連續(xù)性概念圖文

1、第四章第四章 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性4.1 連續(xù)性概念連續(xù)性概念 4.2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)4.3 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 4.1連續(xù)性概念連續(xù)性概念一、函數(shù)在一點的連續(xù)性一、函數(shù)在一點的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,)()(0000的增量的增量稱為自變量在點稱為自變量在點內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設函數(shù)設函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相應應于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義 1 1 設函數(shù)設函數(shù))(xf在在)(0 xU

2、 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如如果當自變量的增量果當自變量的增量x 趨向于零時趨向于零時, ,對應的函對應的函數(shù)的增量數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連續(xù)點的連續(xù)點. .,0 xxx 設設),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定義定義 2 2 設函數(shù)設函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如果如果函數(shù)函數(shù))(xf當當0 xx 時的極限存在時的極限存在, ,且等于它在且等于它在點點0

3、 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù). .:定定義義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時時使當使當0lim( )xxf x0()f x在x0有定義1.在x0附近定義;2.極限存在 左右極限存在并相等例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又),0()(lim0fxfx 由定義由定義2知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf3.單側連續(xù)單側連續(xù);)(),()0(,()(00

4、00處處左左連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfxaxf .)(),()0(,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在點點則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxf 定理定理.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處處不不連連

5、續(xù)續(xù)在在點點故故函函數(shù)數(shù) xxf4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點點處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點點內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如例如,.),(內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的有理整函數(shù)在區(qū)間有理整函數(shù)在區(qū)間例例3 3.),(sin內(nèi)連續(xù)

6、內(nèi)連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù)證明證明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當當對對任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當當.),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對對任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy例例4 證明證明 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在),( xay證證只須證明只須證明，有有對對),(0 x00limxxxxaa limlim0000 xxxxxaay 1lim00 xxxaa )1(lim00 xxxaa 0 處處連連續(xù)續(xù)在在故故),(0 xayx二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)

7、的間斷點:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個處連續(xù)必須滿足的三個在點在點函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只xfxxxf1.在x0 及其附近定義;2.極限存在 左右極限存在并相等001. ( );2.lim( ).xxf xxf x在 無定義或不存在1.跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0

8、000的的跳跳躍躍間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點點如如果果xfxxfxfxxf 例例5 5.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點點 xoxy2.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點的可去間斷點為函數(shù)為函數(shù)義則稱點義則稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)

9、(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為為函函數(shù)數(shù)的的可可去去間間斷斷點點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如例如例6中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy112跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點. .特點特點.0處處的的左左、右右極極限限都都存

10、存在在函函數(shù)數(shù)在在點點 x3.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的的第第二二類類間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點在在右右極極限限至至少少有有一一個個不不存存處處的的左左、在在點點如如果果xfxxxf例例7 7.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間oxy第一類間斷點第二類間斷點.)(1 . 1 0處無定義在：情形xxfxOy0 xx)(xfy x0 xx自由地趨于A注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.)(,)( )()

11、(lim 0000處連續(xù)在那么這個新的處的值為在新定義存在，因此如果我們重在這種情形下，xxfAxfxxfAxfxxxOy0 xx)(xfy x注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.)(,)( )()(lim 0000處連續(xù)在那么這個新的處的值為在新定義存在，因此如果我們重在這種情形下，xxfAxfxxfAxfxx.)(lim)(lim.)(1.1 000存在但處有或無定義在：情形xfxfxxfxxxxAxfxfxfxxxx)(lim)(lim)(000補充定義：A.)( .)(2 . 1 00的值太高了但處有定義在：情形xfxxfxOy)(xfy 注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.)(,)( )

12、( ).()(lim 00000處連續(xù)在那么這個新的處的值為在我們修改定義因此如果存在，但是在這種情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxAxf)(0修改定義：A0 xxx.)( .)(2 . 1 00的值太低了但處有定義在：情形xfxxfxOy)(xfy 0 xxx注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.)(,)( )( ).()(lim 00000處連續(xù)在那么這個新的處的值為在我們修改定義因此如果存在，但是在這種情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxAxf)(0修改定義：AxOy)(xfy .),(lim)(lim.)(2 000都存在但處有定義在：情形xfxfxxfxxxx0 xxx注意

13、到：這種間斷點稱為跳躍間斷點.)( ,)()(lim 000限存在，有較好的性質(zhì)的單側極的左右兩邊，但分別考慮處連續(xù)在不存在，因此無法使得在這種情形下，xfxxxfxfxx 這點放哪兒能接上呢？xOy0 xx)(xfy x.)( .)(lim)(lim.)(3 0000的漸進線稱為此時，直線或或一個為至少有和或無定義處有在：情形xfyxxxfxfxxfxxxx哎，小紅點，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！這種間斷點稱為無窮間斷點0 xx xx. )(4 0無限震蕩（無）定義，處有在：情形xxf：Hi, 小紅點，你能不能停?。课以趺匆餐２蛔?，那可怎么連上??？：Hi, 小藍點，你停不住，

14、我也停不住啊。還想連上，你可真逗！xy1sinxy11這種間斷點稱為震蕩間斷點。例例8 8.01sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解,0處處沒沒有有定定義義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為的的振振蕩蕩間間xy1sin 注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點. 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù) , 0, 1)(是是無無理理數(shù)數(shù)時時當當是是有有理理數(shù)數(shù)時時當當xxxDy在定義域在定義域R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間且都是第二類間斷點

15、斷點. ,)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxxxf僅在僅在x=0處連續(xù)處連續(xù), 其余各點處處間斷其余各點處處間斷. , 1, 1)(是是無無理理數(shù)數(shù)時時當當是是有有理理數(shù)數(shù)時時當當xxxf在定義域在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷, 但其絕對值處但其絕對值處處連續(xù)處連續(xù).判斷下列間斷點類型判斷下列間斷點類型:o1x2x3xyx xfy 例例9 9.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當當 xxxaxxxfa解解,)0(af xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ),0()0

16、0()00(fff 要使要使, 1 a,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf例例10 討論討論的連續(xù)性的連續(xù)性xxxxfnnn 2211lim)(若有間斷點判別其類型，并作出圖形若有間斷點判別其類型，并作出圖形解解)1|(|0lim qqnn由由于于則則若若故故1| xnnnxxxxf2211lim)( x 則則若若1| xnnnxxxxf2211lim)( 1)1(1)1(lim22 nnnxxxx 則則若若1| x0)( xf 1|1|01|)(xxxxxxf外外連連續(xù)續(xù)除除去去1)( xxf時時當當1 x1)01(, 1)01( ff1)01(, 1)01( ff躍間斷點）躍間斷點）都是第一類間斷點（跳都是第一類間斷點（跳1 x三、小結三、小結1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別;間斷點間斷點第一類間斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.(見下圖見下圖)第一類間斷點第一類間斷點oyx0 x可去型可去型oyx0 x跳躍型跳躍型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 x無窮型無窮型oyx振蕩型振蕩型思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf