導(dǎo)學(xué)案027平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用舉例

1、平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用舉例考綱要求1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，5.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題.考情分析1.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是高考考查的重點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)量積求平面向量的夾角、模及判斷向量的垂直關(guān)系是難點(diǎn)2.以向量為載體考查三角函數(shù)及解析幾何問(wèn)題是高考考 查的重點(diǎn)3.多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度適中，但靈活 多變.教學(xué)過(guò)程基礎(chǔ)梳理一、兩個(gè)向量的夾角1定義已知兩個(gè)非零向量a和b，作 O

2、Aa，OBb，則AOB叫做向量a與b的夾角2范圍向量夾角的范圍是，a與b同向時(shí)，夾角0°；a與b反向時(shí)，夾角.3向量垂直 如果向量a與b的夾角是，則a與b垂直，記作.二、平面向量數(shù)量積1a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則數(shù)|a|b|·cos叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b.規(guī)定0·a0.當(dāng)ab時(shí)，90°，這時(shí)a·b.2a·b的幾何意義： a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影的乘積三、向量數(shù)量積的性質(zhì)1如果e是單位向量，則a·ee·a2ab.3a·a，|a

3、| .4cosa，b .5|a·b|a|b|.四、數(shù)量積的運(yùn)算律1交換律a·b.2分配律(ab)·c.3對(duì)R，(a·b)五、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a(a1，a2)，b(b1，b2)，則1a·b.2ab.3|a| .4cosa，b雙基自測(cè)1已知向量a，b和實(shí)數(shù)，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()A|a|B|a·b|a|·|b|C(a·b)a·bD|a·b|a|·|b| 2(2011·遼寧高考)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a·(2ab)0，則k ()A12 B6C6 D123已

4、知|a|4，|b|3，a與b的夾角為120°，則b在a方向上的投影為()A2 B.C2 D4OA(1,2)，OB(3，m)，OAAB，則實(shí)數(shù)m_.5(2011·安徽高考)已知向量a，b滿足(a2b)·(ab)6，且|a|1，|b|2，則a與b的夾角為_(kāi)典例分析考點(diǎn)一、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1(2010·廣東高考)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)滿足條件(8ab)·c30，則x()A6B5C4 D3例2(2011·江西高考)已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1·b2_

5、.變式1(2012·金華聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中，已知AB2，AD1，BAD60°，E為CD的中點(diǎn)，則 AE.BD_.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律類似于多項(xiàng)式乘法法則，但并不是所有乘法法則都可以推廣到向量數(shù)量積的運(yùn)算，如(a·b)ca(b·c).考點(diǎn)二、平面向量的垂直與夾角例3(2011·湖北高考)若向量a(1,2)，b(1，1)，則2ab與ab的夾角等于()AB.C.D.變式2.若本例條件不變，求為何值時(shí)，ab和ab的夾角為90°？例4(2011·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量ab與向量kab

6、垂直，則k_.變式3(2012·佛山質(zhì)檢)已知向量a(1,1)，2ab(4,2)，則向量a，b的夾角為()A.B.C.D.1求兩非零向量的夾角時(shí)要注意(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時(shí)兩向量的夾角就是鈍角2當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它們的關(guān)系.考點(diǎn)三、平面向量的模例5(2011·天津高考)已知直角梯形ABCD中，ADBC，A90°，AD2，BC1，P是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA3PB|的最小值為_(kāi)變式

7、3(2012·江西重點(diǎn)盟校聯(lián)考)已知向量a(2,1)，a·b10，|ab|5，則|b|()A.B.C5 D25變式4(2012·青田質(zhì)檢)已知向量a(sin x,1)，b.(1)當(dāng)ab時(shí)，求|ab|的值；(2)求函數(shù)f(x)a·(ba)的最小正周期利用數(shù)量積求長(zhǎng)度問(wèn)題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問(wèn)題的處理方法(1)|a|2a2a·a；(2)|a±b|2(a±b)2a2±2a·bb2；(3)若a(x，y)，則|a|.一個(gè)條件兩個(gè)向量垂直的充要條件：abx1x2y1y20.兩個(gè)探究(1)若a·b0

8、，能否說(shuō)明a和b的夾角為銳角？(2)若a·b0，能否說(shuō)明a和b的夾角為鈍角？三個(gè)防范(1)若a，b，c是實(shí)數(shù)，則abacbc(a0)；但對(duì)于向量就沒(méi)有這樣的性質(zhì)，即若向量a，b，c若滿足a·ba·c(a0)，則不一定有bc，即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量，但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量(2)數(shù)量積運(yùn)算不適合結(jié)合律，即(a·b)ca(b·c)，這是由于(a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量，a(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(a·b)c與a(b·c)不一定相等(3)向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì)，比如正

9、三角形ABC中，與的夾角應(yīng)為120°，而不是60°.本節(jié)檢測(cè)1(2011·廣東高考)若向量a，b，c滿足ab且ac，則c·(a2b)()A4B3C2 D02已知m(5,3)，n(1,2)，當(dāng)(mn)(2nm)時(shí)，實(shí)數(shù)的值為()A.BCD.3已知向量a(cos ，sin )，向量b(，1)，則|2ab|的最大、小值分別是()A4，0 B4,2C16,0 D4,04(2012·永州模擬)已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足|6，|8，|10，則···的值等于()A100 B96C100 D965(2012·杭州第二次質(zhì)檢)已知非零向量a，b滿足|ab|ab|a|，則ab與ab的夾角為()A30° B60°C120°