最小二乘法OLS和線性回歸

1、1第二章第二章 最小二乘法（最小二乘法（OLS）和線性回歸模型和線性回歸模型2本章要點(diǎn) 最小二乘法的基本原理和計(jì)算方法 經(jīng)典線性回歸模型的基本假定 BLUE統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì) t檢驗(yàn)和置信區(qū)間檢驗(yàn)的原理及步驟 多變量模型的回歸系數(shù)的F檢驗(yàn) 預(yù)測的類型及評判預(yù)測的標(biāo)準(zhǔn) 好模型具有的特征3第一節(jié)第一節(jié) 最小二乘法的基本屬性最小二乘法的基本屬性 一、有關(guān)回歸的基本介紹 金融、經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，大體上可以分為兩種： （1）函數(shù)關(guān)系：Y=f(X1,X2,.,XP)，其中Y的值是由Xi（i=1,2.p）所唯一確定的。 （2）相關(guān)關(guān)系: Y=f(X1,X2,.,XP) ，這里Y的值不能由Xi（i=1,2.p）精

2、確的唯一確定。4圖2-1 貨幣供應(yīng)量和GDP散點(diǎn)圖5 圖2-1表示的是我國貨幣供應(yīng)量M2（y）與經(jīng)過季節(jié)調(diào)整的GDP（x）之間的關(guān)系（數(shù)據(jù)為1995年第一季度到2004年第二季度的季度數(shù)據(jù)）。6 但有時(shí)候我們想知道當(dāng)x變化一單位時(shí)，y平均變化多少，可以看到，由于圖中所有的點(diǎn)都相對的集中在圖中直線周圍，因此我們可以以這條直線大致代表x與y之間的關(guān)系。如果我們能夠確定這條直線，我們就可以用直線的斜率來表示當(dāng)x變化一單位時(shí)y的變化程度，由圖中的點(diǎn)確定線的過程就是回歸。 7 對于變量間的相關(guān)關(guān)系，我們可以根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)資料，找出它們在數(shù)量變化方面的規(guī)律（即“平均”的規(guī)律），這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律所揭示的關(guān)系就是

3、回歸關(guān)系（regressive relationship）,所表示的數(shù)學(xué)方程就是回歸方程（regression equation）或回歸模型（regression model）。8 圖2-1中的直線可表示為 （2.1）y= x 根據(jù)上式，在確定、的情況下，給定一個(gè)x值，我們就能夠得到一個(gè)確定的y值，然而根據(jù)式（2.1）得到的y值與實(shí)際的y值存在一個(gè)誤差（即圖2-1中點(diǎn)到直線的距離）。 9 如果我們以表示誤差，則方程（2.1）變?yōu)椋?y= ux 即： tttuxy其中t（=1,2,3,.,T）表示觀測數(shù)。 （2.2）（2.3）式（2.3）即為一個(gè)簡單的雙變量回歸模型（因其僅具有兩個(gè)變量x, y）

4、的基本形式。 10 其中yt被稱作因變量（dependent variable）、 被解釋變量（explained variable）、 結(jié)果變量（effect variable）； xt被稱作自變量（independent variable）、解釋變量（explanatory variable）、 原因變量（causal variable）11 、為參數(shù)（parameters）,或稱回歸系數(shù)（regression coefficients）； t通常被稱為隨機(jī)誤差項(xiàng)（stochastic error term）,或隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)（random disturbance term）,簡稱誤差項(xiàng)， 在

5、回歸模型中它是不確定的，服從隨機(jī)分布（相應(yīng)的，yt也是不確定的，服從隨機(jī)分布）。 12 為什么將t 包含在模型中？ （1）有些變量是觀測不到的或者是無法度量的，又或者影響因變量yt的因素太多； （2）在yt的度量過程中會(huì)發(fā)生偏誤，這些偏誤在模型中是表示不出來的； （3）外界隨機(jī)因素對yt的影響也很難模型化，比如：恐怖事件、自然災(zāi)害、設(shè)備故障等。13 二、參數(shù)的最小二乘估計(jì) (一) 方法介紹 本章所介紹的是普通最小二乘法（ordinary least squares,簡記OLS）; 最小二乘法的基本原則是：最優(yōu)擬合直線應(yīng)該使各點(diǎn)到直線的距離的和最小，也可表述為距離的平方和最小。 假定根據(jù)這一原理

