計(jì)量地理學(xué)-3.6-趨勢(shì)面分析

1、趨勢(shì)面分析的一般原理 1趨勢(shì)面模型的適度檢驗(yàn) 2趨勢(shì)面分析應(yīng)用實(shí)例 3趨勢(shì)面分析方法 趨勢(shì)面模型的參數(shù)估計(jì)趨勢(shì)面模型的建立趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn)趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn)趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)什么是趨勢(shì)面？自然資源、環(huán)境、人口社會(huì)經(jīng)濟(jì)等變量在地理空間上具有一定程度分布規(guī)律。地理要素在地理空間上的分布可以看作是 某變量Z在二維坐標(biāo)空間(X,Y)上的變化函數(shù)（曲面），此即為趨勢(shì)面。趨勢(shì)面是一種抽象的數(shù)學(xué)曲面，它抽象簡(jiǎn)化并過(guò)濾掉了一些局域隨機(jī)因素的影響，使地理要素的空間分布規(guī)律明顯化。 所謂趨勢(shì)面分析，是利用數(shù)學(xué)曲面模擬地理系統(tǒng)要素在空間上的分布及變化趨勢(shì)的一種數(shù)學(xué)方法。它實(shí)質(zhì)上是通過(guò)回歸分析原理

2、，運(yùn)用最小二乘法擬合一個(gè)二維線性或非線性函數(shù)，模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢(shì)。真實(shí)地理曲面趨勢(shì)面反映地理要素的宏觀分布規(guī)律，屬于確定性因素作用的結(jié)果。剩余面對(duì)應(yīng)于微觀局域，是隨機(jī)因素影響的結(jié)果。趨勢(shì)面剩余面趨勢(shì)面分析趨勢(shì)值最大化、剩余值最小化原則。趨勢(shì)面模型的建立設(shè)某地理要素的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)為 ， 趨勢(shì)面擬合值為 ，則有： ,n)1,2,)(i,y(xziii),y(xziiiiiiiiiiyxzyxz),(),(式中i即為剩余值（殘差值/誤差值）趨勢(shì)面真實(shí)曲面剩余面刻畫了地理要素的實(shí)際分 布曲面、趨勢(shì)面和剩余面之間的互動(dòng)關(guān)系。 趨勢(shì)面分析的核心從實(shí)際觀測(cè)值出

3、發(fā)推算趨勢(shì)面，一般采用回歸分析方法，依據(jù)最小二乘法原理，使得殘差平方和趨于最小，即： min),(),(1212niiiiiiiniyxzyxzQ如何選擇確定變量Z和地理坐標(biāo)(X,Y)之間的函數(shù)表達(dá)式？多項(xiàng)式函數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)其中最為常用的是多項(xiàng)式函數(shù)形式，因?yàn)槿魏我粋€(gè)函數(shù)都可以在一個(gè)適當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)用多項(xiàng)式來(lái)逼近，而且調(diào)整多項(xiàng)式的次數(shù)，可使所求的回歸方程適合實(shí)際問(wèn)題的需要。 什么是多項(xiàng)式函數(shù)？多項(xiàng)式趨勢(shì)面的形式 一次多項(xiàng)式函數(shù)模型 二次多項(xiàng)式函數(shù)模型 三次多項(xiàng)式函數(shù)模型 yaxaaz21025423210yaxyaxayaxaaz25423210yaxyaxayaxaaz39282736yaxya

4、yxaxa什么是多項(xiàng)式函數(shù)的次數(shù)？變量x和y的冪次乘積的最高次數(shù)k次多項(xiàng)式函數(shù)一共有多少個(gè)變量x和y的冪次乘積組合？假設(shè)(k-1)次多項(xiàng)式函數(shù)的冪次乘積組合的數(shù)量是nk-1，當(dāng)多項(xiàng)式次數(shù)從(k-1)增加至k時(shí)，增加了如下內(nèi)容：xky0, xk-1y1, xk-2y2, xk-3y3,x1yk-1,x0yk.所以nk=nk-1+(k+1).趨勢(shì)面模型的參數(shù)估計(jì)實(shí)質(zhì)：最小二乘估計(jì)原理 根據(jù)觀測(cè)值z(mì)i，xi，yi(i=1,2,n)確定多項(xiàng)式的系數(shù)a0，a1，ap，使得殘差平方和Q最小。 思路：將多項(xiàng)式函數(shù)的非線性形式轉(zhuǎn)換成線性形式。,2542321yxxyxxxyxxx令25423210yaxyax

