第二章 解析函數(shù)

1、2一、重點與難點一、重點與難點重點：重點：難點：難點：1. 解析函數(shù)的概念；解析函數(shù)的概念；2. 函數(shù)解析性的判別函數(shù)解析性的判別1. 解析函數(shù)的概念；解析函數(shù)的概念；2. 初等函數(shù)中的多值函數(shù)及主值的概念初等函數(shù)中的多值函數(shù)及主值的概念3二、內(nèi)容提要二、內(nèi)容提要復變函數(shù)復變函數(shù)導數(shù)導數(shù)微分微分解析函數(shù)解析函數(shù)初等解初等解析函數(shù)析函數(shù)指指 數(shù)數(shù) 函函 數(shù)數(shù)三三 角角 函函 數(shù)數(shù)對對 數(shù)數(shù) 函函 數(shù)數(shù) 冪冪 函函 數(shù)數(shù) 性質(zhì)性質(zhì)解析函數(shù)解析函數(shù)的判定方法的判定方法可導與微分的關系可導與微分的關系可導與解可導與解析的判定析的判定定理定理雙雙 曲曲 函函 數(shù)數(shù)41 1）導數(shù)的定義）導數(shù)的定義.)()

2、(limdd)(,)(.)(,)()(lim,)(000000000000zzfzzfzwzfzzfzzfzzfzzfDzzDzDzfwzzzz 記作記作的導數(shù)的導數(shù)在在這個極限值稱為這個極限值稱為可導可導在在那么就稱那么就稱存在存在如果極限如果極限的范圍的范圍不出不出點點點點中的一中的一為為定義于區(qū)域定義于區(qū)域設函數(shù)設函數(shù)1. 復變函數(shù)的導數(shù)與微分復變函數(shù)的導數(shù)與微分5.,)(可導可導稱在區(qū)域內(nèi)稱在區(qū)域內(nèi)我們就我們就內(nèi)處處可導內(nèi)處處可導在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)DDzf定義定義2)2)可導與連續(xù)可導與連續(xù) 函數(shù)函數(shù) f (z) 在在 z0 處可導則在處可導則在 z0 處一定連續(xù)處一定連續(xù),

3、 但但函數(shù)函數(shù) f(z) 在在 z0 處連續(xù)不一定在處連續(xù)不一定在 z0 處可導處可導.3)3)求導公式與法則求導公式與法則 . , 0)()1(為復常數(shù)為復常數(shù)其中其中cc .,)()2(1為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf 6 ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf)( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函數(shù)函數(shù)兩個互為反函數(shù)的單值兩個互為反函數(shù)的單值是是與與其中其中7

4、則則線性部分線性部分的的的改變量的改變量是函數(shù)是函數(shù)小小的高階無窮的高階無窮是是式中式中則則可導可導在在設函數(shù)設函數(shù). )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)(000000wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)(d , )( )(000zzfwzzfwzzf 記作記作的微分的微分在點在點稱為函數(shù)稱為函數(shù)4)4)復變函數(shù)的微分復變函數(shù)的微分.d)(zzf 8. )( , 00可微可微在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)的微分存在的微分存在如果函數(shù)在如果函數(shù)在zzfz .)(00可微是等價的可微是等價的可導與在可導與在在在函數(shù)函數(shù)zzzfw .)( ,)(內(nèi)可微內(nèi)可微區(qū)

5、域區(qū)域在在則稱則稱內(nèi)處處可微內(nèi)處處可微區(qū)域區(qū)域在在如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzf可導與微分的關系可導與微分的關系91)1)定義定義. )( , )(000解析解析在在那末稱那末稱導導的鄰域內(nèi)處處可的鄰域內(nèi)處處可及及在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzfzzzf).( )( .)( ,)(全純函數(shù)或正則函數(shù)全純函數(shù)或正則函數(shù)個解析函數(shù)個解析函數(shù)內(nèi)的一內(nèi)的一區(qū)域區(qū)域是是或稱或稱內(nèi)解析內(nèi)解析區(qū)域區(qū)域在在則稱則稱內(nèi)每一點解析內(nèi)每一點解析區(qū)域區(qū)域在在如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzfDzf 2. 解析函數(shù)解析函數(shù).)( , )(00的奇點的奇點為為那末稱那末稱不解析不解析在在如果函數(shù)如果函數(shù)zfzzzf10 . )( )(