6、得到的、估計(jì)值為 、 ，則直線可表示為 。ttyx14 直線上的yt值，記為 ，稱為擬合值（fitted value）,實(shí)際值與擬合值的差，記為 ，稱為殘差（residual） ，可以看作是隨機(jī)誤差項(xiàng) 的估計(jì)值。 根據(jù)OLS的基本原則，使直線與各散點(diǎn)的距離的平方和最小，實(shí)際上是使殘差平方和（residual sum of squares, 簡記RSS） 最小，即最小化：tytutuT21ttuT21()tttyyT21()tttyx RSS= = （2.4） 15 根據(jù)最小化的一階條件，將式2.4分別對、求偏導(dǎo)，并令其為零，即可求得結(jié)果如下 :22xTxxyTyxtttyx（2.5） （2.6

7、） 16 （二）一些基本概念 1.總體（the population）和樣本（the sample） 總體是指待研究變量的所有數(shù)據(jù)集合，可以是有限的，也可以是無限的；而樣本是總體的一個(gè)子集。 2、總體回歸方程（the population regression function，簡記PRF），樣本回歸方程（the sample regression function，簡記SRF）。17 總體回歸方程（PRF）表示變量之間的真實(shí)關(guān)系，有時(shí)也被稱為數(shù)據(jù)生成過程（DGP），PRF中的、值是真實(shí)值，方程為：ttxy+tu （2. 7） 樣本回歸方程（SRF）是根據(jù)所選樣本估算的變量之間的關(guān)系函數(shù)，方程

8、為： 注意：SRF中沒有誤差項(xiàng)，根據(jù)這一方程得到的是總體因變量的期望值txy（2.8） 18于是方程（2.7）可以寫為： （2.9） 總體y值被分解為兩部分：模型擬合值（ ）和殘差項(xiàng)（ ）。y tutttyxu19 3.線性關(guān)系 對線性的第一種解釋是指：y是x的線性函數(shù)，比如，y= 。 對線性的第二種解釋是指：y是參數(shù)的一個(gè)線性函數(shù)，它可以不是變量x的線性函數(shù)。 比如，y= 就是一個(gè)線性回歸模型， 但 則不是。 在本課程中，線性回歸一詞總是對指參數(shù)為線性的一種回歸（即參數(shù)只以一次方出現(xiàn)），對解釋變量x則可以是或不是線性的。x2xxy20 有些模型看起來不是線性回歸，但經(jīng)過一些基本代數(shù)變換可以轉(zhuǎn)

9、換成線性回歸模型。例如， tutteAxy （2.10） 可以進(jìn)行如下變換： tttuxAylnlnln （2.11） 令 、 、 ，則方程（2. 11）變?yōu)椋?ttyYln Aln ttxXlntttuXY（2.12） 可以看到，模型2.12即為一線性模型。 21 4.估計(jì)量（estimator）和估計(jì)值（estimate） 估計(jì)量是指計(jì)算系數(shù)的方程；而估計(jì)值是指估計(jì)出來的系數(shù)的數(shù)值。22 三、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)和分布 （一） 經(jīng)典線性回歸模型的基本假設(shè) （1） ，即殘差具有零均值； （2）var ,即殘差具有常數(shù)方差，且對于所有x值是有限的； （3）cov ，即殘差項(xiàng)之間在統(tǒng)計(jì)意義上是相

10、互獨(dú)立的； （4）cov ，即殘差項(xiàng)與變量x無關(guān)； （5）tN ,即殘差項(xiàng)服從正態(tài)分布0tE u 2tu0,jiuu0,ttxu2, 023 （二）最小二乘估計(jì)量的性質(zhì) 如果滿足假設(shè)(1)(4)，由最小二乘法得到的估計(jì)量 、 具有一些特性，它們是最優(yōu)線性無偏估計(jì)量（Best Linear Unbiased Estimators，簡記BLUE）。24 估計(jì)量（estimator）：意味著 、 是包含著真實(shí)、值的估計(jì)量； 線性（linear）：意味著 、 與隨機(jī)變量y之間是線性函數(shù)關(guān)系； 無偏（unbiased）：意味著平均而言，實(shí)際得到的 、 值與其真實(shí)值是一致的； 最優(yōu)（best）：意味著在所