5、ayaxaazppxaxaxaaz22110其殘差平方和為 nipipiiiniiixaxaxaazzzQ122211012)(根據(jù)取極值的條件，求得殘差平方和Q對(duì)a0，a1，ap的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得p+1個(gè)偏微分方程組(式中a0，a1，ap為p+1個(gè)未知量）。多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)求解出多項(xiàng)式趨勢(shì)面模型的各個(gè)系數(shù)a0，a1，ap25423210yaxyaxayaxaaz得出趨勢(shì)面分析的多項(xiàng)式擬合模型：接著? 需要注意的是，在實(shí)際應(yīng)用中，往往用次數(shù)低的趨勢(shì)面逼近變化比較小的地理要素?cái)?shù)據(jù)，用次數(shù)高的趨勢(shì)面逼近起伏變化比較復(fù)雜的地理要素?cái)?shù)據(jù)。次數(shù)低的趨勢(shì)面使用起來(lái)比較方便，但具體到某點(diǎn)擬

6、合較差；次數(shù)較高的趨勢(shì)面只在觀測(cè)點(diǎn)附近效果較好，而在外推和內(nèi)插時(shí)則效果較差。 趨勢(shì)面模型的適度檢驗(yàn) 趨勢(shì)面分析擬合程度與回歸模型的效果直接相關(guān)，因此，對(duì)趨勢(shì)面分析進(jìn)行適度性檢驗(yàn)是一個(gè)關(guān)系到趨勢(shì)面能否在實(shí)際研究中加以應(yīng)用的關(guān)鍵問(wèn)題，也是趨勢(shì)面分析中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。三種檢驗(yàn)方法的原理/目的？三種檢驗(yàn)方法的關(guān)系？三種檢驗(yàn)方法的區(qū)別？趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn)趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn)趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)趨勢(shì)面分析檢驗(yàn)趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn) 趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn)是采用擬合度系數(shù)R2是測(cè)定回歸模型擬合優(yōu)度的重要指標(biāo)。 總離差平方和niiRzzSS12)(回歸平方和niiiDzzSS12)(剩余

7、平方和RDniiniiiTSSSSzzzzSS1212)()(表示隨機(jī)因素對(duì)離差的影響 表示自變量對(duì)因變量的離差的總影響SSR越大，SSD越小，就表示因變量與自變量的關(guān)系越密切，回歸的規(guī)律性越強(qiáng)、效果越好。 一般用變量z的總離差平方和中回歸平方和所占的比重表示回歸模型的擬合優(yōu)度，即擬合度系數(shù)R2=回歸平方和 / 總離差平方和。擬合度系數(shù)R2=回歸平方和 / 總離差平方和TDTRSSSSSSSSR12性質(zhì)：1) R2取值范圍是0,1； 2) R2越大(越接近100%)，趨勢(shì)面擬合效果越高； 3) 多項(xiàng)式函數(shù)的次數(shù)越高，擬合度系數(shù)R2就越大。為追求更優(yōu)的趨勢(shì)面擬合效果，應(yīng)該采用次數(shù)更高的多項(xiàng)式函數(shù)

8、模型？趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn)趨勢(shì)面擬合適度的F檢驗(yàn)，是對(duì)趨勢(shì)面回歸模型整體的顯著性檢驗(yàn)，即判斷擬合結(jié)果是否具有可信度以及具有多大的置信區(qū)間。 顯著性檢驗(yàn)方法：利用變量z的總離差平方和SST中，剩余平方和SSD與回歸平方和SSR的比值，來(lái)確定變量z與自變量x、y之間的回歸關(guān)系是否顯著，顯著性檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量為：1/pnSSpSSFDR結(jié)果分析：在顯著性水平下，查F分布表得其臨界值F，若實(shí)際計(jì)算的F值大于臨界值F，則認(rèn)為趨勢(shì)面方程顯著，置信區(qū)間為1-；反之則不顯著。 F統(tǒng)計(jì)量的第1自由度/分子自由度，即f1 = pF統(tǒng)計(jì)量的第2自由度/分母自由度，即f2 = n-p-1n是樣本量；p是多項(xiàng)式函數(shù)

