第九講指數與指數函數

1、第九講第九講指數與指數函數指數與指數函數教教 材材 回回 歸歸1 1. . 整數指數整數指數(1)(1)整數指數冪概念整數指數冪概念: : _= = ; ;a a0 0= =_(a0);(a0);a a-n-n= =_(a0,nN(a0,nN* *).).na aa nN 個a an n1 11na走進高考第一關走進高考第一關 基礎關基礎關(2)(2)整數指數冪的運算性質整數指數冪的運算性質: :a am maan n= =_(m,nZ);(m,nZ);(a(am m) )n n= =_(m,nZ);(m,nZ); = =_(m,nZ,a0);(m,nZ,a0);(ab)(ab)n n= =_

2、(nZ).(nZ).a an nb bn na am+nm+na amnmna am-nm-naamn2 2. . 分數指數分數指數一般地一般地, ,如果如果x xn n=a,=a,那么那么x x叫做叫做_, ,其中其中n1,n1,且且nNnN* *. .當當n n是奇數時是奇數時, =a, =a,當當n n是偶數時是偶數時, , = =_= = = =_(a0,m,nN(a0,m,nN* *, ,且且n1);n1); = =_(a0,m,nN(a0,m,nN* *, ,且且n1).n1).nnanna1,0,0 ;,0,mmnnnna aaa aaaa amnaa a的的n n次方根次方根|

3、a|a|nma1mna3 3. . 有理指數冪的運算性質有理指數冪的運算性質設設a0,b0,a0,b0,則則a ar ra as s= =_(r,sQ);(r,sQ);(a(ar r) )s s= =_(r,sQ);(r,sQ);(ab)(ab)r r= =_(rQ).(rQ).4 4. . 指數函數的定義指數函數的定義形如形如_ _ _的函數叫做指數的函數叫做指數函數函數. .a ar+sr+sa arsrsa ar rb br ry=ay=ax x(a0,(a0,且且a1,xR)a1,xR)5 5. . 指數函數的圖象與性質指數函數的圖象與性質y=ay=ax x a1a1 0a10a0 x

4、0時時, ,_; ;當當x0 x0 x0時時, ,_; ;當當x0 x1y10y10y10y10y1y1增函數增函數考考 點點 陪陪 練練1 1. . 若若x+xx+x-1-1= ,= ,則則x x3 3+x+x-3-3的值等于的值等于( )( )A A. . B B. . C C. . D D. . 1010答案答案:B:B2 214 210 28 22 2. .函數函數則則f(-3)f(-3)的值為的值為( )( )A A. . 2 2B B. . 8 8C C. . D D. . 答案答案:C:C 2222xf xxf xx18123. 3. (2010(2010山東青島二模山東青島二模

5、)()(能力題能力題, ,中中) )若若y=ey=e|x|x|(xa,b)(xa,b)的值域為的值域為1,e1,e2 2,則點則點(a,b)(a,b)的軌跡是右圖中的的軌跡是右圖中的( )( )A. A. 線段線段BCBC和和OCOCB. B. 線段線段ABAB和和BCBCC. C. 線段線段ABAB和和OAOAD. D. 線段線段OAOA和和OCOC答案答案:B:B解析解析: :據題意當據題意當a=-2,0b2a=-2,0b2時時, ,函數的值域符合條件函數的值域符合條件, ,其軌其軌跡為圖中線段跡為圖中線段AB,AB,當當-2a0,b=2-2a0,b=2時時, ,函數值域符合條件函數值域符

6、合條件, ,此此時其軌跡為圖中線段時其軌跡為圖中線段BC,BC,故選故選B.B.4 4. .設設f(x)= ,xR,f(x)= ,xR,那么那么f(x)f(x)是是( )( )A A. . 奇函數且在奇函數且在(0,+)(0,+)上是增函數上是增函數B B. . 偶函數且在偶函數且在(0,+)(0,+)上是增函數上是增函數C C. . 奇函數且在奇函數且在(0,+)(0,+)上是減函數上是減函數D D. . 偶函數且在偶函數且在(0,+)(0,+)上是減函數上是減函數答案答案:D:D12x解析解析: :其圖象如圖其圖象如圖. .由圖象可知由圖象可知,f(x),f(x)是偶函數且在是偶函數且在(

