新北師大版九年級下冊數(shù)學圓內接正多邊形課件

1、8 圓內接正多邊形執(zhí)教人：郭維禮2016年8月24日1.1.了解正多邊形和圓的有關概念了解正多邊形和圓的有關概念. .2.2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系，會應用多邊形和圓的有關知識畫多角之間的關系，會應用多邊形和圓的有關知識畫多邊形邊形你還能舉出更多正多邊形的例子嗎？你還能舉出更多正多邊形的例子嗎？正多邊形：正多邊形：_，_的多邊形叫做正多邊形的多邊形叫做正多邊形. .正正n n邊形：如果一個正多邊形有邊形：如果一個正多邊形有n n條邊，那么這個正多邊條邊，那么這個正多邊形叫做正形叫做正n n邊形邊形. .三條邊相等，三個角

2、也相三條邊相等，三個角也相等（等（6060）. .四條邊都相等，四個角四條邊都相等，四個角也相等（也相等（9090）. .各邊相等各邊相等各角也相等各角也相等菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？為什么？ABCDE求證：正五邊形的對角線相等求證：正五邊形的對角線相等【想一想想一想】怎樣找圓的內接正三角形？怎樣找圓的內接正三角形？怎樣找圓的外切正三角形？怎樣找圓的外切正三角形？怎樣找圓的內接正方形？怎樣找圓的內接正方形？怎樣找圓的外切正方形？怎樣找圓的外切正方形？怎樣找圓的內接正怎樣找圓的內接正n n邊形？邊形？怎樣找圓的外切正怎樣找圓的外切正n n邊形

3、？邊形？EFGHABCD0ABCD【例例1 1】把圓分成把圓分成5 5等份，求證：等份，求證：依次連接各分點所得的五邊形是這個圓的內接依次連接各分點所得的五邊形是這個圓的內接正五邊形；正五邊形；經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的五邊形是這個圓的外切正五邊形頂點的五邊形是這個圓的外切正五邊形. .【例題例題】123ABCDE45證明證明: :(1(1）AB=BC=CD=DE=EAAB=BC=CD=DE=EA，AB=BC=CD=DE=EAAB=BC=CD=DE=EA，BCE=CDA=3ABBCE=CDA=3AB，1=21=2，同理同理2=3=4=

4、52=3=4=5，又又頂點頂點A A，B B，C C，D D，E E都在都在O O上，上，五邊形五邊形ABCDEABCDE是是O O的內接正五邊形的內接正五邊形. . （2 2）連接連接OAOA，OBOB，OCOC，則，則OAB=OBA=OBC=OCB.OAB=OBA=OBC=OCB.TPTP，PQPQ，QRQR分別是以分別是以A A，B B，C C為切為切點的點的O O的切線，的切線，OAP=OBP=OBQ=OCQ.OAP=OBP=OBQ=OCQ.PAB=PBA=QBC=QCB.PAB=PBA=QBC=QCB.ABCDEPQRSTO又又AB=BCAB=BC，AB=BCAB=BC，PABPAB

5、與與QBCQBC是全等的等腰三角形是全等的等腰三角形. .P=Q,PQ=2PA.P=Q,PQ=2PA.同理同理Q=R=S=TQ=R=S=T， QR=RS=ST=TP=2PA QR=RS=ST=TP=2PA， 五邊形五邊形PQRSTPQRST的各邊都與的各邊都與O O相切，相切，五邊形五邊形PQRSTPQRST是是O O的外切正五邊形的外切正五邊形. . 把圓分成把圓分成n n（n3n3）等份：）等份：依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n n邊邊形；經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為形；經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是

6、這個圓的外切正頂點的多邊形是這個圓的外切正n n邊形邊形. .一個正多邊形是否一定有外接圓和內切圓？一個正多邊形是否一定有外接圓和內切圓？【定理定理】正三角形正三角形有沒有外接圓和內切圓？怎樣作出這兩個圓？有沒有外接圓和內切圓？怎樣作出這兩個圓？這兩個圓有什么位置關系？這兩個圓有什么位置關系？正方形正方形有沒有外接圓和內切圓？怎樣作出這兩個圓？有沒有外接圓和內切圓？怎樣作出這兩個圓？這兩個圓有什么位置關系？這兩個圓有什么位置關系？那么，正那么，正n n邊形呢？邊形呢？任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，并且任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，并且這兩個圓是同心圓這兩個圓是同心圓. .【

7、類比聯(lián)想類比聯(lián)想】【定理定理】以中心為圓心以中心為圓心, ,邊心距為半徑的圓與各邊有何位置關系邊心距為半徑的圓與各邊有何位置關系? ?E EF FC CD D.中心角中心角半徑半徑R R邊心距邊心距r r正多邊形的中心正多邊形的中心: :一個正多邊形的外接圓的圓心一個正多邊形的外接圓的圓心. .正多邊形的半徑正多邊形的半徑: :外接圓的半徑外接圓的半徑正多邊形的中心角正多邊形的中心角: :正多邊形的每一邊所對的圓心角正多邊形的每一邊所對的圓心角. .正多邊形的邊心距：正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離中心到正多邊形的一邊的距離. .A AB B以中心為圓心以中心為圓心, ,邊心距為半