9、非線性轉(zhuǎn)換成線性形式后，多元線性回歸模型的自變量個(gè)數(shù)趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)多項(xiàng)式函數(shù)的次數(shù)越高將帶來(lái)更高的擬合效果，但是更高次數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)一方面增加了趨勢(shì)面擬合的復(fù)雜程度，另一方面過(guò)分追求細(xì)節(jié)精度反而會(huì)喪失整體趨勢(shì)特征。趨勢(shì)面適度逐次檢驗(yàn)?zāi)康氖强己硕囗?xiàng)式函數(shù)的次數(shù)由低至高是否對(duì)趨勢(shì)面擬合回歸作出了新貢獻(xiàn)，以此來(lái)決定適宜選擇的多項(xiàng)式函數(shù)的次數(shù)。趨勢(shì)面適度逐次檢驗(yàn)方法是考慮多項(xiàng)式次數(shù)增高帶來(lái)的適度性比較檢驗(yàn)值F是否通過(guò)具備顯著性。若F值顯著，則較高次數(shù)多項(xiàng)式對(duì)回歸產(chǎn)生了新貢獻(xiàn)；若F值不顯著，則較高次數(shù)多項(xiàng)式對(duì)回歸并沒(méi)有新貢獻(xiàn)。如何計(jì)算適度性比較檢驗(yàn)值F？1/pnSSpSSFDR回歸均方差=SSR/

10、f1 剩余均方差=SSD/f2顯著性檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量(k+1)次多項(xiàng)式方程：回歸平方和 剩余平方和) 1(KRSS) 1(KDSS第1自由度f(wàn)1=p 第2自由度f(wàn)2=n-p-1回歸均方差 剩余均方差)1/()1()1(pnSSMSKDKDpSSMSKRKR/)1()1()1()1(/KDKRMSMSF(k)次多項(xiàng)式方程：回歸平方和 剩余平方和)(KRSS)(KDSS第1自由度f(wàn)1=q 第2自由度f(wàn)2=n-q-1回歸均方差 剩余均方差qSSMSKRKR/)()()1/()()(qnSSMSKDKD)()(/KDKRMSMSF(k)-(k+1):KRKRIRSSSSSS )1()(回歸平方和的增量SS

11、R第1自由度的增量f1=p-q)/()()(qpSSMSIRIR由于多項(xiàng)式次數(shù)增高所產(chǎn)生的回歸均方差=SSR/f1逐次檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量是上述回歸均方差除以(k+1)次多項(xiàng)式的剩余均方差，即)1()(/KDIRMSMSFF值是顯著的，則較高次多項(xiàng)式對(duì)回歸作出了新貢獻(xiàn)，若F值不顯著，則較高次多項(xiàng)式對(duì)于回歸并無(wú)新貢獻(xiàn)。多項(xiàng)式趨勢(shì)面由K次增高至(K+1)次的回歸顯著性檢驗(yàn) 離差來(lái)源平方和自由度均方差F檢驗(yàn)（K+1）次回歸 p （K+1）次剩余 np1 K次回歸 q K次剩余 nq1 由K次增高至（K+1）次的回歸pq總離差SST) 1(KRSS) 1(KDSSpSSMSKRKR/) !()1() 1/()

12、 !()1(pnSSMSKDKD)1()1(/KDKRMSMS)(KRSS)(KDSSqSSMSKRKR/)()()1/()()(qnSSMSKDKD)()(/KDKRMSMS)1()(/KDIRMSMS)/()()(qpSSMSIRIRKRKRIRSSSSSS ) 1()(趨勢(shì)面分析應(yīng)用實(shí)例某流域1月份降水量與各觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)位置數(shù)據(jù)如下表所示。下面以降水量為因變量z，地理位置的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為自變量x、y，進(jìn)行趨勢(shì)面分析，并對(duì)趨勢(shì)面方程進(jìn)行三種適度檢驗(yàn)。序號(hào)降水量Z/mm橫坐標(biāo)x/104 m縱坐標(biāo)y/104 m12345678910111227.638.42424.73255.540.4

13、37.53131.75344.901.11.82.953.41.80.70.20.851.652.653.6510.6000.21.71.323.353.153.12.55流域降水量及觀測(cè)點(diǎn)的地理位置數(shù)據(jù)首先采用二次多項(xiàng)式進(jìn)行趨勢(shì)面擬合：25423210yaxyaxayaxaazppxaxaxaaz22110用最小二乘法求得擬合方程為：22070. 8357. 0558. 3787.29438.17998. 5yxyxyxz236. 6,839. 02FR總離差平方和RDniiniiiTSSSSzzzzSS1212)()(剩余平方和 回歸平方和TDTRSSSSSSSSR121/pnSSpSSF

