專題復(fù)習(xí)球與球體

1、2016年高考專題復(fù)習(xí)-球與球體 01.25典型例題1球的截面例1 球面上有三點、組成這個球的一個截面的內(nèi)接三角形三個頂點，其中，、，球心到這個截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積【練習(xí)】過球表面上一點引三條長度相等的弦、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長度典型例題2球面距離例2 過球面上兩點作球的大圓，可能的個數(shù)是（）A 有且只有一個 B一個或無窮多個 C無數(shù)個 D以上均不正確例3球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過3個點的小圓的周長為，求這個球的半徑例4、是半徑為的球的球面上兩點，它們的球面距離為，求過、的平面中，與球心的最大距離是多少？典型例題3其它問題例5

2、自半徑為的球面上一點，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值例6試比較等體積的球與正方體的表面積的大小典型例題4球與幾何體的切、接問題例7一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個半徑為的鐵球，這時水面恰好和球面相切問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？例8設(shè)正四面體中，第一個球是它的內(nèi)切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積之比及體積之比例9把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離例10如圖1所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體內(nèi)切（1）求兩球半徑之和

3、；（2）球的半徑為多少時，兩球體積之和最小作業(yè) 1.正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切求球的表面積與體積2.求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比3 在球心同側(cè)有相距的兩個平行截面，它們的面積分別為和求球的表面積【高考真題】1.（2010四川理數(shù)）（11）半徑為的球的直徑垂直于平面，垂足為，是平面內(nèi)邊長為的正三角形，線段、分別與球面交于點M，N，那么M、N兩點間的球面距離是（A） （B） w_w_w（C） （D）2.（2010湖北文數(shù)）14.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為3cm的水，若放入三個相同的珠（球的半么與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球，則球的半徑是

4、 cm.3.（2009全國卷文）已知為球的半徑，過的中點且垂直于的平面截球面得到圓，若圓的面積為，則球的表面積等于_.ABO1O4.（2009陜西卷文）如圖球O的半徑為2，圓是一小圓，A、B是圓上兩點，若=，則A,B兩點間的球面距離為 .5.（安徽卷理16文16）已知在同一個球面上,若,則兩點間的球面距離是 6.（江西卷文15）連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦半徑為4的球的兩條弦的長度分別等于、，每條弦的兩端都在球面上運動，則兩弦中點之間距離的最大值為 7.（遼寧卷理14文14）在體積為的球的表面上有A，B，C三點，AB=1，BC=，A，C兩點的球面距離為，則球心到平面ABC的距離為_8.（天津

5、卷理12）一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的體積為，則該正方體的表面積為 .9.（浙江卷理14文15）如圖，已知球O點面上四點A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O點體積等于_。2016年高考專題復(fù)習(xí)-球與球體 例1分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑解：，是以為斜邊的直角三角形的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑，又球心到截面的距離為，得球的表面積為說明：涉及到球的截面的問題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過兩個量求第三個

6、量，也可能是抓三個量之間的其它關(guān)系，求三個量【練習(xí)】由條件可抓住是正四面體，、為球上四點，則球心在正四面體中心，設(shè)，則截面與球心的距離，過點、的截面圓半徑，所以得例2 分析：對球面上兩點及球心這三點的位置關(guān)系進(jìn)行討論當(dāng)三點不共線時，可以作一個大圓；當(dāng)三點共線時，可作無數(shù)個大圓，故選B例3分析：利用球的概念性質(zhì)和球面距離的知識求解設(shè)球的半徑為，小圓的半徑為，則，如圖所示，設(shè)三點、，為球心，又，是等邊三角形，同樣，、都是等邊三角形，得為等邊三角形，邊長等于球半徑為的外接圓半徑，說明：本題是近年來球這部分所出的最為綜合全面的一道題，除了考查常規(guī)的與多面體綜合外，還考查了球面距離，幾乎涵蓋了球這部分所

