多元函數(shù)微分學(xué)43415

1、第九章 多元函數(shù)微分學(xué)一、1、定義域 例：函數(shù)的定義域?yàn)椤?、求 例：若 若設(shè)，求3、設(shè)，求二、多元函數(shù)的極限 例1、求 ， 證明一元函數(shù)極限不存在一般方法是證明左右極限不相等，證明二元函數(shù)的極限不存在的一般方法是找到平面內(nèi)的趨近于兩個(gè)方向（曲線(xiàn)），使得沿該兩個(gè)方向（曲線(xiàn)）的極限值不相等。一般選擇是軸的正向，負(fù)向，軸的正向，負(fù)向，直線(xiàn)等。例2、說(shuō)明下列函數(shù)在（0,0）點(diǎn)是否有極限分析：先選擇軸的正向，負(fù)向，軸的正向，負(fù)向，直線(xiàn)等求極限，若不等即得證。三、偏導(dǎo)數(shù)與全微分 1、定義主要是求分段點(diǎn)處的偏導(dǎo)。 例如若 求例1、二元函數(shù)，則（ ）A) 在（0，0）連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在； B) 在（0，0）連

2、續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在；C) 在（0，0）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；D) 在（0，0）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在；例2、在（0,0）點(diǎn)連續(xù)、可導(dǎo)但不可微。幾何意義 是曲線(xiàn)在的切線(xiàn)關(guān)于x軸的斜率。是曲線(xiàn)在的切線(xiàn)關(guān)于y軸的斜率。2、求導(dǎo)公式 求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 隱函數(shù)求導(dǎo) 若由決定，則 （或兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)） 若由決定，則 （或兩邊同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)）例1、若，求例2、求下列函數(shù)的全微分（1） (2)例3、若，求偏導(dǎo)數(shù)。例4、設(shè)，求，例5、設(shè)，其中F具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，證明。3、全微分 注：多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在沒(méi)關(guān)系；函數(shù)可微可推出函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在，反之不成立；偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可推出函數(shù)可

3、微，當(dāng)然也連續(xù)。例1、已知：為某個(gè)函數(shù)的全微分，則a=；例2、在處可微的充分條件是：（ ） A) 在的某鄰域內(nèi)存在； B) 在處連續(xù)；C) 時(shí)是無(wú)窮小量；D) 時(shí)是無(wú)窮小量；例3、設(shè)在（0，0）處（ ） A) 偏導(dǎo)數(shù)不存在； B) 不可微； C) 偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù) ；D) 可微。四、方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù) 函數(shù)在點(diǎn)在方向的方向?qū)?shù)為梯度 函數(shù)在點(diǎn)梯度 函數(shù)在梯度方向上的方向?qū)?shù)最大，最大值為 函數(shù)在x軸正向的方向?qū)?shù)為，在負(fù)向的方向?qū)?shù)為例1、求函數(shù)在點(diǎn)處沿點(diǎn)的向徑方向的方向?qū)?shù)。例2、函數(shù)在點(diǎn)處的梯度。五、極值 求函數(shù)的極值1） 求駐點(diǎn)， 2）求， 2） 判定 若，為極值點(diǎn)，A>0為極小值；A<0為極大值。求函數(shù)在條件的極值 做拉格朗日函數(shù)令，求出即為所求。 例1、求的極值。例2、求曲面上關(guān)于z的最大值與最小值。 六、幾何應(yīng)用1、 空間曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)為 法平面為2、 空間曲面在處的切平面為 法線(xiàn)為例1、曲線(xiàn)，在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為；例2、求曲面上平行于平面的切平面方程。練習(xí)題：1、，求2、函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處（ ） A 連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在； B 連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；C 不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在；D 不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在；3、 0； ； 不存在； 不確定。4、5、在（1，1，1）處方向?qū)?shù)的最大值為最小值為6、在（1，-1，1）處切平面方