數(shù)學(xué)第一章簡(jiǎn)易邏輯

1、中等職業(yè)學(xué)校中等職業(yè)學(xué)校通用通用材材第第一一章章簡(jiǎn)易邏輯簡(jiǎn)易邏輯 （下冊(cè)下冊(cè)）數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)第第1章章 簡(jiǎn)易邏輯簡(jiǎn)易邏輯命命 題題邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞四種命題四種命題充分充分、必要和充要條件必要和充要條件1.1 命命 題題（1）長(zhǎng)城屬于中國(guó)。（2）雪是黑的。（3）5是自然數(shù)。（4）1125。 可以判斷真假的陳述句稱為命題命題，正確的命題稱為真命題真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題假命題。 小寫(xiě)字母p、q、r、s表示命題。 當(dāng)命題p是真命題時(shí)，有時(shí)可簡(jiǎn)稱為p為真真；當(dāng)命題p是假命題時(shí)，也可簡(jiǎn)稱為p為假假。1.1 命命 題題 例 下列語(yǔ)句是不是命題？如果是命題，指出它的真假；如果不是命題，說(shuō)明理由： （1）

2、空集是任何集合的子集。 （2）對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？ （3） （4）x5。 （5）是有理數(shù)。 （6）上課請(qǐng)不要講話！ 例題解析1.1 命命 題題不是命題不是命題不是命題真命題假命題不是命題1.1 命命 題題 命題可分為兩類：上面列舉的命題都是用一句簡(jiǎn)單的陳述句表達(dá)的，我們把這類命題稱為簡(jiǎn)單命題簡(jiǎn)單命題；而另一類命題是由一些聯(lián)結(jié)詞把一些簡(jiǎn)單命題連接起來(lái)構(gòu)成的，我們把這類命題稱為復(fù)合命題復(fù)合命題。 課堂練習(xí) 下列語(yǔ)句是不是命題？如果是命題，指出它的真假；如果不是命題，說(shuō)明理由：1.1 命命 題題1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞 根據(jù)實(shí)驗(yàn)可知，如圖所示電路中，只有開(kāi)關(guān)A、B同時(shí)閉合，燈泡D才亮。因此，燈泡

3、D亮的條件是：開(kāi)關(guān)A閉合_開(kāi)關(guān)B閉合。 根據(jù)實(shí)驗(yàn)可知，如圖所示電路中，開(kāi)關(guān)A、B中只要有一個(gè)閉合，燈泡D就亮。因此，燈泡D亮的條件是：開(kāi)關(guān)A閉合_ 開(kāi)關(guān)B閉合。 根據(jù)實(shí)驗(yàn)可知，如圖所示電路中，開(kāi)關(guān)A斷開(kāi)時(shí)燈泡D亮，閉合時(shí)不亮。因此，燈泡D亮的條件是：開(kāi)關(guān)A _ 閉合。條件和結(jié)論連在一起可表達(dá)為_(kāi) 開(kāi)關(guān)A閉合，_燈泡D不亮1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞 一般地，設(shè)p，q是兩個(gè)命題，用“且”字聯(lián)結(jié)p，q得到一個(gè)與p和q相關(guān)的新命題，記作pq，讀作“p且q”。1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞一、一、且且（and) 如圖，燈泡D亮的條件是：開(kāi)關(guān)A閉合“且”開(kāi)關(guān)B閉合。 一般地，復(fù)合命題“pq”的真假情況與兩

4、個(gè)簡(jiǎn)單命題p、q的真假情況之間的關(guān)系可以歸納為下表：1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞例題解析 解 （1）pq：菱形的對(duì)角線互相垂直且平分。 （2）pq：今天上海下雨且刮風(fēng)。1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞 例例1 將下列命題寫(xiě)成“pq”形式的復(fù)合命題： （1）p：菱形的對(duì)角線互相垂直。 q：菱形的對(duì)角線互相平分。 （2）p：今天上海下雨。 q：今天上海刮風(fēng)。1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞 （3）因?yàn)椤?是奇數(shù)”為假，“37”為假，所以“8是奇數(shù)且37”為假。 例例2 確定下列命題的真假： （1）358且112。 （2）6是偶數(shù)且3。 （3）8是奇數(shù)且37。 解 （1）因?yàn)椤?58”為真， “112”為真