7、0,+)(0,+)上單調上單調遞減遞減. .121,0 ,22,0 ,xxxfxxx 5 5. .(2010(2010山東淄博山東淄博)()(基礎題基礎題, ,易易) )給出下列判斷給出下列判斷: :a am mb bn n=(ab)=(ab)mnmn; ;函數函數y=1-ey=1-e-x-x是增函數是增函數; ;a0a0是方程是方程axax2 2+2x+1=0+2x+1=0至少有一個負實數根的充分至少有一個負實數根的充分不必要條件不必要條件; ;y=lnxy=lnx與與y=ln(-x)y=ln(-x)的圖象關于的圖象關于y y軸對軸對稱稱. .其中正確判斷的個數為其中正確判斷的個數為( )(

8、 )A A. . 1 1B B. . 2 2C C. . 3 3D D. . 4 4答案答案:C:C解析解析:正確正確,故選故選C.C.類型一類型一: :指數冪的運算指數冪的運算解題準備解題準備: :在有關根式在有關根式 分數指數冪的變形分數指數冪的變形 求值過程中要注意求值過程中要注意運用方程的觀點處理問題運用方程的觀點處理問題, ,通過解方程通過解方程( (組組) )來求值來求值, ,或用換元法轉化為方程求解或用換元法轉化為方程求解. .解讀高考第二關解讀高考第二關 熱點關熱點關典例典例1 1(2010(2010廣州廣州) )下表給出了下表給出了x x與與1010 x x的七組近似對應值的

9、七組近似對應值: :組號組號一一二二三三四四五五六六七七x x0.301030.301030.477110.477110.698970.698970.778150.778150.903090.903091.000001.000001.079181.079181010 x x2 23 35 56 68 810101212假設在上表的各組對應值中假設在上表的各組對應值中, ,有且僅有一組是錯誤的有且僅有一組是錯誤的, ,它是第它是第_組組. . 解析解析 通過數表尋求數值之間的關聯(lián)通過數表尋求數值之間的關聯(lián). .顯然這種數值關聯(lián)從顯然這種數值關聯(lián)從1010 x x的值入手比較容易的值入手比較容易.

10、 .聯(lián)想冪的運算法則聯(lián)想冪的運算法則, ,知知 , ,即即x x1 1與與 對應對應,x,x2 2與與 對立對立,x,x1 1+x+x2 2與與 對立對立. .8=28=23 3,應該有應該有0 0. .90309=090309=0. .30103301033,10=23,10=25,5,應該有應該有0 0. .30103+030103+0. .69897=169897=1. .00000,00000,顯然這些成立顯然這些成立. .但但223=6,03=6,0. .30103+030103+0. .47711=047711=0. .7781577815不成立不成立, ,而而2 26=12,06

11、=12,0. .30103+030103+0. .77815=177815=1. .0791807918成立成立, ,在有且僅有一組錯在有且僅有一組錯誤的前提下誤的前提下, ,只有第二組是錯誤的只有第二組是錯誤的. .1212101010 xxxx110 x210 x1210 xx 評析評析 在高考中在高考中, ,一般較小限制直接考查指數式運算的試題一般較小限制直接考查指數式運算的試題, ,而是把對它的考查置于指數函數的考查之中而是把對它的考查置于指數函數的考查之中, ,也就是在考查也就是在考查指數函數的同時指數函數的同時, ,考查冪的運算能力考查冪的運算能力. .在解決分數指數冪的運算時在解

12、決分數指數冪的運算時, ,應注意如下幾點應注意如下幾點:(1):(1)盡量將根盡量將根式式 小數指數冪統(tǒng)一為分數指數冪小數指數冪統(tǒng)一為分數指數冪;(2);(2)盡量運用乘法公式盡量運用乘法公式;(3);(3)對于有些指數式的問題對于有些指數式的問題, ,有時應轉化為對數有時應轉化為對數;(4);(4)注意整體代注意整體代換思想在指數式運算中的應用換思想在指數式運算中的應用. . 探究探究11 化簡下列各式化簡下列各式: : 12102311212213332413333223331710.027221;795234;68312.42a babababaa bbaababa解：解： 113221

13、131136322213111222227251711000910549145.335222555.444aba ba baba bbb 原式原式 11113333211213333311121123333333113321121133333311133382342224422.aabababa baaaabaa bbaaba baabaaaa原式 評析評析 將根式化為分數指數冪將根式化為分數指數冪, ,按分數指數冪的運算性質進按分數指數冪的運算性質進行運算行運算. .對于結果的形式對于結果的形式, ,如果題目是以根式的形式給出的如果題目是以根式的形式給出的, ,則結果用則結果用根式的形式表示

