最小電纜建設(shè)費(fèi)用的研究

1、最小電纜建設(shè)費(fèi)用的研究裝備92 09037047 姚晟摘要：假設(shè)A,B在河邊，將題目轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題用matlab軟件求出；假設(shè)A,B不在河邊，轉(zhuǎn)化為光學(xué)問(wèn)題，求出電纜與法線(xiàn)夾角的正弦的比，即可得出最正確方案。關(guān)鍵詞：電纜 河邊 最小 千米引言：數(shù)學(xué)建模開(kāi)課到現(xiàn)在已經(jīng)有三個(gè)多星期了，通過(guò)這一段時(shí)間的學(xué)習(xí)我們有了不少的收獲。下面是對(duì)課本第一章課后習(xí)題第二題的分析。正文：一問(wèn)題提出 1條河寬1km，兩岸各有一座城市A與B，A與B的直線(xiàn)距離是4km，今須鋪設(shè)一條電纜連A與B，地下電纜修建費(fèi)用為2萬(wàn)元/km，水下電纜為4萬(wàn)元/km，假定河兩岸是直線(xiàn)，問(wèn)應(yīng)如何架設(shè)電纜方可使總施工費(fèi)用到達(dá)最??？二問(wèn)題

2、研究 假設(shè)A,B在河邊：設(shè)施工費(fèi)用為W，有W=x+ysqrty2-1+x=sqrt15解得W=2(sqrt15-sqrt(y2-1)+4y問(wèn)題變?yōu)榍骔關(guān)于y函數(shù)的最值問(wèn)題，運(yùn)用matlab軟件即可求出答案。三問(wèn)題解決先采用圖像法：按如下輸入command window,生成圖像：將圖像在最小值點(diǎn)放大：由圖像可得最小值點(diǎn)余約為1.1582，11.2101再運(yùn)用相關(guān)命令求最小值：x=3.2957即修建費(fèi)用最小為11.2101萬(wàn)元修建方案如下：四問(wèn)題拓展假設(shè)A,B不在河邊：用光學(xué)知識(shí)探究這個(gè)問(wèn)題可以證明當(dāng)光線(xiàn)由介質(zhì)I到介質(zhì)II所用時(shí)間最少，那么sina/sinb=v1/v2(a,b為折射前后與法線(xiàn)的夾角，此題中“所用時(shí)間相當(dāng)于本錢(qián)，1/v1和1/v2相當(dāng)于每千米電纜在地下，水下本錢(qián)，所以由此可以確定電纜架設(shè)方向與光線(xiàn)折射方向類(lèi)似，具體計(jì)算結(jié)果也與公式sina/sinb=v1/v2相似。設(shè)電纜由A到達(dá)河邊C,再到達(dá)對(duì)岸D最后到B.由條件算出與法線(xiàn)夾角的正弦的比由條件可得sina/sinb=2之后，可得AC,CD,BD出在水平方向投影的長(zhǎng)度之比，即可得出最正確方案。結(jié)論：假設(shè)A,B在河邊，先由A沿河岸鋪設(shè)地下電纜3.2957km，再?gòu)拇颂幭駼直線(xiàn)鋪設(shè)水下電纜1.1547km，此時(shí)為最小修建費(fèi)用11.2101萬(wàn)元。 假設(shè)A,B不在河邊，當(dāng)sina/sinb=2時(shí)