6、 )( )(內(nèi)解析內(nèi)解析在在除去分母為零的點除去分母為零的點和、差、積、商和、差、積、商的的與與內(nèi)解析的兩個函數(shù)內(nèi)解析的兩個函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域DzgzfDa. )( , )( , . )( , )( )(內(nèi)解析內(nèi)解析在在那末復合函數(shù)那末復合函數(shù)于于都屬都屬的對應值的對應值函數(shù)函數(shù)內(nèi)的每一個點內(nèi)的每一個點對對如果如果內(nèi)解析內(nèi)解析平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域在在函數(shù)函數(shù)內(nèi)解析內(nèi)解析平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域在在設函數(shù)設函數(shù)DzgfwGhzgzDGhhfwDzzghb (c) 所有多項式在復平面內(nèi)處處解析所有多項式在復平面內(nèi)處處解析.2)性質(zhì)性質(zhì). , )()( )(點點奇奇使分母為零的點是它的使分母為零的

7、點是它的為零的點的區(qū)域內(nèi)解析為零的點的區(qū)域內(nèi)解析在不含分母在不含分母任何一個有理分式函數(shù)任何一個有理分式函數(shù)zQzPd11.,),(),(),(:)(),(),()(1xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf , , , , 程程該點滿足柯西黎曼方該點滿足柯西黎曼方并且在并且在可微可微在點在點與與條件是條件是可導的充要可導的充要內(nèi)一點內(nèi)一點在在則則內(nèi)內(nèi)域域定義在區(qū)定義在區(qū)設函數(shù)設函數(shù)定理定理)RC(條件條件柯西黎曼條件柯西黎曼條件 3)可導與解析的判定可導與解析的判定12.),(),(:),(),()(2程程并且滿足柯西黎曼方并且滿足柯西黎曼方內(nèi)可微內(nèi)可微在在與與內(nèi)解

8、析的充要條件是內(nèi)解析的充要條件是域域在其定義在其定義函數(shù)函數(shù)定理定理 , , DyxvyxuDyxivyxuzf :,),(),()(則其導數(shù)公式則其導數(shù)公式可導可導處處在點在點若函數(shù)若函數(shù) yixzyxivyxuzf yuixuxvixuzf )(.xviyvyuiyv 134)4)解析函數(shù)的判定方法解析函數(shù)的判定方法. . , , 內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的在在解析函數(shù)的定義斷定解析函數(shù)的定義斷定則可根據(jù)則可根據(jù)內(nèi)處處存在內(nèi)處處存在的導數(shù)在區(qū)域的導數(shù)在區(qū)域數(shù)數(shù)導法則證實復變函導法則證實復變函如果能用求導公式與求如果能用求導公式與求DzfDzfa)()()(. )( ,R C ), ( , )(

9、)(內(nèi)解析內(nèi)解析在在條件可以斷定條件可以斷定要要那末根據(jù)解析函數(shù)的充那末根據(jù)解析函數(shù)的充方程方程并滿足并滿足可微可微因而因而、連續(xù)、連續(xù)的各一階偏導數(shù)都存在的各一階偏導數(shù)都存在內(nèi)內(nèi)在在中中如果復變函數(shù)如果復變函數(shù)DzfvuDvuivuzfb 143.3.初等解析函數(shù)初等解析函數(shù)1)1)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù).)sin(cos.的指數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)為為稱稱設設zyiyeeiyxzxz 定義定義; 0, 0,)( zxzeeeza則則對任意復數(shù)對任意復數(shù)性質(zhì)性質(zhì);)(,)(zzzeezeb 而且而且平面上處處解析平面上處處解析在在;)(2121zzzzeeec .2)(為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)是

