導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性

1、安丘一中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期導(dǎo)學(xué)案課題導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）課型復(fù)習(xí)課時(shí)1日期主備人教研組長(zhǎng)包組領(lǐng)導(dǎo)編號(hào)教學(xué)目標(biāo)1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2由函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求參數(shù)的范圍教學(xué)內(nèi)容個(gè)人札記課前預(yù)習(xí)【預(yù)習(xí)提綱】1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，(1)如果在(a，b)內(nèi)，則f(x)在此區(qū)間是增函數(shù)，(a，b)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)如果在(a，b)內(nèi)，則f(x)在此區(qū)間是減函數(shù)，(a，b)為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)如果在(a，b)內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)為常量函數(shù)質(zhì)疑探究1：(1)f(x)0(或f(x)0)是f(x)在某個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增

2、(或單調(diào)遞減)的什么條件？(2)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正(或負(fù))時(shí)，f(x)在這個(gè)區(qū)間上是否仍為單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)？試舉例說(shuō)明2函數(shù)的極值(1)函數(shù)極值的定義已知函數(shù)yf(x)及其定義域內(nèi)一點(diǎn)x0，對(duì)于存在一個(gè)包含x0的開(kāi)區(qū)間內(nèi)的所有點(diǎn)x，如果都有f(x)f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取，記作，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)。極大值與極小值統(tǒng)稱為，與統(tǒng)稱為極值點(diǎn)(2)求函數(shù)極值的方法求導(dǎo)數(shù)f(x)；求方程f(x)0的所有實(shí)數(shù)根；對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個(gè)根的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f(x)的符號(hào)如何變化，如果f(x)的符號(hào)，則f(x0)是極大值；如果f(x)的

3、符號(hào)，則f(x0)是極小值如果在f(x)0的根xx0的左右側(cè)f(x)的，則f(x0)不是極值。質(zhì)疑探究2：f(x)0是f(x)在xx0處取得極值的什么條件？【預(yù)習(xí)自測(cè)】1(教材改編題)函數(shù)yxx3的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(，1)，(1，) B.(1,1)C.(，)，(，) D.(，)2(2012煙臺(tái)模擬)函數(shù)f(x)x22ln x的遞減區(qū)間是()A(0,1 B1，) C(，1)，(0,1) D1,0)，(0,13函數(shù)f(x)x3ax2在區(qū)間(1，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3，) B.3，) C.(3，) D.(，3)4.(2012陜西文科9)設(shè)函數(shù)f（x）=+lnx 則（）Ax=

4、為f(x)的極大值點(diǎn) Bx=為f(x)的極小值點(diǎn)Cx=2為 f(x)的極大值點(diǎn) Dx=2為 f(x)的極小值點(diǎn)5對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x1）0，比較f（0）f（2）與2f（1）的大?。?。課堂探究案探究一：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性【例1】已知函數(shù)f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(1,2)上是減函數(shù)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由【變式1】在上例函數(shù)中， (1)求a4時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【規(guī)律總結(jié)】探究二：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值例2.(2011重慶)設(shè)f(x)2x

5、3ax2bx1的導(dǎo)數(shù)為f(x)，若函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，且f(1)0. (1)求實(shí)數(shù)a，b的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值【變式2】(2012年高考山東卷文科22) 已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行.()求k的值；()求的單調(diào)區(qū)間；()設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意.【規(guī)律總結(jié)】探究三：函數(shù)的單調(diào)性與極值的綜合問(wèn)題【例3】 (2010年山東濟(jì)寧模擬)已知函數(shù)f(x)x2aln x.(1)當(dāng)a2e時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值(2)若函數(shù)g(x)f(x)在1,4上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【變式訓(xùn)練3】設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x

6、)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)aln 21且x0時(shí)，exx22ax1.【規(guī)律總結(jié)】【課堂小結(jié)】【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間：（1）（2）（3）（4）2.求證不等式：（1）（2）3.已知mR，函數(shù)f(x)(x2mxm)ex(1)若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)m0時(shí)，求證f(x)x2x3.教學(xué)反思導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）答案預(yù)習(xí)：1. D. 2. A。3. B. 4.D 5. f（0）f（2）2f（1）解析：由題意得：當(dāng)x1時(shí)，f（x）0，所以函數(shù)f（x）在（1，）上是增函數(shù)；當(dāng)x1時(shí)，f（x）0，所以f（x）在（，1）上是減函數(shù)，故f（x）當(dāng)x

7、1時(shí)取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1）；例1解：(1)f(x)3x23a3(x2a)當(dāng)a0，當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0解得x，由f(x)0解得x0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)，(，)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，)(2)由f(x)3(x2a)0在(1,2)上恒成立得ax2在(1,2)上恒成立令yx2，x(1,2)，則0y224，故有a4.當(dāng)a4時(shí)，f(x)3(x24)3(x2)(x2)，在(1,2)上，恒有f(x)0.f(x)在(1,2)上為減函數(shù)時(shí)，a4.變1。解：(1)當(dāng)a4時(shí)，f(x)x312x1.f(x)3x2123(x24)3(x2)(x2)令f(x)0得2x2，f(x

8、)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,2)(2)f(x)3x23a3(x2a)f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)3(x2a)0在R上恒成立ax2在R上恒成立令yx2，xR，則ymin020，a0.又a0a0.例2解(1)因f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb.從而f(x)62b，即yf(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，從而由題設(shè)條件知，解得a3.又由于f(1)0，即62ab0，解得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1， f(x)6x26x126(x1)(x2)令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x12，x21.當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(，2)上為增函數(shù)；當(dāng)x(2

9、,1)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(2,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(1，)上為增函數(shù)從而函數(shù)f(x)在x12處取得極大值f(2)21，在x21處取得極小值f(1)6.變2：例3.解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)當(dāng)a2e時(shí)，f(x)2x.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)；單調(diào)遞增區(qū)間是(，)，極小值是f()0，無(wú)極大值(2)由g(x)x2aln x，得g(x)2x，又函數(shù)g(x)x2aln x為1,4上的單調(diào)減函數(shù)，則g(x)0在1,4上恒成立，即不等式2x

10、0在1,4上恒成立，即a2x2在1,4上恒成立設(shè)(x)2x2，顯然(x)在1,4上為減函數(shù)，所以(x)的最小值為(4).所以a的取值范圍是(，變3：審題視點(diǎn) 第(2)問(wèn)構(gòu)造函數(shù)h(x)exx22ax1，利用函數(shù)的單調(diào)性解決(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2，于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表.x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減2(1ln 2a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2，單調(diào)遞增區(qū)間是ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)證明設(shè)g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當(dāng)aln 21時(shí)，g(x)的最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對(duì)任意xR，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)aln 21時(shí)，對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0)而g(0)0，從而對(duì)任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)：1.解：（1）時(shí)，（2），（3），（4）定義域?yàn)?.（1）原式令（2）令點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造函數(shù)證明不等式主要是利用函數(shù)的最大（?。┲祦?lái)解決。3.(1)解由已知條件f(x)0無(wú)