8、徑的圓為正多邊形的內切圓。邊心距為半徑的圓為正多邊形的內切圓。E EF FC CD DA AB BRa中心角中心角n360中心角nBOGAOG180邊心距把邊心距把AOBAOB分成分成2 2個全等的直角三角形個全等的直角三角形設正多邊形的邊長為設正多邊形的邊長為a,a,邊數(shù)為邊數(shù)為n n，圓的半徑為圓的半徑為R,R,它的周長為它的周長為L=na.L=na.22r11SLrnar22aR2邊心距，面積邊心距（ ）邊心距（ ）（ ）EDCBOAFEDCBOA正多邊形是軸對稱圖形，正正多邊形是軸對稱圖形，正n n邊形有邊形有n n條對稱軸條對稱軸. .若若n n為偶數(shù)，則其為中心對稱圖形為偶數(shù)，則其

9、為中心對稱圖形. .1.1.各邊相等，各角相等各邊相等，各角相等. .2.2.圓的內接正圓的內接正n n邊形的各個頂點把圓分成邊形的各個頂點把圓分成n n等份等份. .3.3.圓的外切正圓的外切正n n邊形的各邊與圓的邊形的各邊與圓的n n個切點把圓分成個切點把圓分成n n等份等份. .4.4.每個正多邊形都有一個內切圓和外接圓，這兩個每個正多邊形都有一個內切圓和外接圓，這兩個圓是同心圓，圓心就是正多邊形的中心圓是同心圓，圓心就是正多邊形的中心. .正多邊形的性質正多邊形的性質【歸納歸納】5.5.正多邊形都是軸對稱圖形，如果邊數(shù)是偶數(shù)那么正多邊形都是軸對稱圖形，如果邊數(shù)是偶數(shù)那么它還是中心對稱

10、圖形它還是中心對稱圖形. .6.6.正正n n邊形的中心角和它的每個外角都等于邊形的中心角和它的每個外角都等于360360/n/n，每個內角都等于每個內角都等于(n-2)180(n-2)180/n ./n .7.7.邊數(shù)相同的正多邊形相似，周長比、邊長比、半邊數(shù)相同的正多邊形相似，周長比、邊長比、半徑比、邊心距比、對應對角線比都等于相似比，面徑比、邊心距比、對應對角線比都等于相似比，面積比等于相似比的平方積比等于相似比的平方. .在在RtRtOPCOPC中中,OC=4,PC=2.,OC=4,PC=2.利用勾股定理利用勾股定理, ,可可得邊心距得邊心距【解析解析】如圖，如圖，正六邊形正六邊形AB

11、CDEFABCDEF的中心角為的中心角為6060，OBCOBC是是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑. .因此因此, ,亭子地基的周長亭子地基的周長 l =4 =46=24(m).6=24(m).22422 3 m .r（）亭子地基的面積亭子地基的面積211242 341.6(m ).22SlrOABCDEFRPr【例例2 2】有一個亭子有一個亭子, ,它的地基是半徑為它的地基是半徑為4m4m的正六邊形的正六邊形, ,求地求地基的周長和面積基的周長和面積( (精確到精確到0.1m0.1m2 2).).【跟蹤訓練跟蹤訓練】分別求出半徑為分別求出半

12、徑為R R的圓內接正三角形、的圓內接正三角形、正方形的邊長、邊心距和面積正方形的邊長、邊心距和面積. .【解析解析】作等邊作等邊ABCABC的的BCBC邊上的高邊上的高AD,AD,垂足為垂足為D D連接連接OBOB，則，則OB=ROB=R，在在RtRtOBDOBD中中,OBD=30,OBD=30, ,1.2R在在RtRtABDABD中中,BAD=30,BAD=30, ,1322ADOAODRRR，ABCDO3R,AB=AB=SSABCABC= =233RR3 3R2.24邊心距邊心距OD=OD=連接連接OBOB，OC OC 作作OEBCOEBC，垂足為，垂足為E E，OEB=90OEB=90，

13、 OBE=BOE=45OBE=BOE=45，RtRtOBEOBE為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，222,BEOEOB222,OEOB22.2OBOE 22,22OEOBR邊心距2222 ,2BCBERR邊長2222.ABCDSAB BCRR正方形ABCDOE1.1.下列圖形中：正五邊形；等腰三角形；正八下列圖形中：正五邊形；等腰三角形；正八邊形；正邊形；正2n2n（n n為自然數(shù)）邊形；任意的平行四邊為自然數(shù)）邊形；任意的平行四邊形形. .是軸對稱圖形的有是軸對稱圖形的有_,_,是中心對稱圖形的是中心對稱圖形的有有_,_,既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的

14、有有_._.2.2.兩個正七邊形的邊心距之比為兩個正七邊形的邊心距之比為3:43:4，則它們的邊長比，則它們的邊長比為為_，面積比為，面積比為_，外接圓周長比是，外接圓周長比是_，中，中心角度數(shù)比是心角度數(shù)比是_._.3:43:49:169:163:43:41:11:13.3.正方形正方形ABCDABCD的外接圓圓心的外接圓圓心O O叫做正方形叫做正方形ABCDABCD的的_4.4.正方形正方形ABCDABCD的內切圓的內切圓O O的半徑的半徑OEOE叫做正方形叫做正方形ABCDABCD的的_5.5.若正六邊形的邊長為若正六邊形的邊長為1,1,那么正六邊形的中心角是那么正六邊形的中心角是_度，度，半徑是半徑是_，邊心距是，邊心距是 ，它的每一個內角是，它的每一個內角是_6.6.正正n n邊形的一個外角度數(shù)與它的邊形的一個外角度數(shù)與它的_角的度數(shù)相等角的度數(shù)相等中心中心邊心距邊心距60601 1120120中心中心237.7.將一個正五邊形繞它的中心旋轉將一個正五邊形繞它的中心旋轉, ,至少要旋轉至少要旋轉 度度, ,才能與原來的圖形位置重合才能與原來的圖形位置重合. .72721 1正多邊形和圓的有關概念：正多邊