14、根式的形式表示, ,如果題目以分數指數冪的形式給出的如果題目以分數指數冪的形式給出的, ,則結則結果用分數指數冪的形式表示果用分數指數冪的形式表示. .結果不要同時含有根號和分數結果不要同時含有根號和分數指數冪指數冪, ,也不要既有分母又含有負指數冪也不要既有分母又含有負指數冪. .類型二類型二: :指數函數的圖象的應用指數函數的圖象的應用解題準備解題準備: :指數函數圖象的特點指數函數圖象的特點(1)(1)指數函數在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數指數函數在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數大小的關系如圖所示大小的關系如圖所示, ,則則0cd1ab.0cd1a0(a0且且a1)a1

15、)的圖象關于的圖象關于y y軸對稱軸對稱. .1a典例典例2 2已知函數已知函數 , ,(1)(1)作出圖象作出圖象; ;(2)(2)指出該函數的單調遞增區(qū)間指出該函數的單調遞增區(qū)間; ;(3)(3)求值域求值域. . 分析分析 本題要考慮去絕對值符號本題要考慮去絕對值符號, ,把函數解析式寫成分段函把函數解析式寫成分段函數的形式數的形式, ,再作出圖象再作出圖象, ,然后根據圖象尋求其單調遞增區(qū)間和然后根據圖象尋求其單調遞增區(qū)間和值域值域. .212xy 解解(1)(1)由函數解析式可得由函數解析式可得其圖象分成兩部分其圖象分成兩部分: :一部分是一部分是 的圖象的圖象, ,由下列變換可得到

16、由下列變換可得到: :另一部分另一部分y=2y=2x+2x+2(x-2)(x0,f(t)=tt0,f(t)=t2 2-2t-5,-2t-5,故故f(t)=(t-1)f(t)=(t-1)2 2-6.-6.又又t0,t0,當當t=1t=1時時,y,yminmin=-6,=-6,故函數故函數f(x)f(x)的值域的值域 . .6,由于由于t t2 2是增函數，是增函數，要求要求(x)(x)的增區(qū)間實際上是求的增區(qū)間實際上是求f(t)f(t)的增區(qū)間，求的增區(qū)間，求f(x)f(x)的的減區(qū)間實際上是求減區(qū)間實際上是求f(t)f(t)的減區(qū)間的減區(qū)間f(t)f(t)在在(0,1(0,1上遞減，在上遞減，

17、在1,1,)上遞增上遞增故由故由t t2 211得得x0 x0；由由t t2 2x x11得得x0 x0，ff（x x）的增區(qū)間是）的增區(qū)間是0,0,)，減區(qū)間是，減區(qū)間是( (,0,0探究探究2 2 已知已知(1)(1)求函數求函數f(x)f(x)的定義域的定義域 值域值域; ;(2)(2)討論函數討論函數f(x)f(x)的單調性的單調性. . 1(0,1)1xxaf xaaa且 解解(1)(1)由由a ax x+10,+10,得得xR.xR.故函數故函數f(x)f(x)的定義域為的定義域為(-,+),(-,+),下面求函數下面求函數f(x)f(x)的值域的值域, ,解法解法1:1:所以函數

18、所以函數f(x)f(x)的值域為的值域為(-1,1).(-1,1). 11221,11120,11,02,12220,111.11xxxxxxxxxxaafxaaaaaaaa 解法二解法二: :設設y=f(x),y=f(x),則則整理得整理得 , ,又又aax x0,0, , ,即即(y+1)(y-1)0.(y+1)(y-1)0.-1y1.-1y1.故函數故函數f(x)f(x)的值域為的值域為(-1,1).(-1,1).11xyay101yy11xxaya(2)(2)設設x x1 1,x,x2 2R,R,且且x x1 1xx2 2, ,于是于是, ,當當0a10a1時時,x,x1 1x0,)0

19、,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),所以所以f(x)f(x)在在R R上是減函數上是減函數; ;當當a1a1時時,x,x1 1xx2 2, , f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).所以所以f(x)f(x)在在R R上是增函數上是增函數. .綜上可知綜上可知, ,當當0a10a1a1時時,f(x),f(x)在在R R上是增函數上是增函數. .1212,0.xxxxaaaa121220.11xxxxaaaa 評析評析(1)(1)求求f(x)f(x)值域時值域時, ,可借助可借助a ax x0;0;(2)(2)

