觀測誤差的基本知識第3講

1、五 算術平均值及其中誤差 在一定的觀測條件下，對未知量觀測了n次，觀 測值為Li(I=1,2n), 求該量的最或然值未知量的真值為X)2 , 1(niXLii將上式相加nXL )0,(nnnLxnnLX當其中平均值XxnLnnlimlim所以：nLnLnLxn21各觀測值的中誤差均為m2222222111mnmnmnmxn項nmmx六 同精度觀測值的中誤差nm同精度觀測值中誤差的計算公式：)2 , 1(niXLii由于X往往是未知數，所以一般不能用上式計算中誤差引進改正數)2 , 1(niLxvvii)2,1()(niXxvii上式分別自乘并求和 2)()(2XxnXxvvv 2)(2xXxv

2、nvvn全式除以n對改正數定義式求和 0LnLnLnxv nXxnxnnLXniXLxii所以得：由)2, 1(nmnnnnnnnx221312122222122212)(2nmnvvn2因此 nmnvvm221nvvm同精度觀測值中誤差計算式:算術平均值中誤差計算式:)1(nnvvnmmx. 2222xxxmnmm所以因為編號L(m)v(mm)vv1148.064 -2.66.82148.0583.4 11.63148.063 -1.62.64148.062 -0.60.45148.0601.42.0 x=vvv148.061023mm精度評定mx= 1.1 mm2.4m=例6-7 對某段距

3、離進行了5次同精度測量，觀測值列于下表中，求這段距離最或然值，觀測值中誤差及最或然值中誤差七 廣義算術平均值及權廣義算術平均值 對某量進行了n次等精度觀測 211112121,nnnnnllllll1111211111niinlnlllnL2211112212211njjnnnnlnlllnL設觀測值的中誤差為m 則：2121nmmnmmLL當 時， 精度不等，用不等精度的L求最或然值21nn21, LL 22222221222122112111212121LLLLnjjniimmmmLmmLmmnnLnLnnnllnlx將上式 換成另一常數2m2令22iimp212211ppLpLpx(權的

4、定義式)nLLL21,nppp21, PpLpppLpLpLpxnnn212211觀測值權最或然值：當nppp21即為等精度觀測， 最或然值： nLpLLLpxn) 111 ()(21權當 時 所以 是權等于1的觀測值中誤差im1ip等于1的權稱 單位權單位權 ，權為1的觀測值稱 單位權觀測值單位權觀測值為單位權觀測值的中誤差，稱 單位權中誤差單位權中誤差求權公式 22iimp), 2 , 1(ni 是常數， 2222122222212211:1:1:nnnmmmmmmppp 權權反映了觀測值之間相互精度關系。就計算p值來說，不在乎本身數值的大小，而在于確定它們之間的比例關系。 可以是同一個量

5、的觀測中誤差，也可以是不同量的觀測中誤差，即權可以反映同一個量的若干觀測值之間精度高低，也可以反映不同量的觀測值之間的精度高低。im例6-8已知 的中誤差 ， 中誤差 ， 的中誤差 ，求各觀測值的權。 1Lmmm31mmm42mmm53解：設 mmm311)3()3(222121mp16943222222mp25953222323mp這時2591691321ppp定權時,也可以令（一個中誤差為1mm的虛擬觀測值為單位權觀測值）2L3Lmm191)3(1222121mp16141222222mp25151222323mp25116191321ppp這時: : :321321pppppp1L（ 單

6、位權觀測值）例6一9 按同精度丈量三條邊長，得：.6,4,3321kmskmskms試定這三條邊長的權。解：每公里的丈量中誤差設為 kmkmkmmsmmsmmsm332211ikmkmiismmsp2223 . 2 . 1i令cmkm2iiscp )3 , 2 , 1( i同精度丈量時，邊長的權與邊長成反比。同精度丈量時，邊長的權與邊長成反比。326414434332211scpscpscp丈量 公里距離的權為單位權，其中誤差為單位權中誤差。kmm設C=4則2s則：例6-10圖示有一個結點的水準網, A,B,C,D的高程為已知，高差為h1,h2,h3,h4 ，水準測量等級相同，路線長S1=4k

