振動與波講座2.

1、主講教師：主講教師：姜海麗姜海麗E-mail：機(jī)械波1、幾個(gè)重要的參數(shù)、幾個(gè)重要的參數(shù)2 波長波長 ：沿波的傳播方向，兩個(gè)相鄰的、相：沿波的傳播方向，兩個(gè)相鄰的、相位差為位差為 的振動質(zhì)點(diǎn)之間的距離，即一個(gè)完整的振動質(zhì)點(diǎn)之間的距離，即一個(gè)完整波形的長度波形的長度. Wavelength2OyAA-ux2 周期周期 ：波前進(jìn)一個(gè)波長的距離所需要：波前進(jìn)一個(gè)波長的距離所需要的時(shí)間的時(shí)間. PeriodTT1TuTuu2 頻率頻率 ：周期的倒數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)波：周期的倒數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)波動所傳播的完整波的數(shù)目動所傳播的完整波的數(shù)目. Frequency 2 波速波速 ：波動過程中，某一振動狀態(tài)（即：

2、波動過程中，某一振動狀態(tài)（即振動相位）單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離（相速）振動相位）單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離（相速）. Wave speed u注意注意點(diǎn)點(diǎn) P 比點(diǎn)比點(diǎn) O 落后落后的相位的相位Op-x2-uxTuxxp-220cos()pxyAtu-點(diǎn)點(diǎn) P 振動方程振動方程0cos()oyAt點(diǎn)點(diǎn) O 振動方程振動方程 2、 波函數(shù)波函數(shù)Px*yxuAA-O相位落后法相位落后法22kd21d21dvvVmW)(cosuxtAy-)(sinuvxtAty-2 振動動能振動動能)(sind21d222kuxtVAW-xxOxdxOyydxd 3、 波的能量波的能量2Pd21dykW 楊氏模量楊氏模量

3、llESFEu )(sinuxtAuxy-xSEkd)(sind21222uxtVA-22)dd(d21xyVu22P)dd(d21d21dxyxESykW2 彈性勢能彈性勢能llESFxxOxdxOyydxd 體積元的總機(jī)械能體積元的總機(jī)械能Total mechanical energy )(sindddd222pkuxtVAWWW-)(sind21dd222pkuxtVAWW-討討 論論2 體積元在平衡位置時(shí)，動能、勢能和總機(jī)械能體積元在平衡位置時(shí)，動能、勢能和總機(jī)械能均最大均最大.2 體積元的位移最大時(shí)，三者均為零體積元的位移最大時(shí)，三者均為零. 1）在波動傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動能

4、、在波動傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動能、 勢能、總機(jī)械能均隨勢能、總機(jī)械能均隨 作周期性變化，且變化是作周期性變化，且變化是同相位同相位的的.tx,2 體積元在平衡位置時(shí)，動能、勢能和總機(jī)械能均最大體積元在平衡位置時(shí)，動能、勢能和總機(jī)械能均最大.2 體積元的位移最大時(shí)，三者均為零體積元的位移最大時(shí)，三者均為零.在波動傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動能、在波動傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動能、 勢能、總機(jī)械能勢能、總機(jī)械能均隨均隨 作周期性變化，且變化是作周期性變化，且變化是同相位同相位的的.tx,簡簡 諧諧 運(yùn)運(yùn) 動動 能能 量量 圖圖tx-t-v221kAE 0tAxcostAsin-vv, xt

5、oT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21典型題形典型題形1、已知波動方程求某些物理量、已知波動方程求某些物理量2、已知某些條件給出波動方程、已知某些條件給出波動方程 3、波的干涉、駐波問題、波的干涉、駐波問題5、已知波動方程求某些物理量、已知波動方程求某些物理量2、一平面簡諧波沿、一平面簡諧波沿Ox軸正向傳播，波動表達(dá)式為軸正向傳播，波動表達(dá)式為 4/)/(cos-uxtAy則則x1 = L1處質(zhì)點(diǎn)的振動方程是處質(zhì)點(diǎn)的振動方程是_x2 = -L2處質(zhì)點(diǎn)的振動和處質(zhì)點(diǎn)的振動和x1 = L1處質(zhì)點(diǎn)的振動的相位差為處質(zhì)點(diǎn)的振動的相位差為2 1 =_ )/(c

