新課標同步訓練之微積分基本定理2微積分基本定理doc

1、日照實驗高中 2007 級數(shù)學導學案 -導數(shù)微積分基本定理學習目標：1. 通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分2.通過實例體會用微積分基本定理求定積分的方法3.通過微積分基本定理的學習， 體會事物間的相互轉(zhuǎn)化、對立統(tǒng)一的辯證關系，培養(yǎng)學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力學習重點難點：通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關系，使學生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分自主學習：一、知識回顧：定積分的概念及用定義計算二、新課探究我們講過用定積分定義計算定積分 ,但其計算過程比較復雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計

2、算定積分的新方法，也是比較一般的方法。變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設一物體沿直線作變速運動，在時刻t 時物體所在位置為S(t), 速度為v(t) （ v(t) o ），則物體在時間間隔 T1 ,T2 內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為T2v(t )dt 。T1另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S（ t）在 T1 ,T2 上的增量S(T1 ) S(T2 ) 來表達，即T2v(t )dt = S(T1 )S(T2 )T1而 S (t) v(t ) 。對于一般函數(shù)f ( x) ，設 F ( x)f (x) ，是否也有bF (b)F (a)f ( x)dxa若上式成立，我們就找到了用f (

3、 x) 的原函數(shù) （即滿足 F ( x)f (x) ）的數(shù)值差 F (b)F (a) 來計算 f (x) 在 a, b 上的定積分的方法。注： 1：定理如果函數(shù) F (x) 是 a,b 上的連續(xù)函數(shù) f (x) 的任意一個b()()()原函數(shù)，則fdxbxFFaa證明：因為( x)=xf( )與 F (x) 都是f (x)的原函數(shù)，故atdtF ( x) -(x) =C（ axb ）其中 C 為某一常數(shù)。令 xa 得 F (a) -( a) =C，且(a) =af (t )dt =0a即有 C= F (a) ，故 F (x) =( x) + F (a)( x) = F (x) - F ( a)

4、 =xf (t )dta令xb，有b()()( )fx dxF bF aa此處并不要求學生理解證明的過程為了方便起見，還常用F ( x) |ba 表示 F (b) F (a) ，即baf (x)dx F ( x) |abF (b)F (a)該式稱之為微積分基本公式或牛頓萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學與積分學之間聯(lián)系的橋梁。 它不僅揭示了導數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學習奠定了基礎。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學的發(fā)展帶來了深遠的影響，

5、是微積分學中最重要最輝煌的成果。三、例題解析：例 1計算下列定積分：2131)dx 。（ 1）dx ； （ 2）(2 x21x1x'12 12ln 2 ln1 ln 2 。解：（ 1）因為 (ln x)，所以dxln x |1x1x（ 2）因為2)'1)'1( x2x,(x2，x所以3(2 x1)dx331x22xdxx2 dx1112313122x|1x |1(9 1) (31)3。例 2計算下列定積分：sin xdx,22sin xdx 。0sin xdx,0由計算結果你能發(fā)現(xiàn)什么結論？試利用曲邊梯形的面積表示所發(fā)現(xiàn)的結論。解：因為 (cos x)'sin

6、x ，所以 sin xdx(cos x) |0( cos)(cos0)2 ，02(cos x) |2(cos2)(cos )2 ，sin xdx2(cos x) |02(cos2)(cos 0)0sin xdx.0可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0:( l ）當對應的曲邊梯形位于x 軸上方時（圖 1.6一 3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1.6一 3(2 ）（ 2）當對應的曲邊梯形位于 x 軸下方時 （圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；( 3）當位于x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于x 軸下方的曲邊梯形面積時，定

7、積分的值為 0（圖 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積例 3汽車以每小時 32 公里速度行駛，到某處需要減速停車。設汽車以等減速度 a =1.8 米 /秒 2 剎車，問從開始剎車到停車， 汽車走了多少距離？解 :首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過了多少時間。當t=0 時，汽車速度 v0 =32 公里 /小時 = 321000 米 /秒 8.88 米 /秒 ,剎車后汽車減速行駛 ,其3600速 度 為 v(t)= v0at=8.88-1.8t當 汽 車 停 住 時 , 速 度 v(t)=0, 故 從v(t)=8.88-1.8t=0 解得

8、t= 8.884.93 秒1.8于是在這段時間內(nèi),汽車所走過的距離是4.934.931 t2 )4.93s21.90v(t) dt(8.88 1.8t) dt = (8.88 1.80020米 ,即在剎車后 ,汽車需走過 21.90 米才能停住 .微積分基本定理揭示了導數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時它也提供了計算定積分的一種有效方法微積分基本定理是微積分學中最重要的定理，它使微積分學蓬勃發(fā)展起來，成為一門影響深遠的學科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果課堂鞏固：1. 曲線 ycos x(0x3) 與坐標軸圍成的面積是52A.4C.3D.2B.22.下列積分不正確的是3 1ln 3A 、1 x dxB、 0 sin xdx2C、10 x2 dx1D 、 32 ( x1 )