11、有線性無偏估計(jì)量里，OLS估計(jì)量 具有最小方差。 25 (三) OLS估計(jì)量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和其概率分布 1.OLS估計(jì)量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差。 給定假設(shè)(1)(4)，估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算方程如下 : 22222xTxTxsxxTxsSEtttt 22211xTxsxxsSEtt22Tust其中， 是殘差的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差。 （2.21） （2.22）26 參數(shù)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差具有如下的性質(zhì)： （1）樣本容量T越大，參數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差越??； （2） 和 都取決于s2。 s2是殘差的方差估計(jì)量。 s2越大，殘差的分布就越分散，這樣模型的不確定性也就越大。如果s2很大，這意味著估計(jì)直線不能很好地?cái)M合散點(diǎn)； SE S

12、E27 （3）參數(shù)估計(jì)值的方差與 成反比。 其值越小，散點(diǎn)越集中，這樣就越難準(zhǔn)確地估計(jì)擬合直線；相反，如果 越大，散點(diǎn)越分散，這樣就可以容易地估計(jì)出擬合直線，并且可信度也大得多。 比較圖22就可以清楚地看到這點(diǎn)。 2 xxt2 xxt28圖22 直線擬合和散點(diǎn)集中度的關(guān)系29 （4） 項(xiàng)只影響截距的標(biāo)準(zhǔn)差，不影響斜率的標(biāo)準(zhǔn)差。理由是： 衡量的是散點(diǎn)與y軸的距離。 越大，散點(diǎn)離y軸越遠(yuǎn)，就越難準(zhǔn)確地估計(jì)出擬合直線與y軸的交點(diǎn)（即截距）；反之，則相反。2tx2tx2tx30 2OLS估計(jì)量的概率分布 給定假設(shè)條件(5)，即 ，則 也服從正態(tài)分布 系數(shù)估計(jì)量也是服從正態(tài)分布的：tu2, 0Nty v

13、ar,N（2.30） var,N （2.31）31 需要注意的是：如果殘差不服從正態(tài)分布，即假設(shè)(5)不成立，但只要CLRM的其他假設(shè)條件還成立，且樣本容量足夠大，則通常認(rèn)為系數(shù)估計(jì)量還是服從正態(tài)分布的。 其標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為： 1 , 0Nvar 1 , 0varN （2.32） （2.33）32 但是，總體回歸方程中的系數(shù)的真實(shí)標(biāo)準(zhǔn)差是得不到的，只能得到樣本的系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差（ 、 ）。用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去替代總體標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)產(chǎn)生不確定性，并且 SE SE 、 將不再服從正態(tài)分布，而服從自由度為T-2的t分布，其中T為樣本容量 SE SE即： SE (2.34) SE2Tt2Tt (2.35)333.正態(tài)分

14、布和t分布的關(guān)系圖2-3 正態(tài)分布和t分布形狀比較34 從圖形上來看，t分布的尾比較厚，均值處的最大值小于正態(tài)分布。 隨著t分布自由度的增大，其對應(yīng)臨界值顯著減小，當(dāng)自由度趨向于無窮時(shí)，t分布就服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布了。 所以正態(tài)分布可以看作是t分布的一個(gè)特例。35第二節(jié)第二節(jié) 一元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)一元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 一、擬合優(yōu)度(goodness of fit statistics)檢驗(yàn) 擬合優(yōu)度可用R2 表示：模型所要解釋的 是y相對于其均值的波動(dòng)性，即 （總平方和，the total sum of squares， 簡記TSS），這一平方和可以分成兩部分： 2 yyt36 = +

15、 （2.36） 是被模型所解釋的部分，稱為回歸平方和（the explained sum of squares，簡記ESS）； 是不能被模型所解釋的殘差平方和（RSS）,即 =2 yy2tu2tu2ttyy2 yyt2 yyt2tu37 TSS、ESS、RSS的關(guān)系以下圖來表示更加直觀一些： 圖24 TSS、ESS、RSS的關(guān)系38 擬合優(yōu)度 因?yàn)?TSS=ESS+RSS 所以 R2 （2.39）2RTSSESS （2.37） （2.38）TSSRSSTSSRSSTSSTSSESS1 1 , 02R R2越大，說明回歸線擬合程度越好；R2越小，說明回歸線擬合程度越差。由上可知，通過考察R2的大

