11分類加法計(jì)數(shù)事理與分步乘法計(jì)數(shù)事理

1、人教A版選修23精講細(xì)練1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理知識(shí)精由i.計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種郴的方法.那么完成這件事共有m+n種、同的方法.完成一件事需要物個(gè)步驟，做第1步有m種、同的方法，做第2步有n種小同的方法，那么完成這件事共有m*n種、同的方法.區(qū)別一完成一件事有兩類不同方案，關(guān)鍵詞“分類”完成一件事需要兩個(gè)步驟，關(guān)鍵詞“分步”區(qū)別二每類方案都能獨(dú)立地完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，

2、缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個(gè)步驟都兀成了，才能兀成這件事區(qū)別三各類方案之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的2.計(jì)數(shù)原理選取對(duì)丁兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用問題，一般是先分類再分步，分類時(shí)要設(shè)計(jì)好標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計(jì)好分類方案，防止重復(fù)和遺漏；分步時(shí)要注意步與步之間的連續(xù)性，同時(shí)應(yīng)合理設(shè)計(jì)步驟順序，使各步互不干擾.二、典例細(xì)練【題型一】：分類加法計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用例題1:書架上層放有13本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有14本不同的語文書，下層放有15本不同的化學(xué)書，某人從中取出一本書，有多少種不同的取法?【解析】要完成“取一本書”這件事有三類不同的取法：第1類，從上層取一本數(shù)學(xué)書有13種不同的

3、方法；第2類，從中層取一本語文書有14種不同的方法；第3類，從下層取一本化學(xué)書有15種不同的方法.其中任何一種取法都能獨(dú)立完成取一本書這件事，故從中取一本書的方法種數(shù)為13+14+15=42.【點(diǎn)評(píng)】分類的原則：標(biāo)準(zhǔn)一致，不重復(fù)，不遺漏.變式訓(xùn)練：某校高三共有三個(gè)班，其各班人數(shù)如下表：班級(jí)男生數(shù)女生數(shù)總數(shù)高三(1)302050高三(2)303060高三(3)352055(1) 從三個(gè)班中選一名學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？從1班、2班男生中或從3班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長，有多少種不同的選法？【解析】：(1)從三個(gè)班中任選一名學(xué)生，可分三類：第1類，從1班任選一名學(xué)生，有50種不同

4、選法；第2類，從2班任選一名學(xué)生，有60種不同選法；第3類，從3班任選一名學(xué)生，有55種不同選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法共有N=50+60+55=165(種)(2)由題設(shè)知共有三類：第1類，從1班男生中任選一名學(xué)生，有30種不同選法；第2類，從2班男生中任選一名學(xué)生，有30種不同選法；第3類，從3班女生中任選一名學(xué)生，有20種不同選法；由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法共有N=30+30+20=80(種).【題型二】：分步乘法計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用例題2:已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2),P(a,b)(a,bM)表示平面上的點(diǎn)，問：(1) 點(diǎn)P可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？(2)

5、點(diǎn)P可表示平面上多少個(gè)第二象限內(nèi)的點(diǎn)？【解析】：(1)確定平面上的點(diǎn)P(a,b)，可分兩步完成：第一步確定a的值，有6種不同方法；第二步確定b的值,也有6種不同方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6花=36.(2)確定平面上第二象限內(nèi)的點(diǎn)P,可分兩步完成：第一步確定a的值，由丁a<0,所以有3種不同方法；第二步確定b的值，由丁b>0,所以有2種不同方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到平面上第二象限內(nèi)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3X2=6.【點(diǎn)評(píng)】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題應(yīng)注意:(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各個(gè)步驟都

6、完成才算完成這件事.變式訓(xùn)練1:(2011年高考課標(biāo)全國卷)有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為()A.13A.13B.2C.3D.4【解析】：選A.甲、乙兩位同學(xué)參加3個(gè)小組的所有可能性有32=9(種)，其中甲、乙兩人參加同一個(gè)小組的情況有甲、乙兩人參加同一個(gè)小組的情況有甲、乙兩人參加同一個(gè)小組的情況有3(種).故甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率P=3=1.93變式訓(xùn)練2:現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由)65)65選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是(B.B.A. 56D

7、.D.6>5>4>3>2_5>6>5>4X3>2C.2【解析】：每位同學(xué)都有5種選擇，則6名同學(xué)共有56種不同的選法，故選A.【題型三】：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合使用例題3:現(xiàn)有高一學(xué)生50人，高二學(xué)生42人，高三學(xué)生30人，組成冬令營.(1)若從中選一人作總負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？(2) 若每年級(jí)各選一名負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？(3) 若從中推選兩人作為中心發(fā)言人，要求這兩人要來自不同的年級(jí)，則有多少種選法？【解析】(1)從高一選一人作總負(fù)責(zé)人有50種選法；從高二選一人作總負(fù)責(zé)人有42種選法；從高三選一人作總負(fù)責(zé)人有30種選法.由分類加法

