電動力學(xué)二四鏡象法

1、1第四節(jié)第四節(jié) 鏡象法求解靜電場鏡象法求解靜電場2目的：目的： 學(xué)習(xí)一種求解靜電場的學(xué)習(xí)一種求解靜電場的 特殊方法特殊方法-鏡象法（簡潔明了）鏡象法（簡潔明了）主要內(nèi)容： 一、相關(guān)內(nèi)容回顧 二、鏡象法的基本思想 三、鏡象法應(yīng)用舉例 四、總結(jié)與討論3唯一性定理：在可均勻分區(qū)的區(qū)域唯一性定理：在可均勻分區(qū)的區(qū)域V V內(nèi)給定自由電荷分布內(nèi)給定自由電荷分布，區(qū)域區(qū)域V V內(nèi)內(nèi)的電場由的電場由V V的邊界的邊界S S上的電勢或者上的電勢或者電勢法向?qū)?shù)唯一地確定。電勢法向?qū)?shù)唯一地確定。一、相關(guān)內(nèi)容回顧一、相關(guān)內(nèi)容回顧4 如果如果V V內(nèi)含有導(dǎo)體區(qū)域內(nèi)含有導(dǎo)體區(qū)域 ，將導(dǎo)體，將導(dǎo)體表面視為邊界面。如果不

2、是給定導(dǎo)體表面視為邊界面。如果不是給定導(dǎo)體邊界上的電勢或者電勢法向?qū)?shù)，而邊界上的電勢或者電勢法向?qū)?shù)，而是給定每個導(dǎo)體上的總電荷，唯一性是給定每個導(dǎo)體上的總電荷，唯一性定理同樣成立。這是由電荷與電場之定理同樣成立。這是由電荷與電場之間的制約關(guān)系決定的。間的制約關(guān)系決定的。5分離變量法：適用分離變量法：適用于所考慮的區(qū)域內(nèi)于所考慮的區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷分布沒有自由電荷分布的情況，求解拉普的情況，求解拉普拉斯方程。拉斯方程。 分離變量法（分離變量法（ ） 鏡象法（鏡象法（？）？） 格林函數(shù)法（格林函數(shù)法（？）？） 多極矩展開法（多極矩展開法（？）？）靜電學(xué)的基本問題是求滿足給定邊界條件靜電學(xué)的基本

3、問題是求滿足給定邊界條件的泊松方程的解。主要方法有四種。的泊松方程的解。主要方法有四種。6一種重要的特殊情形是：區(qū)域內(nèi)只一種重要的特殊情形是：區(qū)域內(nèi)只有一個或者幾個點電荷。區(qū)域的邊有一個或者幾個點電荷。區(qū)域的邊界是導(dǎo)體或者介質(zhì)。這一個或者幾界是導(dǎo)體或者介質(zhì)。這一個或者幾個電荷要在導(dǎo)體界面產(chǎn)生感應(yīng)電荷個電荷要在導(dǎo)體界面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，或者在介質(zhì)表面產(chǎn)生束縛。，或者在介質(zhì)表面產(chǎn)生束縛。二、鏡象法求解靜電場的基本思想二、鏡象法求解靜電場的基本思想7上述特殊情形的泊松方程邊值問題，上述特殊情形的泊松方程邊值問題，可以采用一種比較簡潔的特殊方法來可以采用一種比較簡潔的特殊方法來求解。這種方法就是鏡象法。求

4、解。這種方法就是鏡象法。鏡象法的基本思想就是：在求解區(qū)域之外鏡象法的基本思想就是：在求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應(yīng)電荷，但不改變求解引入象電荷取代感應(yīng)電荷，但不改變求解區(qū)域的邊值關(guān)系和邊界條件。區(qū)域的邊值關(guān)系和邊界條件?；蛘哒f或者說 ，只要不改變求解區(qū)域的電荷分布、，只要不改變求解區(qū)域的電荷分布、邊值關(guān)系和邊界條件，象電荷可以取代感應(yīng)電邊值關(guān)系和邊界條件，象電荷可以取代感應(yīng)電荷，象電荷在所考慮區(qū)域產(chǎn)生的電場就是感應(yīng)荷，象電荷在所考慮區(qū)域產(chǎn)生的電場就是感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場。電荷產(chǎn)生的電場。8例例1 接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點電荷附近有一點電荷Q，求空間，求空間中的電場。中的