16、小，我們就能粗略地看出回歸線的優(yōu)劣。39 但是，R2作為擬合優(yōu)度的一個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)也存在一些問題： （1）如果模型被重新組合，被解釋變量發(fā)生了變化，那么R2也將隨之改變，因此具有不同被解釋變量的模型之間是無法來比較R2的大小的。40 （2）增加了一個(gè)解釋變量以后， R2只會(huì)增大而不會(huì)減小，除非增加的那個(gè)解釋變量之前的系數(shù)為零，但在通常情況下該系數(shù)是不為零的，因此只要增加解釋變量， R2就會(huì)不斷的增大，這樣我們就無法判斷出這些解釋變量是否應(yīng)該包含在模型中。 （3）R2的值經(jīng)常會(huì)很高，達(dá)到0.9或更高，所以我們無法判斷模型之間到底孰優(yōu)孰劣。41 為了解決上面第二個(gè)問題，我們通常用調(diào)整過的R2來代替未調(diào)

17、整過的R2 。對R2進(jìn)行調(diào)整主要是考慮到在引進(jìn)一個(gè)解釋變量時(shí)，會(huì)失去相應(yīng)的自由度。調(diào)整過的R2用 來表示，公式為： 其中T為樣本容量 ，K為自變量個(gè)數(shù) 2R22111RKTTR（2.40）42 二、假設(shè)檢驗(yàn) 假設(shè)檢驗(yàn)的基本任務(wù)是根據(jù)樣本所提供的信息，對未知總體分布某些方面的假設(shè)做出合理解釋 假設(shè)檢驗(yàn)的程序是，先根據(jù)實(shí)際問題的要求提出一個(gè)論斷，稱為零假設(shè)（null hypothesis）或原假設(shè)，記為H0（一般并列的有一個(gè)備擇假設(shè)（alternative hypothesis）,記為H1 ） 然后根據(jù)樣本的有關(guān)信息，對H0的真?zhèn)芜M(jìn)行判斷，做出拒絕H0或不能拒絕H0的決策。43 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想

18、是概率性質(zhì)的反證法。 概率性質(zhì)的反證法的根據(jù)是小概率事件原理。該原理認(rèn)為“小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的”。在原假設(shè)H0下構(gòu)造一個(gè)事件（即檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量），這個(gè)事件在“原假設(shè)H0是正確的”的條件下是一個(gè)小概率事件，如果該事件發(fā)生了，說明“原假設(shè)H0是正確的”是錯(cuò)誤的，因?yàn)椴粦?yīng)該出現(xiàn)的小概率事件出現(xiàn)了，應(yīng)該拒絕原假設(shè)H0 。44 假設(shè)檢驗(yàn)有兩種方法： 置信區(qū)間檢驗(yàn)法（confidence interval approach）和顯著性檢驗(yàn)法（test of significance approach）。 顯著性檢驗(yàn)法中最常用的是t檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)，前者是對單個(gè)變量系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，后者是對多個(gè)變

19、量系數(shù)的聯(lián)合顯著性檢驗(yàn)。45 （一）t檢驗(yàn) 下面我們具體介紹對方程（2.3）的系數(shù)進(jìn)行t檢驗(yàn)的主要步驟。 （1）用OLS方法回歸方程（2.3），得到的估計(jì)值 及其標(biāo)準(zhǔn)差 。 （2）假定我們建立的零假設(shè)是： ，備則假設(shè)是 （這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn))。 SE*0:H*1:H46 則我們建立的統(tǒng)計(jì)量 服從自由度為T-2的t分布。 *stat =SE（3）選擇一個(gè)顯著性水平（通常是5%）,我們就可以在t分布中確定拒絕區(qū)域和非拒絕區(qū)域，如圖2-5。如果選擇顯著性水平為5%，則表明有5%的分布將落在拒絕區(qū)域 47 圖2-5 雙側(cè)檢驗(yàn)拒絕區(qū)域和非拒絕區(qū)域分布48 （4）選定顯著性水平后，我們就可以根據(jù)t分布表求得

20、自由度為T-2的臨界值，當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值的絕對值大于臨界值時(shí)，它就落在拒絕區(qū)域，因此我們拒絕的原假設(shè)，而接受備則假設(shè)。反之則相反。 可以看到，t檢驗(yàn)的基本原理是如果參數(shù)的假設(shè)值與估計(jì)值差別很大，就會(huì)導(dǎo)致小概率事件的發(fā)生，從而導(dǎo)致我們拒絕參數(shù)的假設(shè)值。 49(二）置信區(qū)間法 仍以方程2.3的系數(shù)為例，置信區(qū)間法的基本思想是建立圍繞估計(jì)值 的一定的限制范圍，推斷總體參數(shù)是否在一定的置信度下落在此區(qū)間范圍內(nèi)。 置信區(qū)間檢驗(yàn)的主要步驟（所建立的零假設(shè)同 t檢驗(yàn)）。50 （1）用OLS法回歸方程（2.3），得到的估計(jì)值 及其標(biāo)準(zhǔn)差 。 （2）選擇一個(gè)顯著性水平（通常為5%），這相當(dāng)于選擇95%的置信度。查t