8、計(jì)數(shù)原理，可知共有50+42+30=122種選法.(2) 從高一選一名負(fù)責(zé)人有50種選法；從高二選一名負(fù)責(zé)人有42種選法；從高三選一人作負(fù)責(zé)人有30種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知共有50X42X30=63000種選法.(3) 高一和高二各選一人作中心發(fā)言人，有50X42=2100種選法；高二和高三各選一人作中心發(fā)言人有42X30=1260種選法；高一和高三各選一人作中心發(fā)言人有50X30=1500種選法.故共有2100+1260+1500=4860種選法.【點(diǎn)評(píng)】用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決具體問題時(shí)，首先要分活是分類”還是分步”，其次要活楚分類”或分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)，在分類”時(shí)要做到不重不漏”，在分步

9、”時(shí)要正確設(shè)計(jì)分步”的程序，注意步與步之間的連續(xù)性.變式訓(xùn)練：7名同學(xué)中，有5名會(huì)下象棋，有4名會(huì)下圍棋.現(xiàn)從這7人中選2人分別參加象棋和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？【解析】:圍棋圍棋圍棋依題意，既會(huì)象棋乂會(huì)圍棋的多面手”有5+4-7=2人.方法一：第一類，先從會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋的3人中選1人，再從會(huì)下圍棋的4人中選1人，共有3>4=12(種)選法.第二類，先從既會(huì)下象棋乂會(huì)下圍棋的2人中選1人，再從會(huì)下圍棋的剩余3人中選1人下圍棋，有22=6(種)選法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得N=12+6=18(種).方法二：第一類，多面手”不參加，從只會(huì)下象棋的3人中選1人，從只會(huì)下圍棋的2人中選

10、1人，共有3X2=6（種）選法.第二類，多面手”中有一人參加象棋有2種選法，再從只會(huì)下圍棋的2人中選1人，共有2X2=4（種）選法.第三類，多面手”中有一人參加圍棋有2種選法，再從只會(huì)下象棋的3人中選1人共有2彳=6（種）選法.第四類，多面手”都參加，有2種選法，故N=6+4+6+2=18（種）.【題型四】：經(jīng)典問題（1）涂色問題例題4（1）圖例題4（2）圖例題4（1）:如圖是某校的校園設(shè)施平面圖，現(xiàn)用不同的顏色作為各區(qū)域的底色，為了便丁區(qū)分，要求相鄰區(qū)域不能使用同一種顏色.若有5種不同的顏色可選，則有中不同的著色方案.操場宿'舍區(qū)餐廳教學(xué)區(qū)【解析】：操場可從5種顏色中任選1種著色；餐

11、廳可從剩下的4種顏色中任選1種著色；宿舍區(qū)和操場、餐廳顏色都不能相同，故可從其余的3種顏色中任選1種著色；教學(xué)區(qū)和宿舍區(qū)、餐廳的顏色都不能相同，故可從其余的3種顏色中任選1種著色.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5>4彳2=180種著色方案.例題4（2）用5種不同的顏色給圖中的四個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰（有公共邊）的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？【解析】：第一類：1號(hào)區(qū)域與4號(hào)區(qū)域同色，此時(shí)可分三步來完成，第一步，先涂1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域，有5種涂法，第二步，再涂2號(hào)區(qū)域，只要不與1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域同色即可，因此有4種涂法；第三步，涂3號(hào)區(qū)域，只要不與1號(hào)區(qū)域和4號(hào)

12、區(qū)域同色即可，因此也有4種涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5X4>4=80種涂法；第二類:1號(hào)區(qū)域與4號(hào)區(qū)域不同色，此時(shí)可分四步來完成，第一步，先涂1號(hào)區(qū)域，有5種涂法，第二步，再涂4號(hào)區(qū)域，只要不與1號(hào)區(qū)域同色即可，因此有4種涂法；第三步，涂2號(hào)區(qū)域，只要不與1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域同色即可，因此有3種涂法;第四步，涂3號(hào)區(qū)域，只要不與1號(hào)區(qū)域和4號(hào)區(qū)域同色即可，因此也有3種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5>4整彳=180種涂法.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的涂色方法種數(shù)為80+180=260.【點(diǎn)評(píng)】反思：涂色問題一般是綜合利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，但也有幾種常用方法：(1)按區(qū)域的不同，

13、以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析；(2)以顏色為主分類討論，適用丁區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析；(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域的涂色問題.變式訓(xùn)練1:用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，問有多少種不同的涂色方案？B【解析】解法一：A可從5種顏色中任選1種著色；B可從剩下的4種顏色中任選1種著色；C和A、B顏色都不能相同，故可從其余的3種顏色中任選1種著色；D和B、C的顏色都不能相同，故可從其余的3種顏色中任選1種著色.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5>42整=480種著色方案解法二：先分為兩類：第

