2006年7月溫州第七屆青少年數(shù)學(xué)國際城市邀請賽團體賽試題與解答（簡體)

1、2006 Wenzhou Invitational World Youth Mathematics Intercity Competition2006青少年數(shù)學(xué)國際城市邀請賽隊際賽試題 2006/7/12 溫州市隊名：_得分：_1. 老師說：“要在一個三邊長為2，2，2x的三角形內(nèi)部放置一個盡可能大的圓，則正實數(shù)x的值該是多少？”學(xué)生A說：“我想x1.”學(xué)生B說：“我認為.”學(xué)生C說：“你們回答都不對！”他們?nèi)苏l的回答是正確的？為什么？解答：一方面三角形的面積；另一方面，該三角形底邊上的高為，所以三角形面積.可得.當(dāng)時，； 當(dāng)時，. 取，則，所以是一個更好的選擇.所以學(xué)生C的回答正確.注：當(dāng)

2、時，可取到r的最大值.2. 一個三角形可被剖分成兩個等腰三角形，原三角形的一個內(nèi)角為36，求原三角形最大內(nèi)角的所有可能值.解答：不妨設(shè)B36 .（1）若剖分線不過點B.不妨設(shè)剖分線為AD，此時BAD是或者的三角形.若BAD是的三角形，則CAD或者是第一個圖，或者是第二個圖，或者第三、四個圖.（2） 若剖分線過點B.不妨設(shè)為BE，則CBE必定是，ABE是的三角形.所以原三角形的最大內(nèi)角可能是.3. 四個單位正方形以邊對邊相連接而成，可以拼成如圖五種不同的形狀.用一片“L”形(圖中第一個)分別與其余四個中的一片拼成軸對稱圖形，請繪出所有可能之組合.解答：4. 一片骨牌是由兩個單位正方形以邊對邊相連

3、接而成，在每個正方形內(nèi)標(biāo)記上數(shù)字1、2、3、4或5，所以我們共可得標(biāo)號為11，12，13，14，15，22，23，24，25，33，34，35，44，45，55的15片不同的骨牌.將這15片骨牌排成一個如圖的5×6的長方形，每片骨牌的邊界已經(jīng)擦除，請試著把這些骨牌的邊界重新畫出來.解答：首先，注意到編號為55的骨牌一定是在矩形的中心，而編號22的骨牌只能是在右邊界處.此時，右上角編號為3的骨牌必與右側(cè)的2一起組成編號為23的骨牌.所以，右下角的2只能與5一起組成編號為25的骨牌，而這個2上面的3只能組成33骨牌.所以，可在圖中，把剩下的33、23對之間用一條線分隔.第三行的3只能與其

4、上的5組成35編號的骨牌.如左圖.這時，第一行的5不能與其左側(cè)的3組成35編號的骨牌，只能與其下的1組成編號為15的骨牌.這使得左側(cè)只能為13、34編號的骨牌，這樣，左上角的骨牌為11和24.在右下角，必須出現(xiàn)編號為12的骨牌，此時，其余的骨牌也就確定了.5. “幸運數(shù)”是指一個等于其各位數(shù)碼 (十進制) 和的19倍的正整數(shù)，求出所有的幸運數(shù).解答：設(shè)10 ab是一個至多兩位數(shù)，方程 10 a + b = 19 (a + b) 僅當(dāng) a = b = 0時成立.所以，所有的幸運數(shù)至少是三位數(shù).假設(shè)一個幸運數(shù)有m位數(shù)，則該數(shù)至少為，其數(shù)碼和至多為 9m，所以，.當(dāng) m = 4時，不成立.而 ，更不