5、電場。9解解電荷：一個點電荷電荷：一個點電荷界面：接地?zé)o窮大導(dǎo)體界面：接地?zé)o窮大導(dǎo)體區(qū)域：上半空間（下半空間電勢為零）區(qū)域：上半空間（下半空間電勢為零） Q 已知界面電勢為零，滿足唯一性定理已知界面電勢為零，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢。的要求，可以確定電勢。10上半空間的電勢的特征：上半空間的電勢的特征：導(dǎo)體表面是等勢面導(dǎo)體表面是等勢面電場線垂直于導(dǎo)體表面電場線垂直于導(dǎo)體表面點電荷點電荷Q使導(dǎo)體表面產(chǎn)生異號的感應(yīng)電荷使導(dǎo)體表面產(chǎn)生異號的感應(yīng)電荷 Q 。整個電場是由。整個電場是由Q和和 Q共同產(chǎn)生的。共同產(chǎn)生的。電荷分布和電場分布：電荷分布和電場分布： +Q 11設(shè)想在導(dǎo)體板設(shè)想在導(dǎo)體板

6、下方與電荷下方與電荷Q對對稱的位置上放稱的位置上放一個假想電荷一個假想電荷Q = Q ，然，然后把導(dǎo)體板抽后把導(dǎo)體板抽去。去。 這樣，沒這樣，沒有改變所考慮有改變所考慮空間的電荷分空間的電荷分布（即沒有改布（即沒有改變電勢服從的變電勢服從的泊松方程）。泊松方程）。Q假想電荷假想電荷Q與給定電荷與給定電荷Q激發(fā)的總激發(fā)的總電場如圖所電場如圖所示。由對稱示。由對稱性看出，在性看出，在原導(dǎo)體板平原導(dǎo)體板平面上，電場面上，電場線處處與它線處處與它正交，因而正交，因而滿足邊界條滿足邊界條件。件。12導(dǎo)體板上部導(dǎo)體板上部空間的電場空間的電場可以看作原可以看作原電荷與鏡象電荷與鏡象電荷共同激電荷共同激發(fā)的電

7、場。發(fā)的電場。場點場點P的電勢的電勢 rQrQP041 導(dǎo)體板上的導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷確感應(yīng)電荷確實可以用板實可以用板下方一個假下方一個假想電荷想電荷Q代代替。替。 r r P Q Q 13選選Q到導(dǎo)體板上的投影點到導(dǎo)體板上的投影點O作為坐標(biāo)作為坐標(biāo)原點，設(shè)原點，設(shè)Q到導(dǎo)體板距離為到導(dǎo)體板距離為a，有，有 222222041,azyxQazyxQzyx r r P Q Q 可以看出，引入象電荷取代感應(yīng)電荷，的確是可以看出，引入象電荷取代感應(yīng)電荷，的確是一種求解泊松方程的簡潔方法。一種求解泊松方程的簡潔方法。14例例2 真空中有一半徑為真空中有一半徑為R0的接的接地導(dǎo)體球，距球心為地導(dǎo)體球，距球心

8、為a（aR0）處）處有一點電荷有一點電荷Q，求空間各點的電勢，求空間各點的電勢（如圖）。（如圖）。15解解 Q 電荷：一個點電荷電荷：一個點電荷界面：導(dǎo)體球面界面：導(dǎo)體球面區(qū)域：球面外區(qū)域區(qū)域：球面外區(qū)域已知界面電勢為零，滿足唯一性定理已知界面電勢為零，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢。的要求，可以確定電勢。16點電荷點電荷Q使導(dǎo)使導(dǎo)體表面產(chǎn)生體表面產(chǎn)生異號的感應(yīng)異號的感應(yīng)電荷電荷Q 。電荷分布和電場分布：電荷分布和電場分布： +Q 整個電場是由整個電場是由Q和和Q共同產(chǎn)生的。共同產(chǎn)生的。17在球內(nèi)區(qū)域（所考在球內(nèi)區(qū)域（所考慮區(qū)域之外）引入象慮區(qū)域之外）引入象電荷，取代球面上的電荷，取代球面

9、上的感應(yīng)電荷，不改變體感應(yīng)電荷，不改變體系方程。系方程。 +Q Q 球面外區(qū)域電勢的特征：球面外區(qū)域電勢的特征：導(dǎo)體表面是等勢面導(dǎo)體表面是等勢面電場線垂直于導(dǎo)體表面電場線垂直于導(dǎo)體表面預(yù)計電場線如圖所示預(yù)計電場線如圖所示 +Q 18不改變邊值不改變邊值關(guān)系和邊界關(guān)系和邊界條件的要求條件的要求為由對稱性，為由對稱性， Q應(yīng)在應(yīng)在OQ連線上。連線上。0 rQrQ考慮球面上任一考慮球面上任一點點P（如圖）（如圖）19因此對球面上任因此對球面上任一點，應(yīng)有一點，應(yīng)有 常常數(shù)數(shù) QQrr只要選只要選Q的位置使的位置使 OPQ OQP，常常數(shù)數(shù) aRrr0則則20假想電荷假想電荷Q的大小為的大小為由兩三角