5、，所以“358且112”為真。 （2）因?yàn)椤?是偶數(shù)”為真， “3”為假，所以“6是偶數(shù)且3”為假。 一般地，設(shè)p、q是兩個(gè)命題，用“或”字聯(lián)結(jié)p、q得到一個(gè)與p和q相關(guān)的新命題，記作pq，讀作“p或q”。1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞二二、或或(or) 燈泡D亮的條件是：開(kāi)關(guān)A閉合“或” 開(kāi)關(guān)B閉合。 一般地，復(fù)合命題“pq”的真假情況與兩個(gè)簡(jiǎn)單命題p、q的真假情況之間的關(guān)系可以歸納為下表： 1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞例題解析 解 （1）因?yàn)椤?.5是整數(shù)”為假，“0.5是實(shí)數(shù)”為真，所以“0.5是整數(shù)或0.5是實(shí)數(shù)”為真。1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞 例例 確定下列命題的真假： （1）0.

6、5是整數(shù)或0.5是實(shí)數(shù)。 （2）三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊。 （3）3是5的約數(shù)或3是8的約數(shù)。1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞 （2）因?yàn)椤叭切蝺蛇呏痛笥诘谌叀睘檎妫叭切蝺蛇呏钚∮诘谌叀睘檎?，所以“三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊”為真?（3）因?yàn)椤?是5的約數(shù)”為假，“3是8的約數(shù)”為假，所以“3是5的約數(shù)或3是8的約數(shù)”為假。 一般地，設(shè)p是一個(gè)命題，對(duì)它進(jìn)行否定得到一個(gè)新命題，記作 p，讀作“非p”。1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞三三、非非(not) 如圖，燈泡D亮的條件是：開(kāi)關(guān)A“非（不）”閉合。條件和結(jié)論連在一起可表達(dá)為“如果”開(kāi)

7、關(guān)A閉合，“那么”燈泡D不亮。例題解析1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞 （3） r：2是質(zhì)數(shù)。因?yàn)閞為假，所以 r為真。 例 寫(xiě)出下列命題的 p形式的命題，并確定其真假： （1）p：數(shù)學(xué)家華羅庚是中國(guó)人。 （2）q：平行線相交。 （3）r：2不是質(zhì)數(shù)。 解 （1） p：數(shù)學(xué)家華羅庚不是中國(guó)人。因?yàn)閜為真，所以 p為假。 （2） q：平行線不相交。因?yàn)閝為假，所以 q為真。課堂練習(xí) 1 1分別寫(xiě)出由下列各組命題構(gòu)成的“pq”“pq”形式的復(fù)合命題，并判斷它們的真假： （1）p：27是3的倍數(shù)；q：27是9的倍數(shù)。 （2）p：（2）24；q： 4。 （3）p：1617；q：1617。 （4）p：正方形

8、的對(duì)角線相等；q：正方形的對(duì)角線垂直。 （5）p：垂直于同一平面的兩平面平行；q：垂直于同一平面的兩平面相交。1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞2寫(xiě)出下列命題的非命題，并判斷其真假： （1）p：x2 0。 （2）q：23。 （3）t：梯形有一組對(duì)邊平行。 （4）s：樹(shù)葉都是綠色的。1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞 一般地，我們把“如果p，那么q”形式的復(fù)合命題稱為條件命題條件命題，其中p稱為命題的條件條件，q稱為命題的結(jié)論結(jié)論。1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞四四、如果如果，那么，那么1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞例題解析 解 （1）如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等。它是假命題。 例 把下列命題

9、改寫(xiě)成“如果p，那么q”的形式，并判斷它們的真假： （1）面積相等的兩個(gè)三角形全等。 （2）負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)。 （3）奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 （4）垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行。 （4）如果兩個(gè)平面都垂直于同一平面，那么這兩個(gè)平面平行。它是假命題。1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞 （2）如果一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)。它是真命題。 （3）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。它是真命題。課堂練習(xí) 21判斷下列命題的真假：（1）如果x3，那么x2。（2）如果x能被2整除，那么x是偶數(shù)。（3）如果xy0，那么x0。（4）如果ab，那么a 2b2 。1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)

10、結(jié)詞 2把下列命題改寫(xiě)成“如果，那么”的形式，判斷它們的真假： （1）若ab、c0，則acbc。 （2）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。 （3）兩個(gè)全等三角形的面積相等。 （4）垂直于同一直線的兩平面平行。1.2 邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞1.3 四種命題四種命題如果天下雨，那么露天的地面濕。 （1）變化1 把命題（1）的條件與結(jié)論互換，得如果露天的地面濕，那么天下雨。 （2）變化2 把命題（1）的條件與結(jié)論都否定，得如果天沒(méi)下雨，那么露天的地面不濕。 （3）變化3 把命題（1）的條件與結(jié)論互換后再否定，得如果露天的地面不濕，那么天沒(méi)下雨。 （4）1.3 四種命題四種命題 一般地，用p和q分別表示原命題