20、分分0a10a1a1兩種情況兩種情況, ,利用單調性的定義證明利用單調性的定義證明. .本題中求值域的兩種方法都是求函數值域的常用方法本題中求值域的兩種方法都是求函數值域的常用方法. .解法解法1 1可以稱為可以稱為“分離常數法分離常數法”, ,利用此法求值域的函數是分式的利用此法求值域的函數是分式的形式形式, ,且分子且分子 分母的次數相同分母的次數相同, ,分離出一個常數后分離出一個常數后, ,分子變?yōu)榉肿幼優(yōu)槌党? .解法解法2 2是是利用函數的有界性利用函數的有界性, ,例如求函數例如求函數 的值域就可采用此法的值域就可采用此法. .1 sin2sinxyx名名 師師 糾糾 錯錯誤

21、區(qū)一誤區(qū)一: :忽視換元后新元的取值范圍忽視換元后新元的取值范圍典例典例1 1求函數求函數 的值域的值域. .11193xxy笑對高考第三關笑對高考第三關 成熟關成熟關 錯解錯解 令令 , ,則則, ,所以函數的值域為所以函數的值域為 ) ) 剖析剖析 上述解法錯誤的原因在于忽視了換元后新元上述解法錯誤的原因在于忽視了換元后新元t t的范圍的范圍. .事實上事實上, ,新元新元t(0,+).t(0,+).2111111,9333xxxxy () 22133ytt1t24413xt3,4 正解正解 函數函數y= ,y= ,令令t= ,t= ,則則y=ty=t2 2+t+1= ,+t+1= ,由由

22、t= ,t= ,知知t0,t0,因為函數因為函數y= y= 在在(0,+)(0,+)上為增函數上為增函數, ,所以所以y1,y1,所所以函數的值域為以函數的值域為(1,+).(1,+).( )( )( ) ( )xxx 2x11111193331()3x()213t241()3x()21t2誤區(qū)二誤區(qū)二: :忽視復合函數單調性的復合規(guī)律忽視復合函數單調性的復合規(guī)律典例典例2 2求函數求函數 的單調區(qū)間的單調區(qū)間. . 2212xxf x 錯解錯解 因為函數因為函數u=xu=x2 2-2x=(x-1)2-1,-2x=(x-1)2-1,所以所以u u在區(qū)間在區(qū)間(-,1(-,1上上是減函數是減函數

23、, ,在區(qū)間在區(qū)間1,+ )1,+ )上是增函數上是增函數, ,故函數故函數的減區(qū)間是的減區(qū)間是(-,1 (-,1 ，增區(qū)間是，增區(qū)間是1,+ ) 1,+ ) 2212xxfx 正解正解 設設u=xu=x2 2-2x,-2x,則則 , ,因為因為0a= 1,0a= 33-y-y+5+5-x-x, ,則下列式子成立的是則下列式子成立的是( )( )A A. . x+y0 x+y0B B. . x+y0 x+y0C C. . x-y0 x-y0 x-y0解析：由解析：由3 3x x+5+5y y33-y-y+5+5-x-x, ,得得3 3x x-5-5-x-x33-y-y-5-5y y, , .

24、.設設 . .y=3y=3x x在在(-,+)(-,+)上是增函數上是增函數, , 在在(-,+)(-,+)上是減函數上是減函數, , 在在(-,+)(-,+)上是增函數上是增函數. .由已知條件由已知條件, ,得得f(x)f(-y),f(x)f(-y),x-y,x+y0,x-y,x+y0,故故答案選答案選A A. .113355xyxy 135xxf x15xy135xxy解解 題題 策策 略略1 1. . 進行有理指數冪的運算進行有理指數冪的運算 求值與化簡時求值與化簡時, ,其步驟是先把根其步驟是先把根式化為分數指數冪式化為分數指數冪, ,把分式化為負指數冪把分式化為負指數冪, ,把小數

25、化為分數把小數化為分數, ,再根據有理指數冪的運算性質進行計算再根據有理指數冪的運算性質進行計算, ,在最后結果中不要在最后結果中不要同時既有根式又有分數指數冪同時既有根式又有分數指數冪, ,也不要既有分式又有負指數也不要既有分式又有負指數冪冪. . 2 2. . 對于指數式的連等問題對于指數式的連等問題, ,常常要引進參數常常要引進參數, ,用參數作為代用參數作為代換的橋梁換的橋梁. .3 3. . 指數函數的底數中含有字母指數函數的底數中含有字母, ,一般需要分類討論一般需要分類討論. .4 4. . 解題時要注意運用數學思想方法解題時要注意運用數學思想方法, ,注意運用指數函數的單注意運用指數函數的單調性及圖象調性及圖象, ,特別是解有關指數函數與其他知識的綜合題時特別是解有關指數函數與其他知識的綜合題時, ,使用數學思想方法解題會簡化