10個導數(shù)題極值點的偏移

1、極值點偏移的問題6.設函數(shù)f(x)exaxa(aR),其圖象與x軸交于A(xi,0),B(%,0)兩點，且xivX2.1求a的取值范圍；2證明：fJxg0f(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù)；3設點C在函數(shù)yf(x)的圖象上，且ABC為等腰直角三角形，記t,求(a1)(t1)的值.【解】1f(x)exa.假設a<0,那么f(x)0,那么函數(shù)f(x)是單調增函數(shù)，這與題設矛盾.所以a0,令f(x)0,那么xIna.當xIna時，f(x)0,f(x)是單調減函數(shù)；xIna時，f(x)0,f(x)是單調增函數(shù)；于是當xIna時，f(x)取得極小值.因為函數(shù)f(x)exaxa(aR)的圖象與x軸交于兩

2、點A(x，0),Bg,0)(xvx?),2所以f(lna)a(2Ina)0，即ae.此時，存在1Ina,f(1)e0;存在3InaIna,f(3Ina)a33aInaaa33a2a0,又由f(x)在(，Ina)及(Ina,)上的單調性及曲線在R上不連續(xù)，可知ae2為所求取值范圍.e"axa0,Qx2Qx>2因為兩式相減得ae.e'2ax2a0,x2x1x1x2x1X)YY.Z記氣色s(s0),那么f土五e亍eJ"2s(eses)，設22x2x12sg(s)2s(eses),那么g(s)2(eses)0,所以g(s)是單調減函數(shù)，0,所以f為X22X又f(x)e

3、a是單調增函數(shù)，且X1X22X1X23依題意有eXaxia0,那么a(xi1)eX0x蘭于是e亍ajM1)(X21),在等腰三角形ABC中，顯然C=90。，所以X1X2X02(X1,X2)，即y°f(X0)0,由直角三角形斜邊的中線性質，可知X2X1y。，VVX1X2所以y°2210,即e|(XX2)aX2X20,所以a(Xi1)(X21)2(XiX2)X2X1-0,即a."1)(x21)京(玉1)(X21)(X21)(Xi1)因為X110,那么aa2X21X11X2X1婦10，所以at旦(12't2)2(t21)0,所以(a1)(t1)2.*X2那么有g

4、(s)g(0)0,而e2S7.函數(shù)f(x)xcX(xR)I求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間和極值;II函數(shù)yg(x)的圖象與函數(shù)yf(X)的圖象關于直線X1對稱，證明當X1時，f(X)g(x)m如果x1x2,且f(xjf(x2),證明x1x221解：f'(x)(1x)eX令f'(x)=0,解得x=1當X變化時，f'(X),f(x)的變化情況如下表X(,1)1(1,)f'(x)+0-f(x)極大值所以f(x)在(，1)內是增函數(shù)，在(1,)內是減函數(shù)。1函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=-en證明:由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)

5、ex2令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)xxex2(x2)e一2x2于是F'(x)(x1)(e1)e當x>1時，2x-2>0,從而e2x-2根據(jù)12得(x1由n可知，f(x2)>g(x2)，那么g(x2)=f(2-x2),所以f(x2)>f(2-x2),從而f(x1)>f(2-x2).因為x21,所以2x21,又由I可知函數(shù)f(x)在區(qū)間-8,1內事增函數(shù)，所以x1>2x2，即x1x2>2.10,又ex0,所以F'(x)>0,從而函數(shù)Fx在1,+8)是增函數(shù)。又F(1)=e-1e-10,所以x>1時，有F(x)>

6、;F(1)=0,即f(x)>g(x).m)證明：1假設(x11)(x21)0,由()及f(x1)f(x2),則x1x21.與x1x2矛盾。2假設(x11)(x21)0,由()及f(x1)f(x2),得x1x2.與x1x2矛盾。1)(x21)0,不妨設x1,x21.8.函數(shù)f(x)Inxax2(2a)x12分,1x)f(x)；a11討論f(x)的單調性；II設a>0,證明：當0x1時，f(-aaIII假設函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為x°,證明:f'(x°)<01xv9.函數(shù)f(x)e.I求f(x)的單調區(qū)間;證明

7、：當f(X|)f(x2)(X|x2)時，X|x20解:(I)f'(x)(11x)ex(1x2)(1x)ex2x(1x2)2xxe3x22x22(1x)當x0,)時，f'(x)0,yf(x)單調遞減.所以，yf(x)在在(，0上單調遞增；在x0,)上單調遞減.口由(I)知，只需要證明：當x>0時f(x)<f(x)即可。1xx1f(x)f(x)1.之。1xxxe一2ex1x2(1"1x。令g(x)(1x)e2x1x,x0g'(x)2x(12x)e1。10.函數(shù)f(x)alnxx2.,11當a2時，求函數(shù)yf(x)在,2上的最大值;2的取值范圍;令g(x

8、)f(x)ax,假設yg(x)在區(qū)間(0,3)上不單調，求a3當a2時，函數(shù)h(x)f(x)mxx軸交于兩點A(x1,0),B(x2,0)，且0&,又h(x)是h(x)的導函數(shù).假設正常數(shù)，滿足條件1,.證明：h(x1x2)02解1f'(x)-2x22x,1一，一,一，函數(shù)yf(x)在,1是增函數(shù)，在1,2促減函數(shù)，3分2所以f(x)maxf(1)2ln1121.4分a2因為g(x)alnxxax，所以g(x)2xa,5分x因為g(x)在區(qū)間(0,3)上不單調，所以g(x)0在0,3上有實數(shù)解，且無重根，8219由g(x)0,有a4=2(x1)4(0,-),x(0,3).6分x1x12又當a8時，g(x)0有重根x2,7分3.h(x)2-2xm,又f(x)mx0有兩個實根x，x2,x2Inx1x1222lnx2x2mx102o，兩式相減，礙2(lnx1Inx2)(x1x2)mx20m(xix2),m2(lnx1Inx2)xix2(xix2),于是h(xi2x2)2(xixix2x2)2(lnxiInx2)xix2(xix2)2xix22(lnxilnx2)xix2(2i)(x2xi).2i,(2i)(x2xi)0.要證：h(xix2)只需證:xi