數(shù)理方程第三次作業(yè)

1、深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院有界桿的長(zhǎng)度為有界桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其兩端保持絕熱，內(nèi)有周期性，其兩端保持絕熱，內(nèi)有周期性變化的熱源。已知桿內(nèi)初始溫度分布，關(guān)于桿內(nèi)任變化的熱源。已知桿內(nèi)初始溫度分布，關(guān)于桿內(nèi)任意時(shí)刻的溫度分布的一個(gè)定解問(wèn)題為意時(shí)刻的溫度分布的一個(gè)定解問(wèn)題為：0,00)0,0(sin00222LxxtxuxuutLxtAxuatu( (1) )( (2) )( (3) )一、深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院已知相應(yīng)的齊次問(wèn)題已知相應(yīng)的齊次問(wèn)題 1. .齊次方程，齊次方程，2. . 的本征函的本征函數(shù)集為數(shù)集為故本定解問(wèn)題的形式解為：故本定解問(wèn)題的形式解為：為了后面的需要，將源項(xiàng)也按該本征函數(shù)集

2、展開：為了后面的需要，將源項(xiàng)也按該本征函數(shù)集展開：其中其中),2, 1,0(cosnxLnxLntTtxunncos)(),(0,cos),(2)(,),(1)(sincos)(),(0000dxxLntxfLtfdxtxfLtftAxLntftxfLnLnn(4)(5)000Lxxxuxu采用本征函數(shù)法采用本征函數(shù)法：深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0cos)0(cos)(cos)()(0020 xLnTxLntfxLntTLnatTnnnnnnn將將(4)(4)和和(5)(5)代入代入(1)(1)和和(2):(2):（6）（7）（8）（9）0)0()()()(2nnnnTtftTLnatT即即本

3、征函數(shù)法：深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院dxxLntxfLtfdxtxfLtfLnL000cos),(2)(,),(1)(0)0()()()(2nnnnTtftTLnatTtAtxfsin),(0cossin2)(sinsin1)(000dxxLntALtftAdxtALtfLnL0)0(sin)(:000TtAtTn0)0(0)()(:02nnnTtTLnatTn0exp)0()(2tLnaTtTnn)cos1 ()(0tAtT)cos1 (cos)(),(0tAxLntTtxunn結(jié)果：結(jié)果：現(xiàn)在的條件：現(xiàn)在的條件：深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院設(shè)一熱傳導(dǎo)系統(tǒng)為有界桿設(shè)一熱傳導(dǎo)系統(tǒng)為有界桿, ,其

4、長(zhǎng)度為其長(zhǎng)度為L(zhǎng)，熱傳導(dǎo)方程，熱傳導(dǎo)方程為為: :初始條件為初始條件為1.1.試求出系統(tǒng)在任意邊界條件下的解，再求穩(wěn)態(tài)解試求出系統(tǒng)在任意邊界條件下的解，再求穩(wěn)態(tài)解2.2.試求出系統(tǒng)在下列邊界條件下的解，再求穩(wěn)態(tài)解試求出系統(tǒng)在下列邊界條件下的解，再求穩(wěn)態(tài)解222xuatuNuMuLxx,0二、)(),(210tuutuuLxx)(0 xut深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院222xuatu)(),(210tuutuuLxxtxWtxVtxu,設(shè))()()(,112tuxLtututxW代換后：)(, 01tutW1、已知：解：考慮到邊界條件是非齊次，引入輔助函數(shù)使邊界條件齊次化)(,2tutLW)(0

5、xut取深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 0, 00,0,0,010222tVVLxxVtLxtxfxVatVLxxt xLuuuxxuxLuutxf000)()(),(1211121 3 , 2 , 1sin),(1nxLntTtxVnn其中設(shè) xdxLntxfLtfxLntftxfLnnn01sin),(2,sin),(則利用本征函數(shù)法代入方程深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 nnnnnnnnnnCTtfTLnaTxLntfxLntTLnatT0)(sinsin2222112222 xdxLnxLCLn01sin2深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)()()(2pfpTLnaCpTpnnnn)( pTn對(duì)方程

6、兩邊作拉氏變換，對(duì)方程兩邊作拉氏變換，給出代數(shù)方程給出代數(shù)方程: :初值問(wèn)題初值問(wèn)題現(xiàn)在對(duì)現(xiàn)在對(duì) 反演反演, ,以求出以求出)(tTnnnnnnCTtftTLnatT)0()()()(22)()(LnappfCpTnnn求解初值問(wèn)題:拉普拉斯變換深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院pAAet2221)()()(LnappfLnapCLnappfCpTnnnnndtLnaftLnaCtTtnnn)(exp)(exp)(202)()()(,112tuxLtututxu穩(wěn)態(tài)解：t時(shí)， xLntTtxVnnsin),(1txWtxVtxu,)()()(,112tuxLtututxW深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 x

