=location(2);alfa=alpha*pi/180;tEn d=vO*si n(alfa)/g+(vO*si n(alfa)/gF2+2*b/gF0.5;%斜拋物體的運動時間t=linspace(0,tEn

24、d);x=v0*cos(alfa)*t+a;% 斜拋物體的水平位移y=vO*si n(alfa)*t-0.5*g*t42+b;%斜拋物體的豎直位移plot(x,y);hold on plot(x(1OO),y(1OO),o)xlabel 水平距離 /mylabel 高度 /mtitle 拋體軌跡%?序6拋射角為90度的特殊拋體運動任意時刻的位置和速度vO=15;h=10;g=-9.8;k=0.8;T=0;for t=0:0.05:20v=v0+g*(t-T);y=h+vO*(t-T)+g*(t-TF2/2;if y=0 vO=-k*v;T=t;h=O;endsubplot(1,2,1);pau

25、se(O.1);plot(1,y, or , MarkerSizetitle( 運動變化圖 ); axis(O,2,O,25);subplot(2,2,2);axis(O,2O,-25,3O);grid on;plot(t,v, *r , MarkerSize xlabel( 時間 t );ylabel( 速度 v );%初速度%初始高度%重力加速度%衰減系數(shù)%落地時間% 產(chǎn)生時間的行向量%求速度%求高度%循環(huán)判斷條件%衰減的速度%求球每次落地所用時間%將高度變零%選擇結(jié)構(gòu)結(jié)束%選擇 1*2 中的一號區(qū)%延緩,1O, Markerface ,1,O,O);%輸出求球的運動圖像%圖形名稱%坐標控

26、制%選擇 2*2 中的二號區(qū)%坐標控制%不畫網(wǎng)格線,2);%畫球的速度曲線%坐標軸說明%坐標軸說明%圖形名稱% 設(shè)置圖形保持狀態(tài)%選擇2*2中的四號區(qū)%坐標控制%不加網(wǎng)格線,2);%畫球的位置曲線%坐標軸說明%坐標軸說明%圖形名稱%不加網(wǎng)格線% 設(shè)置圖形保持狀態(tài)%循環(huán)結(jié)束title(速度變化趨勢圖)；hold on;subplot(2,2,4);axis(0,20,0,25);grid on;plot(t,y,*b，MarkerSizexlabel(時間 t);ylabel(高度 y);title(位置變化圖);grid onhold onend冰序7不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角

27、度0%對于出手速度和出手高度h=1.82.1m,由 式%計算出手角度a1,a2,由(7)式計算出入射角度b1,b2,結(jié)果見表1clear;clc;H=3.05;h=1.8:0.05:2.1;L=4.6;g=9.8;input(高度出手角1出手角2入框角1入框角2);% v=sqrt(g*(H-h+sqrt(L*L+(H-L)A2);for v=8.0:0.5:9.0;for h=1.8:0.05:2.1;%求球在出手時球心的出射角a=ata n(v.A2/(g*L).*(1+sqrt(1-2*g./v.A2.*(H-h+g*LA2./(2八2);b=ata n(v.A2/(g*L).*(1-s

28、qrt(1-2*g./v.A2.*(H-h+g*LA2./(2.*v.A2);a11=max(a,b);a21= min( a,b);a仁 180.*a11/pi;a2=180.*a21/pi;%求球入框時的入射角b11=ata n(ta n(a11)-2.*(H-h)/L);b21=ata n(ta n(a21)-2.*(H-h)/L);b1= 180.*b11/pi;b2=180.*b21/pi;R = v h a1 b1 a2 b2endend%1序8(出手角度和出手速度最大偏差)%求出手時最大偏移距離%求出手時最大偏移角D=0.45;d=0.246;H=3.05;L=4.6;g=9.8

29、;input(出手速度 高度出手角度 偏差a偏差v相對偏差a相對偏差v);for v=8.0:0.5:9 a1=atan(v.*v./(g.*L).*(1+sqrt(1-2.*g./(v.*v).*(H-h+g.*L.*L./(2.*v.*v);a=180.*a1/pi;b11=atan(tan(a1)-2.*(H-h)/L);b=180.*b11/pi;xx=D/2-d/sin(b11)/2;%xx 為 aa1=(g*L-v.*v.*sin(a1).*cos(a1).*xx./L./(v.*v-g.*L.*tan(a1);%aa 為 aa=aa1*180/pi;vv=(g.*L-v.*v.*si n(a1).*cos(a1).*xx.*v/(g*LA2);%vv為A2=v h a aa vv (abs(vv./v) (abs(aa./a)endend4. 對本課的評述、建議開設(shè)?數(shù)學(xué)實驗與 Matlab ?是為讓學(xué)生學(xué)習(xí)“用數(shù)學(xué) ，加強動手能力，訓(xùn)練創(chuàng)新思 維。數(shù)學(xué)實驗是一種有用的學(xué)習(xí)手段 : 通過對特點例子的計算和觀察，可幫助我們直觀地 理解非常抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，了解他的應(yīng)用背景，化枯燥為有趣，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。數(shù) 學(xué)實驗是一種有效的科研方法： 講一堆數(shù)據(jù)可視化， 或者選擇有代表性的特定實例進行觀 察，從而發(fā)現(xiàn)和歸納有意義的規(guī)律并進行理論論