5、成立.因此，所有的幸運數(shù)都是三位數(shù)，由100a + 10b + c = 19a + 19b + 19c，知 9a = b + 2c. 當(dāng) a = 1時，可得 (b，c) = (1，4)，(3，3)，(5，2)，(7，1)，(9，0). 當(dāng) a = 2時，可得 (b，c) = (0，9)，(2，8)，(4，7)，(6，6)，(8，5). 當(dāng) a = 3時，可得 (b，c) = (9，9).當(dāng) a > 3時，無解.所以共有 11 個幸運數(shù)： 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228, 247, 266, 285 和 399.6. 甲和乙在一個n´n的方格表

6、中做填數(shù)游戲，每次允許在一個方格中填入數(shù)字0或者1（每個方格中只能填入一個數(shù)字），由甲先填，然后輪流填數(shù)，直至表格中每個小方格內(nèi)都填了數(shù).如果每一行中各數(shù)之和都是偶數(shù)，則規(guī)定為乙獲勝，否則當(dāng)作甲獲勝.請問：(1) 當(dāng)n2006時，誰有必勝的策略？(2) 對于任意正整數(shù)n，回答上述問題.解答：(1) 當(dāng)n=2006時，后填數(shù)的乙有必勝策略.用1´2的多米諾骨牌對表格進行分割，使得每一行都由1003塊多米諾組成，當(dāng)甲對某塊多米諾的一個中填數(shù)時，乙也在該多米諾中填數(shù)，并且使得這塊多米諾中兩個數(shù)之和為偶數(shù).依此策略，乙可以使得表格的每一行中各數(shù)之和都是偶數(shù).故乙獲勝.(2) 當(dāng)n為偶數(shù)時，同

7、上述操作，可知乙有必勝策略；當(dāng)n為奇數(shù)時，甲有必勝策略：他可以先在第1行第1列的方格中寫上1，然后對第1行中其余方格作前面的多米諾分割，采取同樣的操作方式，可使表格中第1行中各數(shù)之和為奇數(shù).7. 設(shè)n為任意奇正整數(shù)，證明：+能被2006整除.證明：因為 ，所以為證結(jié)論成立，只需證為奇正整數(shù)時，能被2，17，59整除.顯然，表達式能被2整除.應(yīng)用公式，為奇數(shù)時，.則由于，所以能被59整除.又1596270132617×78，100032068017×40，所以 能被17整除.故結(jié)論成立.8. 將正整數(shù)中所有被4整除以及被4除余1的數(shù)全部刪去，剩下的數(shù)依照從小到大的順序排成一個

8、數(shù)列：2, 3, 6, 7, 10, 11, .數(shù)列的前n項之和記為，其中n=1, 2, 3, .求S=的值.（其中表示不超過x的最大整數(shù)）解答：易知，因此 ，所以 故，從而，于是.9. 平面上，正三角形ABC與正三角形PQR的面積都為1.三角形PQR的中心M在三角形ABC的邊界上，如果這兩個三角形重迭部份的面積為S，求S的最小值.解答：在正PQR的三個頂點處截去三個全等的正三角形，得到一個面積為的正六邊形，則M是這個正六邊形的中心.若點M與ABC的一個頂點重合，如左圖，易知正六邊形和ABC的重迭部分面積是.在中間的圖形中，把ABC繞著點M順時針旋轉(zhuǎn)，則始邊所掃過的三角形和終邊所掃過的三角形全等，所以兩個三角形的公共部分面積是不變的.若點M在ABC的邊上，不妨設(shè)在BC上，且靠近點C，如右圖所示.，過點M作AC的平行線MN，交邊AB于點N，則BMN是正三角形.因為，BM和MN都與正六邊形相交，所以BMN與正六邊形的公共部分面積為.當(dāng)把正六邊形恢復(fù)成原來的正三角形時，公共部分面積不會減小.，所以兩個三角形公共部分面積的最小值為，如左圖.10. 設(shè)m是一個小于2006的四位數(shù)，已知存在正整數(shù)n，使得mn為質(zhì)數(shù)，且mn是一個完全平方數(shù)，求滿足條件的所有四位數(shù)m.解答 由