14、DR(n=12, p=5)首先采用三次多項(xiàng)式進(jìn)行趨勢(shì)面擬合：用最小二乘法求得擬合方程為：25423210yaxyaxayaxaaz39282736yaxyayxaxappxaxaxaaz22110 xyxyxz166.33389. 8130.130557.37810.48232232785. 9566. 2138. 6133. 4740.62yxyyxxy054. 6,965. 02FR總離差平方和RDniiniiiTSSSSzzzzSS1212)()(剩余平方和 回歸平方和TDTRSSSSSSSSR121/pnSSpSSFDR(n=12, p=9)某流域降水量的三次多項(xiàng)式趨勢(shì)面 某流域降水量

15、的二次多項(xiàng)式趨勢(shì)面 (1)趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn): 根據(jù)R2檢驗(yàn)方法計(jì)算，結(jié)果表明，二次趨勢(shì)面的判定系數(shù)為R22=0.839，三次趨勢(shì)面的判定系數(shù)為R32=0.965，可見(jiàn)二次趨勢(shì)面回歸模型和三次趨勢(shì)面回歸模型的顯著性都較高，而且三次趨勢(shì)面較二次趨勢(shì)面具有更高的擬合程度。 (2) 趨勢(shì)面適度的顯著性F檢驗(yàn) : 根據(jù)F檢驗(yàn)方法計(jì)算，結(jié)果表明，二次趨勢(shì)面和三次趨勢(shì)面的F值分別為F2=6.236和F3=6.054。二次趨勢(shì)面和三次趨勢(shì)面的變量數(shù)分別為p=5，p=9，樣本數(shù)均為n=12。在置信水平=0.05下，查F分布表得： 顯然 ， ， 故二次趨勢(shì)面的回歸方程顯著而三次趨勢(shì)面不顯著。因此，F(xiàn)檢驗(yàn)的

16、結(jié)果表明，用二次趨勢(shì)面進(jìn)行擬合比較合理。 53. 4)6 , 5(05. 02 FFa4.19)2 ,9(05.03FF22FF 33FF(3)趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)： SSR3=1129.789SSR2=982.244SSD3=41.474SSD2=189.018f1=p=9f2=n-p-1=2f1=p=5f2=n-p-1=6剩余均方差回歸均方差 回歸均方差 剩余均方差第1自由度第2自由度第1自由度第2自由度剩余均方差回歸均方差 剩余均方差回歸均方差 MSR3=SSR3/f1=125.532MSR2=SSR2/f1=196.449MSD3=SSD3/f2=20.737MSD2=SSD2/f2=

17、31.503三次趨勢(shì)面二次趨勢(shì)面二次-三次SSR=1129.789-982.244=147.545f1=9-5=4回歸均方差MSRI=SSR/f1=147.545/4=36.886逐次檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量F=MSRI/MSD3=36.886/20.737=1.779離差來(lái)源平方和自由度均方差F檢驗(yàn)三次回歸三次剩余二次回歸二次剩余由二次增高至三次的回歸 1129.78941.474982.244189.018147.545912-9-1512-5-14125.53220.737196.44931.50336.8866.0546.2361.779二次和三次趨勢(shì)面回歸模型的逐次檢驗(yàn)方差分析表 從二次趨勢(shì)面增

18、加到三次趨勢(shì)面，逐次檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量F32=1.779。在置信度水平=0.05下，查F分布表得F0.05(4,2)=6.94，由于F32=1.779 F0.05(4,2)=6.94 ，故將趨勢(shì)面擬合次數(shù)由二次增高至三次，對(duì)回歸方程并無(wú)新貢獻(xiàn)，因而選取二次趨勢(shì)面比較合適。這也進(jìn)一步驗(yàn)證了趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn)的結(jié)論。R2檢驗(yàn)逐次檢驗(yàn)顯著性F檢驗(yàn)趨勢(shì)面擬合適度的R2檢驗(yàn)趨勢(shì)面擬合適度的顯著性F檢驗(yàn)趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)趨勢(shì)面分析檢驗(yàn)利用Matlab實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)面分析依據(jù)上例中某流域1月份降水量的二次多項(xiàng)式和三次多項(xiàng)式趨勢(shì)面模型，借助Matlab三維繪圖功能，繪制其趨勢(shì)面圖形。（1）二次趨勢(shì)面運(yùn)用最小二乘法，進(jìn)行趨勢(shì)面擬合，可以得到如下二次趨勢(shì)