21、分布表，獲得自由度為T-2的臨界值 。 （3）所建立的置信區(qū)間為（ ， ） （2.41） SEcrittcritt SEcritt SE51 （4）如果零假設(shè)值 落在置信區(qū)間外，我們就拒絕 的原假設(shè)；反之，則不能拒絕。 需要注意的是，置信區(qū)間檢驗(yàn)都是雙側(cè)檢驗(yàn)，盡管在理論上建立單側(cè)檢驗(yàn)也是可行的。*0:H52 （三）t檢驗(yàn)與置信區(qū)間檢驗(yàn)的關(guān)系 在顯著性檢驗(yàn)法下，當(dāng) 的絕對值小于臨界值時(shí)，即： （2.42） 時(shí)，我們不能拒絕原假設(shè)。 對式（2.41）變形，我們可以得到： （2.43） 可以看到，式（2.43）恰好是置信區(qū)間法的置信區(qū)間式（2.41），因此，實(shí)際上t檢驗(yàn)法與置信區(qū)間法提供的結(jié)果是完全

22、一樣的。stat*c ritc rit-ttS E critt SE*critt SE53 （四）第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤 如果有一個(gè)零假設(shè)在5的顯著性水平下被拒絕了，有可能這個(gè)拒絕是不正確的，這種錯(cuò)誤被稱為第一類錯(cuò)誤，它發(fā)生的概率為5。 另外一種情況是，我們得到95的一個(gè)置信區(qū)間，落在這個(gè)區(qū)間的零假設(shè)我們都不能拒絕，當(dāng)我們接受一個(gè)零假設(shè)的時(shí)候也可能犯錯(cuò)誤，因?yàn)榛貧w系數(shù)的真實(shí)值可能是該區(qū)間內(nèi)的另外一個(gè)值，這一錯(cuò)誤被稱為第二類錯(cuò)誤。 在選擇顯著性水平時(shí)人們面臨抉擇：降低犯第一類錯(cuò)誤的概率就會(huì)增加犯第二類錯(cuò)誤的概率。54 （五）P值 P值是計(jì)量經(jīng)濟(jì)結(jié)果對應(yīng)的精確的顯著性水平。 P值度量的是犯第一類錯(cuò)

23、誤的概率，即拒絕正確的零假設(shè)的概率。P值越大，錯(cuò)誤地拒絕零假設(shè)的可能性就越大；p值越小，拒絕零假設(shè)時(shí)就越放心?，F(xiàn)在許多統(tǒng)計(jì)軟件都能計(jì)算各種統(tǒng)計(jì)量的p值，如Eviews、Stata等。55第三節(jié)第三節(jié) 多變量線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)多變量線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 一、多變量模型的簡單介紹 考察下面這個(gè)方程： t=1,2,3.T (2.44) 對y產(chǎn)生影響的解釋變量共有k-1（x2t,x3t,xkt）個(gè)，系數(shù)（12.k）分別衡量了解釋變量對因變量y的邊際影響的程度。tktktttuxxxy.3322156 方程（2.44）的矩陣形式為 這里：y是T1矩陣，X是Tk矩陣，是k1矩陣，u是T1矩陣uXy（

24、2.46）57 在多變量回歸中殘差向量為：Tuuuu21M（2.47） 殘差平方和為： 2222212121tTTTuuuuuuuuuuuuRSSKML（2.48）58 可以得到多變量回歸系數(shù)的估計(jì)表達(dá)式 yXXXk121M （2.49）同樣我們可以得到多變量回歸模型殘差的樣本方差kTuus2（2.50） 參數(shù)的協(xié)方差矩陣 （2.51） 12varXXs59 二、擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 在多變量模型中，我們想知道解釋變量一起對因變量y變動(dòng)的解釋程度。我們將度量這個(gè)信息的量稱為多元判定系數(shù)R2。 在多變量模型中，下面這個(gè)等式也成立： TSS=ESS+RSS （2.52） 其中，TSS為總離差平方和；ESS