7、WtxVtxu, MxLMNxWNuMuLxx,0 0, 00),(0,0,00222tVVLxxWxVtLxxVatVLxxt2、已知：解：設(shè)代換后：MtW, 0NtLW,利用本征函數(shù)法 3 , 2 , 1sin),(1nxLntTtxVnn深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 nnnnnnnCTTLnaTxLntTLnatT0, 00sin222212222 )(sin2101xWxxxdxLnxLCLntLnaCtTnn2exp)( xLntTtxVnnsin),(1 xWtxVtxu, MxLMNxWxdxLnxWxLCLn0sin)()(2穩(wěn)態(tài)解：t時(shí)，MxLMNtxu,深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)

8、學(xué)院三、深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0)(32)(22 xdydxdyd xyyuyxuxu,0,03222222 xyuxuyy,0,3020解解 泛定方程所對(duì)應(yīng)的特征方程為泛定方程所對(duì)應(yīng)的特征方程為特征曲線（兩族積分曲線）為特征曲線（兩族積分曲線）為13Cyx 2Cyx 作特征變換作特征變換)14. 3()15. 3( yxyx 3)16. 3(被被轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型于于是是，經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)變變換換原原方方程程02 u). 3( 順順序序排排列列；、交交叉叉項(xiàng)項(xiàng)將將原原方方程程按按照照yxyx. 1位位置置不不變變但但反反號(hào)號(hào)；交交叉叉項(xiàng)項(xiàng) xy字字母母位位置置交交換換，與與盡盡管管特特征征

9、方方程程中中的的yx. 3順順序序排排列列；、交交叉叉項(xiàng)項(xiàng)特特征征方方程程按按照照xxyy. 2變變。但但對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的系系數(shù)數(shù)、符符號(hào)號(hào)不不深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院02 u)()(21 ffu 其中其中 是兩個(gè)任意二次連續(xù)可微的函數(shù)。這樣，原方程的通解為是兩個(gè)任意二次連續(xù)可微的函數(shù)。這樣，原方程的通解為21, ff xyuxuyy,0,3020)()3(21yxfyxfu )17. 3( xyyuyxuxu,0,03222222（原原泛泛定定方方程程） yxyx 3（通通過(guò)過(guò)變變換換）（化化成成了了標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型）件件：將將原原定定解解問(wèn)問(wèn)題題的的初初始始條條），得得分分別別代代入入（ 3.1

10、7 2213)()3(xxfxf )18. 3(0)()3(21xfxf)19. 3(Cxfxf )()3(3121)20. 3(）式式積積分分一一次次，得得將將（3.19。與與函函數(shù)數(shù)）聯(lián)聯(lián)立立，從從而而求求出出：（）與與顯顯然然，可可以以由由（213.203.18ff). 3( ）的通解為：標(biāo)準(zhǔn)型（3.深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院Cxxf 21)3(41)3(Cxxf 2243)( Cxxf 2149)3(Cxxf 2243)( 2213)()3(xxfxf )18. 3(Cxfxf )()3(3121)20. 3(），得得到到）、（聯(lián)聯(lián)立立求求解解（3.203.18上上述述結(jié)結(jié)果果，可可以

11、以改改寫寫為為)()3(21yxfyxfu )17. 3(Cxxf 2141)(Cxxf 2243)( ）式式入入到到（將將改改寫寫的的最最后后結(jié)結(jié)果果，代代3.17代回原來(lái)的自變量，從而得到所求的解為代回原來(lái)的自變量，從而得到所求的解為22223)(43)3(41),(yxyxyxyxu 替替換換，于于是是得得到到、分分別別以以，將將上上式式中中的的變變量量)()3(yxyxx 深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院四、深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院貝爾公式求解本問(wèn)題可直接應(yīng)用達(dá)朗將將泛泛定定方方程程化化成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型）行行特特征征變變換換,1 txtx ）應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾公公式式2atxatxd

12、aatxatxtxu)(21)()(21),(txtxd)(21txtxdsin21 )cos()cos(21txtx txsinsin 02u)(sin)(00,002222xxtuxutxxututt深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0cos)(cossin2222222yuxyuxyxuxxu五、判斷下列方程是什么類型的方程，并將它化成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后寫出通解。01)(cos)sin(222xxACB屬于雙曲型屬于雙曲型解：解：深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0)()(cossin2)(222 dxxdyxdxdy0)()sin(22 dxxdxdy0)sin)(sin( dxxdxdydxxdxdy1cos1sinCxxyxdxdy 2cos1sinCxxyxdxdy yxx cos 令令yxx cos 02u原方程被變換為標(biāo)準(zhǔn)型解解：特特征征方方程程為為因因此此有有.)1cossin()()(cossin2)()1(sin)(sin2)()()(sinsin2)()()sin(22222222222