6、osuxtAy-)/cos(uxtA-1、一平面簡諧波的表達(dá)式為、一平面簡諧波的表達(dá)式為 其中其中x / u表示表示_； x / u表示表示_；y表示表示_ 波從坐標(biāo)原點(diǎn)傳至波從坐標(biāo)原點(diǎn)傳至x處所需時(shí)間處所需時(shí)間, x處質(zhì)點(diǎn)比原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)滯后的振動處質(zhì)點(diǎn)比原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)滯后的振動相位相位, t時(shí)刻時(shí)刻x處質(zhì)點(diǎn)的振動位移處質(zhì)點(diǎn)的振動位移 4/)/(cos11-uLtAyuLL)(213、一平面簡諧波沿、一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，波速軸正方向傳播，波速u = 100 m/s，t = 0時(shí)刻的波形曲線如圖所示可知波長時(shí)刻的波形曲線如圖所示可知波長= _； 振幅振幅A = _； 頻率頻率= _ 0.8m

7、 0.2m 125Hz4、一簡諧波沿、一簡諧波沿x軸正方向傳播軸正方向傳播x1和和x2兩點(diǎn)處的振動速度與時(shí)間兩點(diǎn)處的振動速度與時(shí)間的關(guān)系曲線分別如圖的關(guān)系曲線分別如圖(a)和和(b)已知已知| x2 - x1 | ，則，則x1和和x2兩點(diǎn)間兩點(diǎn)間的距離是的距離是_ （用波長（用波長 表示）表示） t v1 0 t v2 0 (a) (b) 21例例1：如圖所示，為一簡諧波在：如圖所示，為一簡諧波在t=0時(shí)刻的波時(shí)刻的波 形圖。試寫出形圖。試寫出O、1、2、3點(diǎn)的初位相點(diǎn)的初位相The figures below show the wave form of a simple harmonic w

8、ave at the moment of t = 0. Try to write the phases at the moment of t = 0 at the positions of 0,1,2,3. yxt=0uO123yxt=0uO123解：如圖畫出下一時(shí)刻的波形圖解：如圖畫出下一時(shí)刻的波形圖-3210202yxt=0uO123yxt=0uO123t+t5. 一振幅為一振幅為10 cm，波長為，波長為200 cm的一維余弦波。的一維余弦波。 沿沿x 軸軸正方向傳播，波速為正方向傳播，波速為100 cm/s，在，在t = 0時(shí)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)開始時(shí)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)開始從平衡位置沿正位移方向運(yùn)動。從

9、平衡位置沿正位移方向運(yùn)動。 求：（求：（1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動方程；（振動方程；（2）在）在x = 150 cm處質(zhì)點(diǎn)的振動方程。處質(zhì)點(diǎn)的振動方程。 A = 10 cm， = 2 = s-1， = u / = 0.5 Hz 初始條件：初始條件： y(0, 0) = 0 )cos(0tAy0v-210)21cos(10. 0-ty23)2321cos(10. 0-ty)2cos(10. 0-t解：解：(1) 振動方程：振動方程： 得得 故得原點(diǎn)振動方程：故得原點(diǎn)振動方程： x = 150 cm處相位比原點(diǎn)落后處相位比原點(diǎn)落后所以所以6. 一彈性波在介質(zhì)中以速度一彈性波在介質(zhì)中以速度u

10、=103m/s傳播，振幅傳播，振幅A=1.0 10-4m，頻率頻率 =103Hz，若介質(zhì)的密度為，若介質(zhì)的密度為800kg/m3。求：（。求：（1）該波的平均）該波的平均能流密度；（能流密度；（2）1分鐘內(nèi)垂直通過面積分鐘內(nèi)垂直通過面積S=4 10-4m2的總能量。的總能量。24222210*6 . 1)2(2121) 1 (uAuAI242438660104106 . 1)2(-ISt5：如圖所示，為一正行波在 t=0時(shí)刻的波形圖，已知：波速 u=857m/s 。由圖中的參數(shù)寫出此波的波動方程。y(m)x(m)t=0OA/20.1uM10解：波動方程cos),(0-uxtAtxy由圖可知：m

