偏微分方程數(shù)值解法2014.11.05

1、偏微分方程數(shù)值解法（第四講）2014年11月05日星期三1.1.一階線性常系數(shù)雙曲型方程組一階線性常系數(shù)雙曲型方程組考慮一階線性常系數(shù)方程組考慮一階線性常系數(shù)方程組其中其中 為常為常系系數(shù)矩陣。數(shù)矩陣。 ) 1 (00tRxxUAtUp,),(,),(),(),(21TptxutxutxutxUUppRA 定義：定義： 如果如果A A的特征值是實(shí)的，并存在非奇異矩陣的特征值是實(shí)的，并存在非奇異矩陣S S使得使得其中其中 為為A A的特征值，稱(chēng)（的特征值，稱(chēng)（1 1）為雙曲型方程組，）為雙曲型方程組，如果如果A A是對(duì)稱(chēng)陣，則稱(chēng)（是對(duì)稱(chēng)陣，則稱(chēng)（1 1）為對(duì)稱(chēng)雙曲型方程組，如果）為對(duì)稱(chēng)雙曲型方程

2、組，如果A A的特征的特征值是實(shí)的且互不相同，則稱(chēng)（值是實(shí)的且互不相同，則稱(chēng)（1 1）為嚴(yán)格雙曲型方程組。）為嚴(yán)格雙曲型方程組。給定初始條件給定初始條件 與（與（1 1）構(gòu)成初值問(wèn)題。）構(gòu)成初值問(wèn)題。, ,211pdiagASS, 2 , 1(pii)()0 ,(0 xUxU4.3 4.3 一階雙曲型方程的差分格式 常用求解該線性方程組的格式有常用求解該線性方程組的格式有a. 后退的后退的Euler方法方法 此格式不能用。此格式不能用。 b.LaxFriedrichs 格式格式c. 蛙跳格式蛙跳格式)(211111njnjnjnjUUAhUU)(2)(2111111njnjnjnjnjUUAh

3、UUU)2(2)(211222111njnjnjnjnjnjnjUUUAhUUAhUU4.3.1 Lax-Friedrichs4.3.1 Lax-Friedrichs格式2. 2. 二階線性雙曲型方程二階線性雙曲型方程 為推導(dǎo)簡(jiǎn)單起見(jiàn)，令為推導(dǎo)簡(jiǎn)單起見(jiàn)，令 令令因此我們有因此我們有 ).(), 1 (),(), 0(:),()0 ,(),()0 ,(:1021102tgtutgtuBCxuxuxuxuICxuautxxttxtuqup1axxxtttqupuxxtxttxxxtttpuuqquup)(4.3.1 Lax-Friedrichs4.3.1 Lax-Friedrichs格式 這里這里

4、A的特征值為的特征值為-1,1，因此這個(gè)方程組為雙曲型方程組。，因此這個(gè)方程組為雙曲型方程組。邊界條件邊界條件 所以所以 所以所以初始條件初始條件xtqpqp0110)(), 0(), 0(1tgtptut0110A)(), 0(1tgtu)(), 1 (2tgtu)(), 1 (), 1 (2tgtptut)()0 ,()0 ,()()0 ,()0 ,(010 xuxuxqxuxuxpx4.3.1 Lax-Friedrichs4.3.1 Lax-Friedrichs格式 也可直接求解：也可直接求解：截?cái)嗾`差為截?cái)嗾`差為 穩(wěn)定性條件為穩(wěn)定性條件為 )(22hO1a211221122huuuau

5、uunjnjnjnjnjnj3 二維問(wèn)題二維問(wèn)題求解的格式有：求解的格式有：a. 隱格式隱格式該截?cái)嗾`差為該截?cái)嗾`差為yxyxgyxutyxyubxuatu, ),()0 ,(0,0022111111111njmnjmnmjnmjnjmnjmuuhbuuhauu)(2hO令令 代入格式后可得，代入格式后可得， 格式是無(wú)條件穩(wěn)定的。格式是無(wú)條件穩(wěn)定的。b. Crank-Nicolsonb. Crank-Nicolson格式格式 該截?cái)嗾`差為該截?cái)嗾`差為 格式為無(wú)條件穩(wěn)定。格式為無(wú)條件穩(wěn)定。 1),(2kG)(21mhkjhkinnjmevvhkibhkiakG21sinsin11),(02221

