二項(xiàng)分布及其應(yīng)用1

1、二項(xiàng)分布及其應(yīng)用適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)高二適用區(qū)域新課標(biāo)地區(qū)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)條件概率的概念與性質(zhì)條件概率的求法獨(dú)立事件獨(dú)立事件與互斥、對(duì)立事件的關(guān)系獨(dú)立事件概率計(jì)算公式獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中概率的求法二項(xiàng)分布教學(xué)目標(biāo)1、 了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念2、理解次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題教學(xué)重點(diǎn)條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念教學(xué)難點(diǎn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布教學(xué)過程一、 復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1、 預(yù)習(xí)條件概率2、 預(yù)習(xí)事件相互獨(dú)立的概念3、 預(yù)習(xí)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布二、知識(shí)講解考點(diǎn)1條件概率及其性質(zhì)(1)對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生

2、的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P(B|A)來表示，其公式為P(B|A)(P(A)>0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù)，則P(B|A).(2)條件概率具有的性質(zhì)：0P(B|A)1；如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)考點(diǎn)2相互獨(dú)立事件(1)對(duì)于事件A、B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A、B是相互獨(dú)立事件(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也都相互獨(dú)立(4)若P(AB)P(A)P(B)，則A與B相互獨(dú)立考點(diǎn)3二項(xiàng)分布(1)

3、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有_兩_種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為XB(n，p)，并稱p為成功概率三、 例題精析【例題1】【題干】在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率為_【答案】.【解析】方法一設(shè)A第一次取到不合格品，B第二次

4、取到不合格品，則P(AB)，所以P(B|A).方法二第一次取到不合格品后還剩余99件產(chǎn)品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率為.【例題2】【題干】從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()A. B. C. D.【答案】 B【解析】 P(A)，P(AB)，P(B|A).【例題3】【題干】甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響(1)求乙獲勝的概率； (2)求投籃結(jié)束時(shí)乙只

5、投了2個(gè)球的概率【答案】見解析【解析】 設(shè)Ak、Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P(Ak)，P(Bk)(k1,2,3)(1)記“乙獲勝”為事件C，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知P(C)P(B1)P( B2)P( B3)P()P(B1)P()P()P()P(B2)P()·P()P()P()P()P(B3)×2233.(2)記“投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球”為事件D，則由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知P(D)P( B2)P( A3)P()P()P()P(B2)P()P()P()P()·P(A3)222

6、2×.【例題4】【題干】甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8，計(jì)算：(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率；(2)其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率；(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率【答案】見解析【解析】 記“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B.“兩人都擊中目標(biāo)”是事件AB；“恰有1人擊中目標(biāo)”是AB；“至少有1人擊中目標(biāo)”是ABAB.(1)顯然，“兩人各射擊一次，都擊中目標(biāo)”就是事件AB，又由于事件A與B相互獨(dú)立，P(AB)P(A)·P(B)0.8×0.80.64.(2)“兩人各射擊一次，恰好有一次擊中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊

7、中乙未擊中(即A)，另一種是甲未擊中乙擊中(即B)根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生，即事件A與B是互斥的，所以所求概率為PP(A)P(B)P(A)·P()P()·P(B)0.8×(10.8)(10.8)×0.80.160.160.32.(3)“兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標(biāo)”的概率為PP(AB)P(A)P(B)0.640.320.96.【例題5】【題干】乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行，比賽采用7局4勝制(即先勝4局者獲勝，比賽結(jié)束)，假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同(1)求甲以4比1獲勝的概率；(2)求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多

8、于5局的概率；(3)求比賽局?jǐn)?shù)的分布列【答案】見解析【解析】(1)由已知，得甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率都是.記“甲以4比1獲勝”為事件A，則P(A)C()3()43·.(2)記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局”為事件B.乙以4比2獲勝的概率為P1C()3()53·，乙以4比3獲勝的概率為P2C()3()63·，所以P(B)P1P2.(3)設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為X，則X的可能取值為4,5,6,7.P(X4)2C()4，P(X5)2C()3()43·，P(X6)2C()3()53·，P(X7)2C()3()63·.比賽局?jǐn)?shù)的分布列為X45

9、67P【例題6】【題干】甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)分別求甲隊(duì)以30,31,32勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分，對(duì)方得1分求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望【答案】見解析【解析】(1)設(shè)“甲隊(duì)以30,31,32勝利”分別為事件A，B，C，則P(A)××，P(B)C2××，P(C)C2×2×.(2)X的可能的取值為0,1,2,3.則P(X0)

10、P(A)P(B)，P(X1)P(C)，P(X2)C×2×2×，P(X3)3C2××.X的分布列為X0123PE(X)0×1×2×3×.【例題7】【題干】一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是.(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y的分布列【答案】見解析【解析】 (1)將通過每個(gè)交通崗看做一次試驗(yàn)，則遇到紅燈的概率為，且每次試驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的，故XB.所以X的分布列

11、為P(Xk)Ck·6k，k0,1,2,3,4,5,6.(2)由于Y表示這名學(xué)生在首次停車時(shí)經(jīng)過的路口數(shù)，顯然Y是隨機(jī)變量，其取值為0,1,2,3,4,5,6.其中：Yk(k0,1,2,3,4,5)表示前k個(gè)路口沒有遇上紅燈，但在第k1個(gè)路口遇上紅燈，故各概率應(yīng)按獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生計(jì)算P(Yk)()k·(k0,1,2,3,4,5)，而Y6表示一路沒有遇上紅燈故其概率為P(Y6)()6，因此Y的分布列為Y0123456P··()2·()3·()4·()5()6四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1已知A，B是兩個(gè)相互獨(dú)立事件，P(A)，P(B)分