11、A10. 0由旋轉(zhuǎn)矢量法可確定2/3/0-My(m)x(m)t=0OA/20.1uM10t+t)/(71sradxutM)(324271cos1.0),(mxttxy-波動方程為： 注意：沿波的傳播方向位相依次落后 6、已知某些條件給出波動方程、已知某些條件給出波動方程)4cos(3 . 0-ty x y x y u u A A O D D 1、一平面簡諧波在介質(zhì)中以速度、一平面簡諧波在介質(zhì)中以速度u = 20 m/s自左向右傳播自左向右傳播已知在傳播路徑上的某點(diǎn)已知在傳播路徑上的某點(diǎn)A的振動方程為的振動方程為 另一點(diǎn)另一點(diǎn)D在在A點(diǎn)右方點(diǎn)右方9米處米處 若取若取x軸方向向左，并以軸方向向左，

12、并以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，試寫出波的表為坐標(biāo)原點(diǎn)，試寫出波的表達(dá)式，并求出達(dá)式，并求出D點(diǎn)的振動方程點(diǎn)的振動方程(2) 若取若取x軸方向向右，以軸方向向右，以A點(diǎn)左方點(diǎn)左方5米處的米處的O點(diǎn)為點(diǎn)為x軸原點(diǎn)，軸原點(diǎn)，再寫出波的表達(dá)式及再寫出波的表達(dá)式及D點(diǎn)的振動方程點(diǎn)的振動方程 2、圖示一平面余弦波在、圖示一平面余弦波在t = 0 時(shí)刻與時(shí)刻與t = 2 s時(shí)刻的波形圖已知波時(shí)刻的波形圖已知波速為速為u，求：，求： (1) 坐標(biāo)原點(diǎn)處介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動方程；坐標(biāo)原點(diǎn)處介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動方程； (2) 該波該波的波動表達(dá)式的波動表達(dá)式 x (m) O 160 A y (m) 80 20 t=0 t=2 s 2A

13、cos0Asin00A-v-21)214cos(2/-AA-21441)218/cos(0-tAy 解：解：(1) 比較比較t = 0 時(shí)刻波形圖與時(shí)刻波形圖與t = 2 s時(shí)刻波形圖，可知時(shí)刻波形圖，可知此波向左傳播在此波向左傳播在t = 0時(shí)刻，時(shí)刻，O處質(zhì)點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn) ， 又又t = 2 s，O處質(zhì)點(diǎn)位移為處質(zhì)點(diǎn)位移為 所以所以 = 1/16 Hz 振動方程為振動方程為 (SI) (2) 波速波速 u = 20 /2 m/s = 10 m/s 波長波長 = u / / = 160 m 波動表達(dá)式波動表達(dá)式 21)16016(2cos-xtAy(SI) 3. 已知一沿已知一沿x 軸負(fù)方向傳播的

14、平面余弦波，在軸負(fù)方向傳播的平面余弦波，在t=1/3s時(shí)的時(shí)的波形如圖，且周期波形如圖，且周期T=2s。（。（1）寫出）寫出O點(diǎn)的振動方程；點(diǎn)的振動方程；（2）寫出該波的波動方程；（）寫出該波的波動方程；（3）寫出）寫出Q點(diǎn)的振動方程；點(diǎn)的振動方程；（4）Q點(diǎn)離點(diǎn)離O點(diǎn)的距離多大點(diǎn)的距離多大PQOX105m4 . 02TT2)cos(1 . 00ty0,31,2-vtAy21)3cos(0-0)cos(1 . 0y0t解：（解：（1）A=0.1m，令令令令代入代入 由旋轉(zhuǎn)矢量法由旋轉(zhuǎn)矢量法 )4 . 02cos(1 . 0y0 xt)6cos(1 . 0yt307, 0 xy可得令（2）（3）

