二次微分方程的通解

1、第六節(jié) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程教學(xué)目的：使學(xué)生掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，了解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法教學(xué)重點(diǎn)：二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法教學(xué)過程： 一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:方程y¢¢+py¢+qy=0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程,其中p、q均為常數(shù).如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我們看看, 能否適當(dāng)選取r,使y=erx滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程,為此將y=erx代入方程y¢¢+py¢+qy=0得

2、 (r2+pr+q)erx=0.由此可見,只要r滿足代數(shù)方程r2+pr+q=0,函數(shù)y=erx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程.特征方程的兩個(gè)根r1、r2可用公式求出. 特征方程的根與通解的關(guān)系: (1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1、r2時(shí),函數(shù)、是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解.這是因?yàn)?函數(shù)、是方程的解,又不是常數(shù).因此方程的通解為. (2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1=r2時(shí),函數(shù)、是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解. 這是因?yàn)?是方程的解,又,所以也是方程的解,且不是常數(shù). 因此方程的通

3、解為. (3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r1, 2=a±ib時(shí),函數(shù)y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解.函數(shù)y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解.函數(shù)y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由歐拉公式, 得y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx),y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),y1+y2=2eaxcosbx,y1-y2=2ieaxsinbx,.故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解.可以驗(yàn)證,y1=eaxcosbx

4、、y2=eaxsinbx是方程的線性無關(guān)解. 因此方程的通解為y=eax(C1cosbx+C2sinbx ).求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步驟為:第一步 寫出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步 求出特征方程的兩個(gè)根r1、r2.第三步 根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況,寫出微分方程的通解. 例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解.解所給微分方程的特征方程為r2-2r-3=0,即(r+1)(r-3)=0.其根r1=-1,r2=3是兩個(gè)不相等的實(shí)根,因此所求通解為y=C1e-x+C2e3x. 例

5、2 求方程y¢¢+2y¢+y=0滿足初始條件y|x=0=4、y¢|x=0=-2的特解. 解所給方程的特征方程為r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是兩個(gè)相等的實(shí)根,因此所給微分方程的通解為y=(C1+C2x)e-x.將條件y|x=0=4代入通解,得C1=4,從而y=(4+C2x)e-x.將上式對(duì)x求導(dǎo),得y¢=(C2-4-C2x)e-x.再把條件y¢|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解為x=(4+2x)e-x. 例 3 求微分方程y¢¢-2y¢+5y= 0的通解.解所給

6、方程的特征方程為r2-2r+5=0.特征方程的根為r1=1+2i,r2=1-2i, 是一對(duì)共軛復(fù)根,因此所求通解為y=ex(C1cos2x+C2sin2x).n階常系數(shù)齊次線性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +×××+pn-1y¢+pny=0,稱為n階常系數(shù)齊次線性微分方程,其中p1,p2 ,×××,pn-1,pn都是常數(shù). 二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推廣到n階常系數(shù)齊次線性微分方程上去.引入微分算子D, 及微分算子的n次多項(xiàng)式:L(D)=Dn+p1Dn-1+p

7、2 Dn-2 +×××+pn-1D+pn,則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作(Dn+p1Dn-1+p2 Dn-2 +×××+pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y,Dy=y¢,D2y=y¢¢,D3y=y¢¢¢,×××,Dny=y(n). 分析: 令y=erx, 則L(D)y=L(D)erx=(rn+p1rn-1+p2 rn-2 +×××+pn-1r+pn)erx=L(r)erx.因此

8、如果r是多項(xiàng)式L(r)的根, 則y=erx是微分方程L(D)y=0的解.n階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程:L(r)=rn+p1rn-1+p2 rn-2 +×××+pn-1r+pn=0稱為微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng):單實(shí)根r對(duì)應(yīng)于一項(xiàng):Cerx;一對(duì)單復(fù)根r1,2=a±ib 對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng):eax(C1cosbx+C2sinbx); k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng):erx(C1+C2x+×××+Ckxk-1);一對(duì)k重復(fù)根r1,2=a±ib對(duì)應(yīng)于2k項(xiàng):eax(C1+C2x+×&#

9、215;×+Ckxk-1)cosbx+(D1+D2x+×××+Dkxk-1)sinbx. 例4 求方程y(4)-2y¢¢¢+5y¢¢=0 的通解. 解 這里的特征方程為r4-2r3+5r2=0,即r2(r2-2r+5)=0,它的根是r1=r2=0和r3,4=1±2i.因此所給微分方程的通解為y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x). 例5 求方程y(4)+b4y=0的通解,其中b>0. 解 這里的特征方程為r4+b 4=0.它的根為,.因此所給微分方程的通解為.二、二階常系