10、以是以iedz 15 2) 2)三角函數(shù)三角函數(shù).,2cos.,2sin余弦函數(shù)余弦函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)定義定義稱為稱為稱為稱為izizizizeezieez .cos,sin)1(是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)zz 性質(zhì)性質(zhì).cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz .sincos)3(zizeiz .2)2(為周期為周期以以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都16(4)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內(nèi)都是解析函數(shù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內(nèi)都是解析函數(shù).sin)(cos,cos)(sinzzzz .cossintan正切函數(shù)正切函數(shù)定義

11、定義稱為稱為zzz .cos,sin, 1cossin)5(22不是有界函數(shù)不是有界函數(shù)但但zzzz ).tan()tan(:tan)1(zzz 是奇函數(shù)是奇函數(shù) 性質(zhì)性質(zhì).tan)tan(:tan)2(zzz 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)是以是以 17其它復變?nèi)呛瘮?shù)的定義其它復變?nèi)呛瘮?shù)的定義,sincoscot zzz 余切函數(shù)余切函數(shù),cos1ec zzs 正割函數(shù)正割函數(shù).sin1csc zz 余割函數(shù)余割函數(shù).cos1)(tantan)3(2zzz 在解析區(qū)域有在解析區(qū)域有 18 3) 3)雙曲函數(shù)雙曲函數(shù).,2ch.,2sh雙曲余弦函數(shù)雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)定義

12、定義稱為稱為稱為稱為zzzzeezeez ;sh)sh(:sh)1(zzz 是奇函數(shù)是奇函數(shù) 性質(zhì)性質(zhì);ch)ch(:chzzz 是偶函數(shù)是偶函數(shù) ;2ch,sh)2(為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)都是以都是以izz ;sh)(ch,ch)(shzzzz 且且平面上處處解析平面上處處解析在在,ch ,sh )3(zzz; 1shch)4(22 zz.ch)cos(,sh)sin()5(zizziiz 194 4）對數(shù)函數(shù)）對數(shù)函數(shù).Ln , )( )0( zwzfwzzew 記為記為稱為對數(shù)函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)滿足方程滿足方程因此因此zizzwArglnLn ikziz 2argln

13、)., 2, 1, 0( k所以所以支支的的數(shù)數(shù)稱為對數(shù)函稱為對數(shù)函其中其中),(Ln)arg(arglnln主值主值zzzizz )., 2, 1, 0(2lnLn kikzz20. . , , , , 的一個分支的一個分支稱為稱為可確定一個單值函數(shù)可確定一個單值函數(shù)對于每一個固定的對于每一個固定的zkLn;Ln )1(是一個無窮多值的函數(shù)是一個無窮多值的函數(shù)z性質(zhì)性質(zhì);LnLnLn,LnLnLn, 0, 0)2(2121212121zzzzzzzzzz 則則設設且且處解析處解析處處實軸外實軸外在平面上除去原點和負在平面上除去原點和負,ln, )3(z.1)(lnzz 215)5)冪函數(shù)冪函

14、數(shù):, 0,的冪函數(shù)的冪函數(shù)用下列等式定義用下列等式定義對于對于是任意復數(shù)是任意復數(shù)設設zz 定義定義).0(Ln zezwz . 0,0, zz時時補充規(guī)定補充規(guī)定是正實數(shù)時是正實數(shù)時當當;,lnLn., )1(ln的主值的主值稱為冪函數(shù)稱為冪函數(shù)時時取主值取主值當當是一個無窮多值函數(shù)是一個無窮多值函數(shù)一般說來一般說來 zezzzzz 性質(zhì)性質(zhì).)()2(1 zz22三、典型例題三、典型例題.)(33僅在原點有導數(shù)僅在原點有導數(shù)證明函數(shù)證明函數(shù)iyxzf 例1例1證證zfzfz)0()(lim0 iyxiyxyx 330),(lim0)(lim220),( yxyixyx. 00)(處的導數(shù)