10、形相似的條件可由兩三角形相似的條件可得假想電荷得假想電荷Q的位置的位置QaRQ0 aRQQrr0 aRb20 aRRb00 21球外任一點球外任一點P（如（如圖）的電勢為圖）的電勢為 cos2cos241 4122022000RbbRaQRRaaRQraQRrQ22根據(jù)高斯定理，根據(jù)高斯定理，收斂于球面的電收斂于球面的電通量為通量為 Q。 Q為球面的總感應(yīng)為球面的總感應(yīng)電荷，它是受電電荷，它是受電荷荷Q的電場的吸的電場的吸引而從接地處傳引而從接地處傳至導(dǎo)體球上的。至導(dǎo)體球上的。物理結(jié)果討論：物理結(jié)果討論：然而然而|Q|Q，由電荷，由電荷Q發(fā)出的電發(fā)出的電場線只有一部分收斂于球面上，場線只有一部

11、分收斂于球面上，剩下的一部分發(fā)散至無窮遠處。剩下的一部分發(fā)散至無窮遠處。 23例例3 如上例，但導(dǎo)體球不接如上例，但導(dǎo)體球不接地而帶電荷地而帶電荷Q0，求球外電勢，求球外電勢，并求電荷并求電荷Q所受的力。所受的力。24這里給出的條件為：這里給出的條件為：（1）球面為等勢面（電勢待定）；）球面為等勢面（電勢待定）；（2）從球面發(fā)出的總電通量為）從球面發(fā)出的總電通量為Q0。在球內(nèi)放置與上例相同的假想電荷在球內(nèi)放置與上例相同的假想電荷Q（電勢為零），在球心處再放一個假想電荷電勢為零），在球心處再放一個假想電荷Q0Q（球面等勢），就可同時滿足上（球面等勢），就可同時滿足上面兩個條件。面兩個條件。解解2

12、5球外任一點球外任一點P的電勢為的電勢為 RaQRQraQRrQ000041 因此電荷因此電荷Q所受的力等于所受的力等于Q和球心處和球心處的電荷的電荷Q0Q對它的作用力對它的作用力F， 2202320230220220024RaaRaRQaQQbaQQaQQQF 26 220232023022022002 4RaaRaRQaQQbaQQaQQQF 過渡到點過渡到點電荷相互電荷相互作用模型作用模型吸引力，吸引力，趨于消失趨于消失R0 0物理結(jié)果討論：物理結(jié)果討論：27 2202320230220024RaaRaRQaQQF aR0即使即使Q和和Q0同號，同號，只要只要Q距球面足夠距球面足夠近，就

13、受到導(dǎo)體的近，就受到導(dǎo)體的吸引力。吸引力。原因：雖然整個導(dǎo)原因：雖然整個導(dǎo)體的電荷與體的電荷與Q同號同號，但在靠近，但在靠近Q的球的球面部分出現(xiàn)異號電面部分出現(xiàn)異號電荷。從而相互吸引荷。從而相互吸引起主要作用。起主要作用。吸引力起主要作用吸引力起主要作用（數(shù)值大于第一項）（數(shù)值大于第一項）28根據(jù)唯一性定理要求的條件求解電磁場泊松根據(jù)唯一性定理要求的條件求解電磁場泊松方程邊值問題；方程邊值問題；在求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應(yīng)電荷，在求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應(yīng)電荷，保持求解區(qū)域電荷分布不變；保持求解區(qū)域電荷分布不變；引入鏡象電荷，不改變求解區(qū)域邊值關(guān)系和引入鏡象電荷，不改變求解區(qū)域邊值關(guān)系

14、和邊界條件。邊界條件。1、鏡象法的基本要領(lǐng)、鏡象法的基本要領(lǐng)四、總結(jié)與討論四、總結(jié)與討論29 兩種方法都是根據(jù)邊值關(guān)系和邊界兩種方法都是根據(jù)邊值關(guān)系和邊界條件進行求解；條件進行求解； 可解的條件都是唯一性定理所要求可解的條件都是唯一性定理所要求的分區(qū)均勻介質(zhì)和邊界條件。的分區(qū)均勻介質(zhì)和邊界條件。2、與分離變量法比較、與分離變量法比較共同點：共同點：30不同點：不同點：31從前兩節(jié)的例子可以看出，邊值關(guān)系和邊界條從前兩節(jié)的例子可以看出，邊值關(guān)系和邊界條件對于求解電場問題具有重要性作用。邊界條件對于求解電場問題具有重要性作用。邊界條件大致有一下幾種類型：件大致有一下幾種類型：1、兩絕緣介質(zhì)界、兩絕緣介質(zhì)界面上，邊值關(guān)系為面上，邊值關(guān)系為nn 221121 , 2、給出導(dǎo)