25、為回歸平方和；RSS為殘差平方和。60 與雙變量模型類似，定義如下： 即，R2是回歸平方和與總離差平方和的比值；與雙變量模型唯一不同的是，ESS值與多個(gè)解釋變量有關(guān)。 R2的值在0與1之間，越接近于1，說明估計(jì)的回歸直線擬合得越好。TSSESSR2（2.53）61 可以證明： （2.54） 因此， （2.55）kttkttttxyxyxyESS3322233222tkttkttttyxyxyxyR62三、假設(shè)檢驗(yàn) （一）、t檢驗(yàn) 在多元回歸模型中，t統(tǒng)計(jì)量為： *1111tSE*2222tSE*kkkktSE（2.56） 均服從自由度為（n-k）的t分布。下面的檢驗(yàn)過程跟雙變量線性回歸模型的檢

26、驗(yàn)過程一樣。 63 （二）、F檢驗(yàn) F檢驗(yàn)的第一個(gè)用途是對所有的回歸系數(shù)全為0的零假設(shè)的檢驗(yàn)。第二個(gè)用途是用來檢驗(yàn)有關(guān)部分回歸系數(shù)的聯(lián)合檢驗(yàn)，就方法而言，兩種用途是完全沒有差別的，下面我們將以第二個(gè)用途為例，對F檢驗(yàn)進(jìn)行介紹。 64 為了解聯(lián)合檢驗(yàn)是如何進(jìn)行的，考慮如下多元回歸模型： uxxykk221 （2.57）這個(gè)模型稱為無約束回歸模型（unrestricted regression），因?yàn)殛P(guān)于回歸系數(shù)沒有任何限制。 65 假設(shè)我們想檢驗(yàn)其中q個(gè)回歸系數(shù)是否同時(shí)為零，為此改寫公式（2.57），將所有變量分為兩組，第一組包含k-q個(gè)變量（包括常項(xiàng)），第二組包含q個(gè)變量： uxxxxykkq

27、kqkqkqk11221（2.58） 66 如果假定所有后q個(gè)系數(shù)都為零，即建立零假設(shè)： ，則修正的模型將變?yōu)橛屑s束回歸模型（restricted regression）（零系數(shù)條件）：01kqkuxxyqkqk221 （2.59）67 關(guān)于上述零假設(shè)的檢驗(yàn)很簡單。若從模型中去掉這q個(gè)變量，對有約束回歸方程（2.59）進(jìn)行估計(jì)的話，得到的誤差平方和 肯定會(huì)比相應(yīng)的無約束回歸方程的誤差平方和 大。如果零假設(shè)正確，去掉這q個(gè)變量對方程的解釋能力影響不大。當(dāng)然，零假設(shè)的檢驗(yàn)依賴于限制條件的數(shù)目，即被設(shè)定為零的系數(shù)個(gè)數(shù)，以及無約束回歸模型的自由度。RRSSURRSS68 檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為： （2.60）

28、RURURRSSRSSqRSSNK在這里，分子是誤差平方和的增加與零假設(shè)所隱含的參數(shù)限制條件的個(gè)數(shù)之比；分母是模型的誤差平方和與無條件模型的自由度之比。如果零假設(shè)為真，式（2.60）中的統(tǒng)計(jì)量將服從分子自由度為q，分母自由度為N-K的F分布。 69 對回歸系數(shù)的子集的F檢驗(yàn)與對整個(gè)回歸方程的F檢驗(yàn)做法一樣。選定顯著性水平，比如1或5，然后將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與F分布的臨界值進(jìn)行比較。如果統(tǒng)計(jì)量的值大于臨界值，我們拒絕零假設(shè)，認(rèn)為這組變量在統(tǒng)計(jì)上是顯著的。一般的原則是，必須對兩個(gè)方程分別進(jìn)行估計(jì)，以便正確地運(yùn)用這種F檢驗(yàn)。 70 F檢驗(yàn)與R2有密切的聯(lián)系?；叵?,則 ， （2.61） 兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量具有