11、的條件和結(jié)論，用 p和 q分別表示p和q的否定，于是4種的形式就是： 原命題原命題 若p則q； 逆命題逆命題 若q則p； 否命題否命題 若 p則 q；逆否命題逆否命題 若 q則 p。例題解析1.3 四種命題四種命題 例 把下列命題改成“如果，那么”的形式，寫(xiě)出它們的逆命題、否命題與逆否命題，并說(shuō)明它們的真假： （1）負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)。 （2）正方形的四條邊相等。 逆命題：如果一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，那么它是負(fù)數(shù)。它是假命題。 否命題：如果一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，那么它的平方不是正數(shù)。它是假命題。 逆否命題：如果一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，那么它不是負(fù)數(shù)。它是真命題。 1.3 四種命題四種命題 解 （1）原命題可

12、以寫(xiě)成：如果一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，那么它的平方是正數(shù)。它是真命題。 逆命題：如果一個(gè)四邊形的四條邊相等，那么它是正方形。它是假命題。 否命題：如果一個(gè)四邊形不是正方形，那么它的四條邊不相等。它是假命題。 逆否命題：如果一個(gè)四邊形的四條邊不相等，那么它不是正方形。它是真命題。1.3 四種命題四種命題 （2）原命題可以寫(xiě)成：如果一個(gè)四邊形是正方形，那么它的四條邊相等。它是真命題。課堂練習(xí) 寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并說(shuō)明它們的真假： （1）電話是一種通信工具。 （2）如果a0，那么ab0。1.3 四種命題四種命題1.4 充分充分、必要和充要條件必要和充要條件Z整數(shù)N自然數(shù)1.4 充分充分、必

13、要和充要條件必要和充要條件 一般地，用p、q分別表示兩個(gè)命題，如果p成立可以推出q也成立，那么我們就說(shuō)由p可推出q，記作pq，稱p是q的充分條件，q是p的必要條件。 pq也可以寫(xiě)成qp；而由p不能推出q可記作pq。p：三角形的三條邊相等；q：三角形的三個(gè)內(nèi)角相等。1.4 充分充分、必要和充要條件必要和充要條件1.4 充分充分、必要和充要條件必要和充要條件 一般地，如果p q且q p，則記作p q，并稱p是q的充分必要條件充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件充要條件。例題解析1.4 充分充分、必要和充要條件必要和充要條件 例1指出下列各組命題中，p是q的什么條件：（在 “充分而不必要條件”“必要而不充分條

14、件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選擇） （1）p：（x4）（x5）0；q：x40。 （2）直線l1、l2都與直線l3相交。p：同位角相等；q：直線l1、l2平行。 （3）p：四邊形ABCD 是平行四邊形；q：四邊形ABCD 的對(duì)角線相等。 （4）p：點(diǎn)（x，y）在第一象限；q：xy0。1.4 充分充分、必要和充要條件必要和充要條件 （2）直線l1、l2都與直線l3相交。p：同位角相等；q：直線l1，l2平行。 解 因?yàn)?同位角相等直線l1，l2平行 且 直線l1，l2平行 同位角相等 所以p是q的充要條件。 （1）p：（x4）（x5）0；q：x40。 解因?yàn)?x40（x4）（x5）0

15、 而（x4）（x5）0成立時(shí)不一定有x40，所以p是q的必要而不充分條件。 （4）p：點(diǎn)（x，y）在第一象限；q：xy0 解 因?yàn)?點(diǎn)（x，y）在第一象限 xy0 而滿足xy0的點(diǎn)（x，y）不一定在第一象限，所以p是q的充分而不必要條件。1.4 充分充分、必要和充要條件必要和充要條件 （3）p：四邊形ABCD 是平行四邊形；q：四邊形ABCD 的對(duì)角線相等。 解 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線不一定相等，而對(duì)角線相等的四邊形也不一定是平行四邊形，所以p是q的既不充分也不必要條件。1.4 充分充分、必要和充要條件必要和充要條件 解 因?yàn)閜 q且q r，所以p r，即p是r的充分條件。 例2 如果p是q的充分條件，且r是q的必要條件，那么p是r的什么條件？課堂練習(xí) 2下列各題中，p是q的什么條件： （1）p：自然數(shù)a能被4整除；q：a是偶數(shù)。 （2）