數(shù)學基礎——微積分基礎-文檔資料

1、補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/202211、函數(shù)、函數(shù))(xfy 23 xxfy)(自變量、因變量、常量、自變量、因變量、常量、一元函數(shù)、多元函數(shù)一元函數(shù)、多元函數(shù)),(tzyxfF 補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/202222、導數(shù)、導數(shù)2.1 極限極限axfxx)(lim01232xxxxfy)(例：例：231123xxxx)(5123211xxxxfxxlim)(lim補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/202232.2 函數(shù)的變化率函數(shù)的變化率導數(shù)導數(shù))(xfy xy靜態(tài)靜態(tài)動態(tài)動態(tài)yx ,增量，可正、可負增量，可正、可負xxfxxfxy)

2、()(00平均變化率平均變化率補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/20224xxfxxfxyxfyxx)()(limlim)( 0000y對對x的微商或?qū)?shù)的微商或?qū)?shù))(,xfdxddxdfdxdy其他表示：其他表示：二階導的表示：二階導的表示：)( )()( xfdxddxdydxddxydxfy22高階導以此類推高階導以此類推補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/202252.3導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義曲線的切線曲線的切線:P1P0時，時，0 xyMPMP 01tan 10PP割線割線 的斜率的斜率P1P0時時割線斜率的極限割線斜率的極限)( limtanlim

3、tanxfxyxPP 0001 導數(shù)的幾何意義是切線的斜率導數(shù)的幾何意義是切線的斜率補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/202263、導數(shù)的運算、導數(shù)的運算3.1 基本函數(shù)的導數(shù)運算基本函數(shù)的導數(shù)運算0lim)()(lim()()1(00 xCCxxfxxfyCxfyxx常量）常量）1)( )()2( xfyxxfyxxfyxxfy2)( )()3(2 233)( )()4(xxfyxxfy 補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/20227211)()5(xyxxfy xxfyxxfy21)( )()6( 為任何數(shù)為任何數(shù)nnxdxdxyxynnn1 結(jié)論結(jié)論其它常用其它

4、常用求導公式求導公式xxexfexfxxfxxfxxfxxfxxfxxf )( )(1)( ln)(sin)( cos)(cos)( sin)(補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/202283.2 導數(shù)運算的幾個定理導數(shù)運算的幾個定理定理一定理一 dxdvdxduxvxudxd )()(定理二定理二 dxdvxudxduxvxvxudxd)()()()( 定理三定理三2)()()()()(xvdxdvxudxduxvxvxudxd 定理四定理四dxdvdvduxvudxd )(補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/20229例題例題為為常常數(shù)數(shù)）的的導導數(shù)數(shù)、求求aaxy

5、(122 為常數(shù)）的導數(shù)。為常數(shù)）的導數(shù)。、求、求aaxy(ln2 為為常常數(shù)數(shù)）的的導導數(shù)數(shù)。、求求aaxy(32 的的導導數(shù)數(shù)、求求xexy24 的導數(shù)。的導數(shù)。、求、求152352 xxy補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/202210為常數(shù)）的導數(shù)。為常數(shù)）的導數(shù)。、（、求、求babaxy)cos(6的導數(shù)。的導數(shù)。、求、求172xy為為常常量量）的的導導數(shù)數(shù)。（、求求aexyax228補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/2022114 4、微分、微分4.1 4.1 自變量的微分自變量的微分自變量的無限小增量自變量的無限小增量dxx 4.2 4.2 函數(shù)的微分函

6、數(shù)的微分函數(shù)的導數(shù)乘以自變量的微分函數(shù)的導數(shù)乘以自變量的微分dxxfdy)( dxdyxf )( 補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/2022125 5、積分、積分5.1.1 5.1.1 變速直線運動的路程計算變速直線運動的路程計算質(zhì)點走的路程質(zhì)點走的路程batt ttvttvttvttvsnab )()()()(321).()(),(),(,nbnaabtvtvtvtvtntttttttt 321321個個時時刻刻的的速速度度分分別別為為段段，每每段段間間隔隔分分成成被被間間隔隔 1iittv)()(tvtOatbtt 幾何意義：幾何意義：以以 為高的各小矩形面積之和。為高的各小

7、矩形面積之和。iv5.1 5.1 兩個例子兩個例子補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/202213 niintabttvs10)(lim)(tvtOatbtt 幾何意義：幾何意義：曲線下的面積。曲線下的面積。區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi))(tvttab 補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/2022145.1.2 5.1.2 變力做功變力做功設力與物體運動方向一致，力與位置函數(shù)關系如設力與物體運動方向一致，力與位置函數(shù)關系如圖，求物體從圖，求物體從處處力力對對其其所所做做的的功功。到到bassasbss)(sFO.)(:)(,ssFAsFsnssiiab 隔內(nèi)力做功為隔內(nèi)力做功為為恒量，

8、在每個小間為恒量，在每個小間間隔中視間隔中視在每個小在每個小等分，間隔為等分，間隔為將將 niissFA1)(之之間間所所做做功功為為：到到力力從從bass niinsssFA10)(lim補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/2022155.2 5.2 定積分定積分)(xfy 來來表表示示。即即：可可用用符符號號則則當當間間隔隔為為等等分分，每每小小段段將將其其取取自自變變量量區(qū)區(qū)間間 baniinxdxxfxxfxnba)(,)(lim,10 niinxbaxxfdxxf10)(lim)(被積函數(shù)被積函數(shù)上下限上下限)(xfba,補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/2

9、02216 babassttdssFAdttvs)()(例：例：補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/202217積分定理積分定理( )( )( )( ),( )( )( )( )( )baf xxf xxxaxbf xxxf x dxba 如果被積函數(shù)是某個函數(shù)的導數(shù)，即則在到區(qū)間內(nèi)對 的定積分等于在這個區(qū)間內(nèi)的增量，即補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/2022185.3 5.3 不定積分及其運算不定積分及其運算函數(shù)逆導數(shù)不唯一函數(shù)逆導數(shù)不唯一逆導數(shù)或原函數(shù)逆導數(shù)或原函數(shù)的的稱為稱為，則，則若若)()()( )(xfxxxf 函數(shù)逆導數(shù)的通式稱為函數(shù)的不定積分函數(shù)逆導

10、數(shù)的通式稱為函數(shù)的不定積分 Cxdxxf)()(補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/202219基本不定積分公式基本不定積分公式函數(shù)函數(shù) 不定積分不定積分 )(xf dxxf)()(1 nxnCnxn 11xsinCx cosxcosCx sinx1Cx |lnxeCex 補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/202220積分運算定理積分運算定理 dxxuadxxfaxauxf)()()()(為為常常數(shù)數(shù)），則則（一一、如如果果 dxxvdxxudxxfxvxuxf)()()(),()()(則則二二、如如果果 dvvudxxvvudxxfxvvuxf)()( )()(),( )()(則則三三、如如果果補充知識補充知識 微積分初步微積分初步3/16/2022215.4 5.4 通過不定積分計算定積分通過不定積分計算定積分)()()()()