向量基礎(chǔ)知識及應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上向量基礎(chǔ)知識及應(yīng)用基本知識：1. 向量加法的定義及向量加法法則（三角形法則、平行四邊形法則）；2. 向量減法的定義及向量減法法則（三角形法則、平行四邊形法則）；3. 實(shí)數(shù)與向量的積. 向量共線的充要條件 ：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得=。4. 向量和的數(shù)量積：·=| |·|cos，其中為和的夾角。向量在上的投影：|cos，其中為和的夾角 ·=05. 向量的坐標(biāo)表示: ; 若向量，則 |；若P1（，）、P2（，），則 ; |= 6. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算及重要結(jié)論： 若 =（，）, =（，）, 則 +=0 cos= （為向

2、量的夾角）7. 點(diǎn)P分有向線段所成的比的： ，或 P內(nèi)分線段時(shí), ; P外分線段時(shí), .8. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式： ，中點(diǎn)坐標(biāo)公式：9. 三角形重心公式及推導(dǎo)（見課本例2）： 三角形重心公式：10. 圖形平移：設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F上所有的點(diǎn)按照同一方向移動(dòng)同樣長度(即按向量平移)，得到圖形F，我們把這一過程叫做圖形的平移。平移公式： 或 平移向量=（h，k）應(yīng)用：1利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決兩直線的夾角，判定兩直線平行、垂直問題例1已知向量滿足條件，求證：是正三角形解：令O為坐標(biāo)原點(diǎn)，可設(shè)由，即兩式平方和為，由此可知的最小正角為，即與的夾角為，同理可得與的夾角為，與的夾角為，這說明三點(diǎn)

3、均勻分部在一個(gè)單位圓上，所以為等腰三角形.例2 求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角 的度數(shù)解：如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為軸、軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，從而可求：,=. .2利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，解決有關(guān)線段的長度問題例3已知，AD為中線，求證證明：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在的直線為軸建立如圖2直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.=，從而，.3利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，用已知向量表示未知向量例4 已知點(diǎn)是且試用解：以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系.由OA=2，所以，易求，設(shè).例5 如圖，用表示解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，.

4、4利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直問題例6 求證：三角形的三條高交于同一點(diǎn) 分析如圖，已知中，由，要證明利用向量法證明，只要證得即可；證明中，要充分利用好，這兩個(gè)條件. 證明：在上，而 ，即 又，即 -得： ， 即從而， .5利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)距離的問題，距離問題包括點(diǎn)到點(diǎn)的距離，點(diǎn)的線的距離，點(diǎn)到面的距離，線到線的距離，線到面的距離，面到面的距離.例7 求平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 分析已知點(diǎn)求兩點(diǎn)間的距離這時(shí)，我們就可以構(gòu)造出向量，那么而，根據(jù)向量模的公式得，從而求得平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為. 解：設(shè)點(diǎn) ， ,而 點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為：6.利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問題.例8 證明: 分析如圖，在單位圓上任取兩點(diǎn),以為始邊，為終邊的角分別為，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即得到的坐標(biāo)，則為向量的夾角；利用向量的夾角公式，即可得證. 證明：在單位圓上任取兩點(diǎn)，以為始邊，以為終邊的角分別為，則點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為；則向量，它們的夾角為，,由向量夾角公式得：,從而得證.注：用同樣的方法可證明7.利用向量的數(shù)量積解決有關(guān)不等式、最值問題.例9 證明柯西不等式 證明：令（1） 當(dāng)或時(shí)，結(jié)論顯然成立；（2） 當(dāng)且時(shí)，令為的夾角