15、為處的導數(shù)為在在故故 zzf.在在再證其他處的導數(shù)不存再證其他處的導數(shù)不存23)()()()(0030303300iyxiyxiyxiyxzzzfzf 則則沿路徑沿路徑若若,0yyz 030300)()(xxxxzzzfzf 則則沿路徑沿路徑若若,0 xxz )(3)()()(020030300yyyyyiiyiyzzzfzf 當當.)(, 000的導數(shù)不存在的導數(shù)不存在否則否則故除非故除非zfyx )(3020 xxx當當24例例2 2 函數(shù)函數(shù) 在何處在何處可導，何處解析可導，何處解析.)2()()(222yxyixyxzf 解解,),(22xyxyxu ;2, 12yuxuyx ,2),

16、(2yxyyxv ;22,2yxvyvyx .,xyyxvuvu 故故 僅在直線僅在直線 上可導上可導.)(zf21 y,21)(,不解析不解析上處處上處處在直線在直線由解析函數(shù)的定義知由解析函數(shù)的定義知 yzf故故 在復平面上處處不解析在復平面上處處不解析.)(zf時，時，當且僅當當且僅當21 y25例例3 3 設設 為解析函數(shù)，求為解析函數(shù)，求 的值的值.)(2323cxyxiybxay cba,解解 設設ivucxyxiybxayzf )()()(2323故故2323,cxyxvybxayu ,2bxyxu ,2cxyyv ,322cyxxv ,322bxayyu 由于由于 解析，所以解

17、析，所以)(zfxvyuyvxu ,即即,22cbcxybxy 3,3332222 bcacyxbxay故故. 3, 3, 1 cba26例例4 4 討論函數(shù)討論函數(shù) 在原點的可導性在原點的可導性. 0,00,)(21zzezfz01lim0)0()(lim)0(2100 xexzfzffxz 211lim0)0()(lim00yeyizfzfyz,0)0()(lim0 zfzfz故故 在原點不可導在原點不可導.)(zf,0時時趨于趨于函數(shù)沿函數(shù)沿xz 解解當當 沿正虛軸沿正虛軸 趨于趨于0時，有時，有iyz z27 設設 為為 平面上任意一定點平面上任意一定點,000iyxz z0000)R

18、e(1)()(zzzzzzzfzf 當點當點 沿直線沿直線 趨于趨于 時時,有有z)(0 xiyxz0z00001)()(xxxxzzzfzf 2 解解例例5 5 研究研究 的可導性的可導性.zzzfRe)( 28)(01)()(000yyizzzfzf , 1 當點當點 沿直線沿直線 趨于趨于 時時,有有z)(0 yiyxz0z的任意性知的任意性知處不可導且由處不可導且由在在故故00)(zzzf例例5 5 研究研究 的可導性的可導性.zzzfRe)( .)(處處不可導處處不可導zf29例例6 6 解方程解方程0sin z解解0212sin2 izizizizieeieez12 izeikizee 22. kz), 2, 1, 0( k30例例7 7 求出求出 的值的值.2)2( 解解)2ln(22)2( e )2(2ln2 kie)12(2sin)12(2cos2ln2 kike), 2, 1, 0( k31解解例例8 8 試求試求 函數(shù)值及其主值函數(shù)值及其主值:ii 1)1()1ln()1(1)1(iiiei kiie242ln)1( 2ln24242lnkike 2ln4sin2ln4cos224iek), 2, 1, 0( k令令 得主值得主值:0 k.2ln4sin2ln4cos2)1(4)1( ieii 2ln24242lnkike32例例9 9 證明證明;2sin