29、相同的因變量，因此 將上面的兩個(gè)方程代入（2.60），檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量可以寫成： 21RSSRTSS 21URURURRSSRTSS21RRRRSSRTSS RURTSSTSSkNRqRRFURRURkNq222,1（2.62） 71第四節(jié)第四節(jié) 預(yù)測預(yù)測 一、預(yù)測的概念和類型 （一）預(yù)測的概念 金融計(jì)量學(xué)中，所謂預(yù)測就是根據(jù)金融經(jīng)濟(jì)變量的過去和現(xiàn)在的發(fā)展規(guī)律，借助計(jì)量模型對其未來的發(fā)展趨勢和狀況進(jìn)行描述、分析，形成科學(xué)的假設(shè)和判斷。 72 （二）預(yù)測原理 條件期望（conditional expectations），在t期Y的t+1期的條件期望值記作 ，它表示的是在所有已知的t期的信息的條件下，

30、Y在t+1期的期望值。 假定在t期，我們要對因變量Y的下一期（即t+1期）值進(jìn)行預(yù)測，則記作 。 t1tE(YI)t,1f73 在t期對Y的下一期的所有預(yù)測值中，Y的條件期望值是最優(yōu)的（即具有最小方差），因此，我們有：t,1t1tf=E(YI) （2.65） 74 （三）預(yù)測的類型： （1）無條件預(yù)測和有條件預(yù)測 所謂無條件預(yù)測，是指預(yù)測模型中所有的解釋變量的值都是已知的，在此條件下所進(jìn)行的預(yù)測。 所謂有條件預(yù)測，是指預(yù)測模型中某些解釋變量的值是未知的，因此想要對被解釋變量進(jìn)行預(yù)測，必須首先預(yù)測解釋變量的值。75 （2）樣本內(nèi)（in-sample）預(yù)測和樣本外（out-of-sample）預(yù)測

31、 所謂樣本內(nèi)預(yù)測是指用全部觀測值來估計(jì)模型，然后用估計(jì)得到的模型對其中的一部分觀測值進(jìn)行預(yù)測。 樣本外預(yù)測是指將全部觀測值分為兩部分，一部分用來估計(jì)模型，然后用估計(jì)得到的模型對另一部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。 76 （3）事前預(yù)測和事后模擬 顧名思義，事后模擬就是我們已經(jīng)獲得要預(yù)測的值的實(shí)際值，進(jìn)行預(yù)測是為了評價(jià)預(yù)測模型的好壞。 事前預(yù)測是我們在不知道因變量真實(shí)值的情況下對其的預(yù)測。 77 （4）一步向前（one-step-ahead）預(yù)測和多步向前（multi-step-ahead）預(yù)測 所謂一步向前預(yù)測，是指僅對下一期的變量值進(jìn)行預(yù)測，例如在t期對t+1期的值進(jìn)行預(yù)測，在t+1期對t+2期的值進(jìn)行的

32、預(yù)測等。 多步向前預(yù)測則不僅是對下一期的值進(jìn)行預(yù)測，也對更下期值進(jìn)行預(yù)測，例如在t期對t+1期、t+2期、t+r期的值進(jìn)行預(yù)測。 78 二、預(yù)測的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 、平均預(yù)測誤差平方和（mean squared error，簡記MSE）平均預(yù)測誤差絕對值（mean absolute error,簡記MAE）。 變量的MSE定義為： MSE= （2.66） 其中 的預(yù)測值， 實(shí)際值，T時(shí)段數(shù)211TstttyyTstytyty79 變量的MAE定義如下： MAE= ，變量的定義同前 （2.67） 可以看到，MSE和MAE度量的是誤差的絕對大小，只能通過與該變量平均值的比較來判斷誤差的大小，誤差越大，說明

33、模型的預(yù)測效果越不理想。 11TstttyyT80 2、Theil不相等系數(shù) 其定義為： （2.68） 注意，U的分子就是MSE的平方根，而分母使得U總在0與1之間。如果U=0，則對所有的t， 完全擬合；如果U=1，則模型的預(yù)測能力最差。因此，Theil不等系數(shù)度量的是誤差的相對大小。TttTtstTttstyTyTyyTU121212111tstyy 81 Theil不等系數(shù)可以分解成如下有用的形式： 其中 分別是序列 和 的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差， 是它們的相關(guān)系數(shù)，即： ssststyyyyT121222 （2.69） ,ssyystytyyyyyTtssts182 定義不相等比例如下： 221tstsMyyTyyU（2.70）221tstsSyyTU （2.71）2112tstsCyyTU （2.72）83 偏誤比例 表示系統(tǒng)誤差，因?yàn)樗攘康氖悄M序列與實(shí)際序列之間的偏離程度。 方差比例 表示的是模型中的