7、有的主要知識點，是一道不可多得的好題例4分析：、是球面上兩點，球面距離為，轉(zhuǎn)化為球心角，從而，由關(guān)系式，越小，越大，是過、的球的截面圓的半徑，所以為圓的直徑，最小解：球面上、兩點的球面的距離為 ，當(dāng)成為圓的直徑時，取最小值，此時，取最大值， 即球心與過、的截面圓距離最大值為說明：利用關(guān)系式不僅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半徑與球心到截面的距離之間的變化規(guī)律此外本題還涉及到球面距離的使用，球面距離直接與兩點的球心角有關(guān)，而球心角又直接與長度發(fā)生聯(lián)系，這是使用或者求球面距離的一條基本線索例5分析：此題欲計算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與

8、球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)解：以為從一個頂點出發(fā)的三條棱，將三棱錐補(bǔ)成一個長方體，則另外四個頂點必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑 =說明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計算例6分析：首先抓好球與正方體的基本量半徑和棱長，找出等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為其面積的大小關(guān)系解：設(shè)球的半徑為，正方體的棱長為，它們的體積均為，則由，由得，即例7分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時的位置特征，利用鐵球取出后，錐內(nèi)下降部分(圓臺)的體積等于球的體積，列式求解解：如圖作軸截面，設(shè)球未取出時水面高，球取出后，水面高 ，則以為底面直徑的圓

9、錐容積為，球取出后水面下降到，水體積為又，則， 解得例8分析：此題求解的第一個關(guān)鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個關(guān)鍵是兩個球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的解：如圖，正四面體的中心為，的中心為，則第一個球半徑為正四面體的中心到各面的距離，第二個球的半徑為正四面體中心到頂點的距離設(shè)，正四面體的一個面的面積為依題意得， 又即所以說明：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑例9分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面

10、體的四個頂點且正四面體的棱長為兩球半徑之和2解：四球心組成棱長為2的正四面體的四個頂點，則正四面體的高.而第四個球的最高點到第四個球的球心距離為求的半徑1，且三個球心到桌面的距離都為1，故第四個球的最高點與桌面的距離為例10分析：此題的關(guān)鍵在于作截面，一個球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面 ，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察與和棱長間的關(guān)系即可解：如圖2，球心和在上，過，分別作的垂線交于圖2則由得， （1）設(shè)兩球體積之和為，則 =當(dāng)時，有最小值當(dāng)時，體積之和有最小值作業(yè) 解：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個面的距離都

11、是球的半徑是正三棱錐的高，即是邊中點，在上， 的邊長為， 可以得到 由等體積法， 得：， 說明：球心是決定球的位置關(guān)鍵點，本題利用球心到正三棱錐四個面的距離相等且為球半徑來求出，以球心的位置特點來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法2.分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓設(shè)球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；， ， ，3. 分析：可畫出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)，求球的半徑 解：如圖為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，且若、分別為兩截面圓的圓心，則，設(shè)球

12、的半徑為，同理，設(shè)，則在中，；在中，解得，球的表面積為【高考真題】1.解析：由已知，AB2R,BCR,故tanBAC cosBAC 連結(jié)OM，則OAM為等腰三角形AM2AOcosBAC，同理AN，且MNCD w_w_w.而ACR,CDR 故MN：CDAN:AC w_Þ MN，連結(jié)OM、ON，有OMONR于是cosMON所以M、N兩點間的球面距離是 w_w_w.答案：A2.【答案】4 【解析】設(shè)球半徑為r，則由可得,解得r=4.3.【解析】本小題考查球的截面圓性質(zhì)、球的表面積，基礎(chǔ)題。解：設(shè)球半徑為，圓M的半徑為，則，即由題得，所以。4.答案: 解析:由,=2由勾股定理在中則有, 又= 則 所以在，則，那么 . 由弧長公式得.5.解： 如圖，易得，則此球內(nèi)接長方體三條棱長為AB、BC、CD（CD的對邊與CD等長），從而球外接圓的直徑為，R=4則BC與球心構(gòu)成的大圓如圖，因為OBC為正三角形，則B，C兩點間的球面距離是。6.解析：易求得、到球心的距離分別為3、2，類比平面內(nèi)圓的情形可知當(dāng)、與球心共線時，取最大值5。7.解析：本小題主要考查立體幾何球面距離及點到面的距離。設(shè)球的