12、別表示它們發(fā)生的概率，則1P(A)P(B)是下列哪個(gè)事件的概率()A事件A，B同時(shí)發(fā)生B事件A，B至少有一個(gè)發(fā)生C事件A，B至多有一個(gè)發(fā)生D事件A，B都不發(fā)生【答案】C【解析】P(A)P(B)是指A，B同時(shí)發(fā)生的概率，1P(A)·P(B)是A，B不同時(shí)發(fā)生的概率，即至多有一個(gè)發(fā)生的概率2設(shè)隨機(jī)變量XB(2，p)，YB(4，p)，若P(X1)，則P(Y2)的值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】P(X1)P(X1)P(X2)Cp(1p)Cp2，解得p.(0p1，故p舍去)故P(Y2)1P(Y0)P(Y1)1C×()4C××()3.【鞏固】1. 兩

13、個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)事件A：甲實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品；事件B：乙實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品，則P(A)，P(B)，所以這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)×(1)(1)×.2明天上午李明要參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)，為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率為0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.90，則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是_【答案】 0.98【解析】 10.20

14、5;0.1010.020.98.【拔高】1某種元件的使用壽命超過1年的概率為0.6，使用壽命超過2年的概率為0.3，則使用壽命超過1年的元件還能繼續(xù)使用的概率為()A0.3 B0.5 C0.6 D1【答案】B【解析】設(shè)事件A為“該元件的使用壽命超過1年”，B為“該元件的使用壽命超過2年”，則P(A)0.6，P(B)0.3.因?yàn)锽A，所以P(AB)P(B)0.3，于是P(B|A)0.5.2甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙兩人各投球2次，求共命中2次的概率【

15、答案】見解析【解析】(1)方法一設(shè)“甲投一次球命中”為事件A，“乙投一次球命中”為事件B.由題意得(1P(B)2(1p)2，解得p或p(舍去)，所以乙投球的命中率為.方法二設(shè)“甲投一次球命中”為事件A，“乙投一次球命中”為事件B.由題意得：P()P()，于是P()或P()(舍去)故p1P().所以乙投球的命中率為.(2)方法一由題設(shè)知，P(A)，P().故甲投球2次，至少命中1次的概率為1P(·).方法二由題設(shè)知，P(A)，P().故甲投球2次，至少命中1次的概率為CP(A)P()P(A)P(A).(3)由題設(shè)和(1)知，P(A)，P()，P(B)，P().甲、乙兩人各投球2次，共命

16、中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次概率分別為CP(A)P()CP(B)P()，P(A)P(A)P()P()，P()P()P(B)P(B).所以甲、乙兩人各投球2次，共命中2次的概率為.課程小結(jié)方法與技巧1古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)，其中，在實(shí)際應(yīng)用中P(B|A)是一種重要的求條件概率的方法2相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)事件發(fā)生的概率互不影響，計(jì)算式為P(AB)P(A)P(B)互斥事件是指在同一試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，計(jì)算公式為P(AB)P(A)P(B)3n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)

17、生k次可看做是C個(gè)互斥事件的和，其中每一個(gè)事件都可看做是k個(gè)A事件與nk個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，只是發(fā)生的次序不同，其發(fā)生的概率都是pk(1p)nk.因此n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為Cpk(1p)nk.失誤與防范1運(yùn)用公式P(AB)P(A)P(B)時(shí)一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率相等注意恰好與至多(少)的關(guān)系，靈活運(yùn)用對(duì)立事件.課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲得冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能獲得冠軍，若兩隊(duì)勝每

18、局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】甲隊(duì)若要獲得冠軍，有兩種情況，可以直接勝一局，獲得冠軍，概率為，也可以乙隊(duì)先勝一局，甲隊(duì)再勝一局，概率為×，故甲隊(duì)獲得冠軍的概率為.2. 明天上午李明要參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)，為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率為0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率是0.90，則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是_【答案】0.98【解析】10.20×0.1010.020.98.【鞏固】3某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為_【答案】【解析】

19、設(shè)該隊(duì)員每次罰球的命中率為p(其中0<p<1)，則依題意有1p2，p2.又0<p<1，因此有p.4. 如圖，一圓形靶分成A，B，C三部分，其面積之比為112.某同學(xué)向該靶投擲3枚飛鏢，每次1枚假設(shè)他每次投擲必定會(huì)中靶，且投中靶內(nèi)各點(diǎn)是隨機(jī)的(1)求該同學(xué)在一次投擲中投中A區(qū)域的概率；(2)設(shè)X表示該同學(xué)在3次投擲中投中A區(qū)域的次數(shù)，求X的分布列；(3)若該同學(xué)投中A，B，C三個(gè)區(qū)域分別可得3分，2分，1分，求他投擲3次恰好得4分的概率【答案】見解析【解析】(1)設(shè)該同學(xué)在一次投擲中投中A區(qū)域的概率為P(A)，依題意，P(A).(2)依題意知，XB(3，)，從而X的分布列

20、為X0123P(3)設(shè)Bi表示事件“第i次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中B區(qū)域”，Ci表示事件“第i次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中C區(qū)域”，i1,2,3.依題意知PP(B1C2C3)P(C1B2C3)P(C1C2B3)3×××.【拔高】5. 如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為()A0.960 B0.864C0.720 D0.576【答案】B【解析】方法一由題意知K，A1，A2正常工作的概率分別為P(K)0.9，P(A1)0.8，P(A2)0.8，K，A1，A2相互獨(dú)立，A1，A2至少有一個(gè)正常工作的概率為P(A2