7、m,S2=2km,S3=2km, S4=3km.確定這四條水準路線的權。 1h2h3h4hABCDE解：設每公里水準測量中誤差為kmmkmihmsmiikmkmiismmsp222令cmkm2iiscp 則：ni, 2 , 1每公里水準測量精度相等，水準路線觀測高差的權與路線長成反比。每公里水準測量精度相等，水準路線觀測高差的權與路線長成反比。iiihncpmnmi,站ni2 , 1水準測量中，按水準路線的測站數定權設 一測站高差中誤差為站m各測站水準測量精度相等，水準路線觀測高差的權與測站數成反比。各測站水準測量精度相等，水準路線觀測高差的權與測站數成反比。例6一11 設對某角作三組同精度觀

8、測，第一組測4測回，其算術平均值為 ；第二組測6測回，其算術平均值為 ；第三組測8測回，其算術平均值為 ；求 的權。123321,22222222,mnnmmpnmmiiiiii解：cnpcmii則：22令由不同觀測個數的同精度觀測值求得的算術平均值，其權由不同觀測個數的同精度觀測值求得的算術平均值，其權與觀測值個數成正比。與觀測值個數成正比。mc即：設：1864321ppp則：（取一測回觀測值中誤差為單位權中誤差）在應用定權公式權時，在應用定權公式權時， C或或 C是可以任意設定的，但在一是可以任意設定的，但在一個平差問題中，只能設定一個個平差問題中，只能設定一個C或或 C的值。的值。觀測值

9、函數的權設有獨立觀測值 ，它們的中誤差為 ，權為 ，觀測值函數為 。 求 的權。nLLL,21nmmm,21nppp,21nLLLfz21、z22222221221nxnxxzmxfmxfmxfmnnzpLfpLfpLfp22222212212pffpfpfpfpnnz11112222121按誤差傳播定理按權的定義式令iifLf例6-12 求廣義算術平均值 的權ppLx 解： pLppLppLpppLxnn2211 nnppppppx2211 pppppppppppppppnnnx1111112122222121ppx廣義算術平均值的權，等于觀測值權之和廣義算術平均值的權，等于觀測值權之和將上

10、式全微分按權倒數傳播律例6-13 設三角形三內角的觀測值為 ，它們的精度相同，其權為 。設三角形閉合差 。觀測角值經閉合差反號平均分配后，得 ， ， ，求 的權倒數 。 pppp180、333、ppp111和、解：已知 考慮 不是獨立的觀測量3,用 代入上式18031313218031全微分313132按權倒數傳播律ppppp321911911941pp321pp321同理八 單位權中誤差的計算公式等精度觀測值中用 計算觀測值中誤差 1nvvmnm或在不等精度觀測中先求單位權中誤差 ，再得觀測值中誤差 iipm), 2 , 1(ni觀測值： ； 權： ；中誤差： ；真誤差iLipimi計算一組

11、虛擬觀測值)2, 1(nipLLiii1222222222iiiiiiiiiiLpppppmmpmpmi得：則：即由由此知， 為單位權觀測值，其中誤差為單位權中誤差iLiL的真誤差nipiii, 2 , 1npppnmnnLi2222211np用改正數 計算單位權中誤差niXLLxviiii,2, 1v),2, 1(nivXxvxiiix為帶權平均值 的真誤差，將上式兩邊平凡并乘xip), 2 , 1(22nipvpvvppxixiiiiiiii求和ppvppvvxx22因為 將它乘以 后求和), 2 , 1(niLxviiip pLxppv0:pLppLppvppLX得顧及xxm又 222p

12、vvpppvvpmpvvpx22 pvvn則：1npvv例6-14 如圖示，從已知水準點A、B、C、D經四條水準路線，求得E點的觀測高差Hi及水準路線長度Si均列于表中。求E點的最或然高程及其中誤差。1ABCDE234E點路線長V觀測高程pvpvv備注(m)(km)(mm)48.75945.62.19920187=48.78432.83.05-16 -487582048.75840.32.48102526048.76751.41.95123mx=x=p=p v p vv6.548.7689.6701208P=100/Smmnpvv203412081單位權中誤差：iiisscp100權：mppHx768.48E點或然高程： mmpmx5 . 667. 920E點或然高程中誤差：例6-15 附合水準路線如圖，求C，D，E各點的最或然高程。ABCDEAChACSDEhCDhCDSDESEBSEBh . .解 求E點高程 EBBEDECDACAEhHHh