倒立擺MATLAB建模

1、 線控大作業(yè)如圖所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個小車上。這里僅考慮倒立擺在圖面內運動的二維問題。圖 倒立擺系統(tǒng)假定倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)如下。擺桿的質量：m=0.1g擺桿的長度：2l=1m小車的質量：M=1kg重力加速度：g=10/s2擺桿慣量：I=0.003kgm2擺桿的質量在擺桿的中心。設計一個控制系統(tǒng)，使得當給定任意初始條件(由干擾引起)時，最大超調量d %10%，調節(jié)時間ts 4s ，使擺返回至垂直位置，并使小車返回至參考位置(x=0)。要求：1、建立倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程2、定量分析,定性分析系統(tǒng)的性能指標能控性、能觀性、穩(wěn)定性3、極點配置 設計分析報告1 系統(tǒng)建模在忽略了空氣阻力和

2、各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質桿組成的系統(tǒng)。如下如所示。圖 一級倒立擺模型其中： 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向。 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：即：把這個等式代入式(3-1)中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程：為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合

3、力進行分析，可以得到下面方程： 力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有負號。 合并這兩個方程，約去和，得到第二個運動方程： 設（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設與1（單位是弧度）相比很小，即，則可以進行近似處理：。用來代表被控對象的輸入力，線性化后兩個運動方程如下： 對式(3-9)進行拉普拉斯變換，得到 注意：推導傳遞函數(shù)時假設初始條件為0。 由于輸出為角度，求解方程組的第一個方程，可以得到： 或 如果令，則有：把上式代入方程組的第二個方程，得到： 整理后得到傳遞函數(shù)： 其中 設系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：方程組 對解代數(shù)方程，得到解如下：整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：代入

4、倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)。擺桿的質量：m=0.1g擺桿的長度：2l=1m小車的質量：M=1kg重力加速度：g=10/s2擺桿慣量：I=0.003kgm2另外，也可以利用 MATLAB 中 tf2ss 命令對(3-13)式進行轉化，求得上述狀態(tài)方程。 2 系統(tǒng)分析2.1 判斷系統(tǒng)能控性和能觀性在MATLAB中，可以利用ctrb()和obsv()函數(shù)直接求出能控性和能觀性矩陣 A=0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0;1;0;1;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0;Uc=ctrb(A,B);rc=rank(Uc);n=size(A);if rc=n disp

5、('system is controlled.')elseif rc<n disp('system is uncontrolled.') endVo=obsv(A,C);ro=rank(Vo);if ro=n disp('system is observable.')elseif ro=n disp('system is no observable.') End運行情況如下：2.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性A=0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0;1;0;1;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;

6、0;P=poly(A),v=roots(P)運行結果如下：特征值為0（二重），3.3166,-3.3166，顯然，其中一個極點在右半平面，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。3 系統(tǒng)設計 極點配置與控制器設計極點配置的方法就是通過一個適當?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣的狀態(tài)反饋方法 ,將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到任意期望的位置。，其中x是狀態(tài)變量（n維），u是控制信號，這里選取控制信號為，該方程的解為，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應和瞬態(tài)響應特性由矩陣 A - B K的特征決定。，閉環(huán)系統(tǒng)的方程為，選取所希望的極點值為，設計狀態(tài)反饋陣時，要使系統(tǒng)的極點設計成具有兩個主導極點，兩個非主導極點，這樣就可以用二階系統(tǒng)的分析方法進行參數(shù)的確定。最大超調量小于等于10%，調節(jié)時間為4S，運用超調量的計算公式，其中為阻尼系數(shù)，有該公式可求得，阻尼系數(shù)=0.59，小于1，是欠阻尼。 ，可以求得=1.27則極點公式為，得到兩個共軛極點為.配置非主導極點，在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供了單變量系統(tǒng)極點配置acker(),其格式為K=acker(A,B,p)程序如下：A=0 1 0 0;0 0 -2 0;0 0 0 1;0 0 22 0;B=0;1;0;-1;C=1 0 0 0;0 1 0 0；0 0 1 0；0 0 0 1;D=