14、一類，當(dāng)D與A不同色，則可分為四步完成.第一步涂A有5種方法，第二步涂B有4種方法，第三步涂C有3種方法，第四步涂D有2種涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5X4X3X2=120種方法.第二類，當(dāng)D與A同色，分三步完成，第一步涂A和D有5種方法，第二步涂B有4種方法，第三步涂C有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有5X4X3=60(種)，所以共有120+60=180種不同的方案.變式訓(xùn)練2:用紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂入圖中的五個(gè)區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的顏色都不相同，則有多少種不同的涂色方法？【解析】：給各區(qū)域標(biāo)記號(hào)A、B、C、D、E,則A區(qū)域有4種不同的涂色方法，B區(qū)域有3種，C區(qū)域有2種，

15、D區(qū)域有2種，但E區(qū)域的涂色依賴丁B與D涂色的顏色，如果B與D顏色相同有2種，如果不相同，則只有一種.因此應(yīng)先分類后分步.第一類，B、D涂同色時(shí)，有4X3X2X1X2=48種，第二類，當(dāng)B、D不同色時(shí)，有4X3X2X1X1=24種，故共有48+24=72種不同的涂色方法.變式訓(xùn)練3:如圖，一環(huán)形花壇被分成A,B,C,D四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有4種不同的花可供選種,要求在每個(gè)區(qū)域里種1種花，且相鄰的2個(gè)區(qū)域種不同的花，則不同種法的種數(shù)為().A.96B.84C.60D.48【解析】方法一：先種A地有4種，再種B地有3種，若C地與A地種相同的花，則C地有1種，D地有3種；若C地與A地種不同花，則C地有2種，

16、D地有2種，即不同種法總數(shù)為N=4X3X(1X3+2X2)=84種.方法二：若種4種花有4X3X2X1=24種；若種3種花，貝UA和C或B和D相同，有2X4X3X2=48種；若種2種花，貝UA和C相同且B和D相同，有4X3=12種共有N=24+48+12=84種.變式訓(xùn)練4:將1,2,3填入3X3的方格中，要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，如a同AE【解析】：假設(shè)第一行為1,2,3，則第二行第一列可為2或3,此時(shí)，其他剩余的空格都只有一種填法，乂第一行有3>2X1=6種填法.故不同填寫方法共有6X2=12種.變式訓(xùn)練5:如圖，用6種不同的作物把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能種

17、植同一種作物，則不同的種法共有（）A.400種B.460種480種D.496種DA【解析】：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D、A種相同作物1種，D、A不同作物3種，.不同種法有6X5X4X（1+3）=480種.故選C.變式訓(xùn)練6:有4種不同的作物可供選擇種植在如圖所示的4塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，相鄰的試驗(yàn)田（有公共邊）不能種植同一種作物，共有多少種不同的種植方法？【解析】方法一：第一步，種植A試驗(yàn)田有4種方法；第二步，種植B試驗(yàn)田有3種方法；第三步，若C試驗(yàn)田種植的作物與B試驗(yàn)田相同，則D試驗(yàn)田有3種方法，此時(shí)有1X3=3種種植方法.若C試驗(yàn)田種植的作物與B試驗(yàn)田不同，則C試

18、驗(yàn)田有2種種植方法，D也有2種種植方法，共有2X2=4種種植方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，有3+4=7種方法.第四步，由分步乘法計(jì)數(shù)原理有N=4X3X7=84種不同的種植方法.方法二：（1）若A、D種植同種作物，則A、D有4種不同的種法，B有3種種植方法，C也有3種種植方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4X3X3=36種種植方法.（2）若A、D種植不同作物，則A有4種種植方法,D有3種種植方法,B有2種種植方法，C有2種種植方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4X3X2X2=48種種植方法.綜上所述，由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有N=36+48=84種種植方法.【題型五】：經(jīng)典問題（2）組數(shù)問題例題5:用0,1

19、,2,3,4這五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的（1）四位密碼？（2）四位數(shù)？（3）四位奇數(shù)？【解析】（1）完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分為四步：第一步，選取左邊第一個(gè)位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第二步，選取左邊第二個(gè)位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第三步，選取左邊第三個(gè)位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第四步，選取左邊第四個(gè)位置上的數(shù)字，有2種選取方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成不同的四位密碼共有N=5X4X3X2=120個(gè).（2）完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步：第一步，從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選一個(gè)數(shù)字作千位數(shù)字，共4種不同的選取方法，第二步從1,2,3

20、,4中剩余的三個(gè)數(shù)字和0共4個(gè)數(shù)字選一個(gè)數(shù)字作白位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步，從剩余的三個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字作十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步，從剩余的兩個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字作個(gè)位數(shù)字，有2種不同的選取方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成不同的四位數(shù)共有N=4X4X3X2=96個(gè).（3）完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個(gè)位，只能從1、3中任取一個(gè)有兩種方法，第二步定首位，把1、2、3、4中除去用過的一個(gè)還有3個(gè)可任取一個(gè)有3種方法，第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個(gè)數(shù)字先排白位3種方法，再排十位有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2X3X3X2=36個(gè).變式訓(xùn)練1:從集合0,1,2,3,4,5,6中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a,b組成復(fù)數(shù)a+bi,其中虛數(shù)有