6、22211111111111111huubhuuahuubhuuauunjmnjmnmjnmjnjmnjmnmjnmjnjmnjmhkbihkaihkbihkaikG2121sin2sin21sin2sin21),()(22hO1),(2kG用隱格式求解二維問(wèn)題得到的線性方程組其系數(shù)矩陣為寬帶狀。因此求解用隱格式求解二維問(wèn)題得到的線性方程組其系數(shù)矩陣為寬帶狀。因此求解不是特別便利。不是特別便利。c. Lax-Friedrichs c. Lax-Friedrichs 格式格式 顯格式，條件穩(wěn)定顯格式，條件穩(wěn)定 令令022)(41111111111huubhuuauuuuunjmnjmnmjnmj

7、nmjnmjnjmnjmnjm)(21mhkjhkinnjmevv),sinsin()cos(cos21),(2121hkbhkaihkhkkG注意到如果 ， 即 則格式穩(wěn)定，若b=a,穩(wěn)定性條件化為 2212221222221222122212)sinsin()cos(cos41)(21)sin(sin1)sinsin()cos(cos41),(hkbhkahkhkbahkhkhkbhkahkhkkG)(21)sin(sin1),(22222122bahkhkkG2222ba21)(222ba21ad.d.局部一維格式局部一維格式在在x x方向的差分把方向的差分把 推進(jìn)到推進(jìn)到在在y y方向

8、上的差分把方向上的差分把 推進(jìn)到推進(jìn)到其中其中 是關(guān)于是關(guān)于x x方向、方向、y y方向的差分算子，這樣的二步法稱(chēng)為分?jǐn)?shù)方向的差分算子，這樣的二步法稱(chēng)為分?jǐn)?shù)步長(zhǎng)法，也稱(chēng)為局部一維格式步長(zhǎng)法，也稱(chēng)為局部一維格式212211121njmnjmnjmnjmnjmnjmuDuuuDuunt21,DD2nt1nt2nt 格式1： 可改寫(xiě)為 這里， mjmjmjxuuu, 1, 10211111121121121)(2)(2njmnjmnjmnjmnjmnmjnmjnjmuuuhbuuuuhau2110210)21 ()21 (njmnjmxnjmnjmxuuauua1,1,0mjmjmjyuuu 為分析

9、截?cái)嗾`差，消去上述格式等價(jià)于 可得截?cái)嗾`差為 對(duì)應(yīng)第一式的增長(zhǎng)因子是 對(duì)應(yīng)第二式的增長(zhǎng)因子是 整體格式的增長(zhǎng)因子為 格式為無(wú)條件穩(wěn)定。 )sin1)(sin1 (1),(),(),(212211hkibhkiakGkGkG022100210101njmyxnjmynjmxnjmnjmuhabuhbuhauu)(22hhO21nuhkiakG111sin11),(hkiakG222sin11),( 格式2：Lax-Wendroff 這里，x方向定義的算子有 y方向定義的算子有mjmjjmxuuu, 1, 102122202112220212222njmyynjmynjmnjmnjmxxnjmxn

10、jmnjmuhbuhbuuuhauhauumjmjjmxuuu, 1mjmjjmxuuu, 1,1,1,0mjmjjmyuuumjmjjmyuuu,1,1,mjmjjmyuuu 格式2：Lax-Wendroff將第一式代入第二式可得等價(jià)式子：得到截?cái)嗾`差為 第一式當(dāng) 時(shí)有第二式當(dāng)?shù)诙疆?dāng) 時(shí)有時(shí)有 由由 可得上述格式的穩(wěn)定性條件為可得上述格式的穩(wěn)定性條件為 njmyxyyxxyxnjmuabbabaIu21(21)(2002220012122202112220212222njmyynjmynjmnjmnjmxxnjmxnjmnjmuhbuhbuuuhauhauu)(222hhO),(),(),

11、(2211kGkGkG1a1),(11kG1b1),(22kG1a1be. Beam-Warming格式C-N 格式將C-N格式等價(jià)地寫(xiě)成或?qū)懗苫驅(qū)懗?222122211111111111111huubhuuahuubhuuauunjmnjmnmjnmjnjmnjmnmjnmjnjmnjm0)(4)(410101njmnjmynjmnjmxnjmnjmuuhbuuhauunjmyxnjmyxubauba)41411 ()41411 (00100上式也可等價(jià)為上式也可等價(jià)為上式中最后一項(xiàng)是 的項(xiàng)，去掉后可得一個(gè)二階格式由上可得由上可得ADIADI格式為格式為)(161)411)(411 ()411)(411 (100200100njmnjmxynjmyxnjmyxuuabubauba)(3O)()411)(411 ()411)(411 (00100njmyxnjmyxubaubajmnjmynjmyxjmxuububaua10000)411 ()411)(411 ()411 (增長(zhǎng)因子，增長(zhǎng)因子，該格式為二階精度，無(wú)條件穩(wěn)定。該格式為二階精度，無(wú)條件穩(wěn)定。另