10、數(shù)非齊次線性微分方程簡(jiǎn)介二階常系數(shù)非齊次線性微分方程:方程 y¢¢+py¢+qy=f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,其中p、q是常數(shù).二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解y=Y(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y=y*(x)之和: y=Y(x)+ y*(x).當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時(shí),方程的特解的求法:一、f(x)=Pm(x)elx型當(dāng)f(x)=Pm(x)elx時(shí),可以猜想,方程的特解也應(yīng)具有這種形式.因此,設(shè)特解形式為y*=Q(x)elx,將其代入方程,得等式Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+

11、pl+q)Q(x)=Pm(x). (1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根,則l2+pl+q¹0.要使上式成立,Q(x)應(yīng)設(shè)為m次多項(xiàng)式: Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù),可確定b0,b1,×××,bm,并得所求特解 y*=Qm(x)elx. (2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的單根,則l2+pl+q=0,但2l+p¹0,要使等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立

12、,Q(x)應(yīng)設(shè)為m+1 次多項(xiàng)式: Q(x)=xQm(x), Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù),可確定b0,b1,×××,bm,并得所求特解 y*=xQm(x)elx. (3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根,則l2+pl+q=0,2l+p=0,要使等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)應(yīng)設(shè)為m+2次多項(xiàng)式: Q(x)=x2Qm(x), Qm(x)=b0xm+b1xm-1+

13、5;××+bm-1x+bm,通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù),可確定b0,b1,×××,bm,并得所求特解y*=x2Qm(x)elx.綜上所述,我們有如下結(jié)論:如果f(x)=Pm(x)elx,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y¢¢+py¢+qy=f(x)有形如 y*=xkQm(x)elx的特解,其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2.例1求微分方程y¢¢-2y¢-3y=3x+1的一個(gè)特解. 解這是二階常系數(shù)非齊

14、次線性微分方程,且函數(shù)f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x+1,l=0).與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y¢¢-2y¢-3y=0,它的特征方程為 r2-2r-3=0. 由于這里l=0不是特征方程的根,所以應(yīng)設(shè)特解為 y*=b0x+b1.把它代入所給方程,得-3b0x-2b0-3b1=3x+1,比較兩端x同次冪的系數(shù),得,-3b0=3,-2b0-3b1=1.由此求得b0=-1,.于是求得所給方程的一個(gè)特解為.例2求微分方程y¢¢-5y¢+6y=xe2x的通解. 解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,且f(x)是Pm(x)

15、elx型(其中Pm(x)=x,l=2).與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y¢¢-5y¢+6y=0,它的特征方程為 r2-5r+6=0.特征方程有兩個(gè)實(shí)根r1=2,r2=3.于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 Y=C1e2x+C2e3x.由于l=2是特征方程的單根,所以應(yīng)設(shè)方程的特解為 y*=x(b0x+b1)e2x.把它代入所給方程,得-2b0x+2b0-b1=x.比較兩端x同次冪的系數(shù),得,-2b0=1,2b0-b1=0.由此求得,b1=-1.于是求得所給方程的一個(gè)特解為.從而所給方程的通解為.提示:y*=x(b0x+b1)e2x=(b0x2+b1x)e2x,(b0

16、x2+b1x)e2x¢=(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2e2x,(b0x2+b1x)e2x¢¢=2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22e2x.y*¢¢-5y*¢+6y*=(b0x2+b1x)e2x¢¢-5(b0x2+b1x)e2x¢+6(b0x2+b1x)e2x=2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22e2x-5(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2e2x+6(b0x2+b1x)e2x=

17、2b0+4(2b0x+b1)-5(2b0x+b1)e2x=-2b0x+2b0-b1e2x.方程y¢¢+py¢+qy=elxPl (x)coswx+Pn(x)sinwx的特解形式應(yīng)用歐拉公式可得elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx,其中,. 而m=maxl,n.設(shè)方程y¢¢+py¢+qy=P(x)e(l+iw)x的特解為y1*=xkQm(x)e(l+iw)x,則必是方程的特解,其中k按l±iw不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.于是方程y¢¢+py¢+qy=elxPl(x)c

18、oswx+Pn(x)sinwx的特解為=xkelxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx.綜上所述,我們有如下結(jié)論:如果f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 y¢¢+py¢+qy=f(x)的特解可設(shè)為 y*=xkelxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx,其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項(xiàng)式,m=maxl,n,而k按l+iw (或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1.例3求微分方程y¢¢+y=xcos2x的一個(gè)特解. 解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,且f(x)屬于elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型(其中l(wèi)=0,w=2,Pl(x)=x,Pn(x)=0）. 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y¢¢+y=0,它的特征方程為r2+1=0. 由于這里l+iw=2i不是特征方程的根,所以應(yīng)設(shè)特解為y*=(ax+b)cos2x+(cx+d )sin2x.把它代入所給方程,得(-3ax-3b+4c)cos2x-(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x.比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù),得,b=0,c=