15、令）令（4） )cos(1 . 0Qty0,31, 0vty 由旋轉(zhuǎn)矢量法由旋轉(zhuǎn)矢量法 6QuuxuxtOQ-)(另解： 4、一平面簡諧波沿、一平面簡諧波沿Ox軸的負(fù)方向傳播，波長為軸的負(fù)方向傳播，波長為 ，P處質(zhì)處質(zhì)點(diǎn)的振動規(guī)律如圖所示點(diǎn)的振動規(guī)律如圖所示 (1) 求求P處質(zhì)點(diǎn)的振動方程；處質(zhì)點(diǎn)的振動方程； (2) 求此波的波動表達(dá)式；求此波的波動表達(dá)式； (3) 若圖中若圖中 21d求坐標(biāo)原點(diǎn)求坐標(biāo)原點(diǎn)O處質(zhì)點(diǎn)的振動方程處質(zhì)點(diǎn)的振動方程 xOPd t (s) 0 -A 1 yP (m) )4/2cos(tAyP)21cos(tA)4(2cos-dxtAy)21cos(0tAy解：解：(1)

16、 由振動曲線可知，由振動曲線可知，P處質(zhì)點(diǎn)振動方程為處質(zhì)點(diǎn)振動方程為 (2) 波動表達(dá)式為波動表達(dá)式為 (3) O處質(zhì)點(diǎn)的振動方程處質(zhì)點(diǎn)的振動方程 7、波的干涉、駐波問題、波的干涉、駐波問題1、. 如圖所示，兩列平面簡諧相干橫波，在兩種不同的媒質(zhì)中傳播，如圖所示，兩列平面簡諧相干橫波，在兩種不同的媒質(zhì)中傳播，在分界面上的在分界面上的P點(diǎn)相遇點(diǎn)相遇. 頻率頻率= 100Hz，振幅，振幅A1 = A2 = 1.0010 3 m，S1 的位相比的位相比S2的位相超前的位相超前1/2，在媒質(zhì)，在媒質(zhì)1中波速中波速u1 = 400m/s，在，在媒質(zhì)媒質(zhì)2中的波速中的波速u2 = 500m/s，S1P =

17、 r1 = 4.00m , S2P = r2 =3.75m , 求求：P點(diǎn)的合振幅。點(diǎn)的合振幅。20020)40000. 450075. 3(cos2)(112212-uu32110*00. 2-AAA解：解： 5、 如圖所示，原點(diǎn)如圖所示，原點(diǎn)O是波源，振動方向垂直于紙面，波長是是波源，振動方向垂直于紙面，波長是，AB為波的反射平面，反射時(shí)無半波損失。為波的反射平面，反射時(shí)無半波損失。O點(diǎn)位于點(diǎn)位于A點(diǎn)的正上點(diǎn)的正上方，方，AO = h，OX軸平行于軸平行于AB，求，求OX軸上干涉加強(qiáng)點(diǎn)的坐標(biāo)軸上干涉加強(qiáng)點(diǎn)的坐標(biāo)（限于（限于x 0)hOAxBxhOABP解：沿ox軸傳播的波與從AB面上P點(diǎn)反

18、射來的波在坐標(biāo)x處相遇，兩波的波程差為：2 , 1)2(222-kkxhxhkkkhx22 , 124222-（當(dāng)x=0時(shí)由4h2-k22=0可得k=2h/.)6、一駐波表達(dá)式為、一駐波表達(dá)式為 txAy100cos2cos (SI)位于位于x1 = (1 /8) m處的質(zhì)元處的質(zhì)元P1與位于與位于x2 = (3 /8) m處處的質(zhì)元的質(zhì)元P2的振動相位差為的振動相位差為_ 7、如果入射波的表達(dá)式是、如果入射波的表達(dá)式是，在，在x = 0處發(fā)生反射后形成駐波，反射點(diǎn)為波腹設(shè)反處發(fā)生反射后形成駐波，反射點(diǎn)為波腹設(shè)反射后波的強(qiáng)度不變，則反射波的表達(dá)式射后波的強(qiáng)度不變，則反射波的表達(dá)式y(tǒng)2 = _； 在在x = 2/3處處質(zhì)點(diǎn)合振動的振幅等于質(zhì)點(diǎn)合振動的振幅等于_ )(2cos1xTtAy)(2cosxTtA-A8. 一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿x正向傳播。振幅為正向傳播。振幅為A，頻率為，頻率為 ，傳播速度為，傳播速度為u。（1）t=0時(shí)，在原點(diǎn)時(shí)，在原點(diǎn)O處的質(zhì)元由平衡位置向處的