交比(射影幾何)

1、1一、點列中四點的交比一、點列中四點的交比1. 定義定義交比 最根本的射影不變量 定義定義. 設設P1, P2, P3, P4為點列為點列l(wèi)(P)中四點中四點, 且且P1 P2, 其齊次坐標其齊次坐標依次為依次為a, b, a+ 1b, a+ 2b, 則記則記(P1P2,P3P4)表示這四點構成的一個表示這四點構成的一個交比交比, 其定義為其定義為112342(,).PP PP(1)稱稱P1, P2為為基點偶基點偶, P3, P4為為分點偶分點偶. 定理定理1. 設點列設點列l(wèi)(P)中四點中四點Pi的齊次坐標為的齊次坐標為a+ ib ( i=1,2,3,4 )，則有則有132412342314

2、()()(,).()()PP PP(2)2 證明證明. 以以P1, P2,為基點為基點, 參數表示參數表示P3, P4. 設設132412342314()()(,).()()PP PPa+ 1b=a, a+ 2b=b. 從中解出從中解出a, b, 得得212121,.abbaab于是于是, P1, P2, P3, P4的坐標可表示為的坐標可表示為即即2331244121212121,ababab31412324,.ababab由交比的定義由交比的定義, 有有注注 定理可以作為交比的一般定義定理可以作為交比的一般定義.32. 性質性質(1) 交比組合性質交比組合性質 定理定理2 設設(P1P2,

3、P3P4 )=r. 當改變這四點在交比符號中的次序當改變這四點在交比符號中的次序時時, 交比值變化規(guī)律如下：交比值變化規(guī)律如下： (1).1(2).1.rrrrrr 基點偶與分點偶交換不變基點偶與分點偶的字母同換基點偶或分點偶字母對換改變換中間或首尾字母對換 推論推論 由定理由定理2, 相異的共線四點構成的相異的共線四點構成的24個交比只有個交比只有6個不同個不同的值：的值： 111, 1; 1,.11rrrrrrr不必背誦，但是要熟練掌握變化規(guī)律不必背誦，但是要熟練掌握變化規(guī)律！4132412342314(,).PP P PPP PPP P PP(2) 交比的初等幾何意義交比的初等幾何意義

4、如果限于通常平面如果限于通常平面, 則則(2)式右邊四個因式都是兩點之間的有式右邊四個因式都是兩點之間的有向距離向距離, 即即(4) 注注：如果如果P4=P , 而而P1, P2, P3為通常點為通常點, 則可合理地規(guī)定：則可合理地規(guī)定：211.P PPP于是有于是有, (P1P2,P3P )= (P1P2P3)為為前三個通常點的簡單比前三個通常點的簡單比.53. 特殊情況特殊情況 定理定理3 共線四點的交比值出現共線四點的交比值出現0, 1, 三者之一三者之一這四點中有這四點中有某二點相同某二點相同. 證明證明 根據定理根據定理1，令，令P1=P2或或P2=P3或或P3=P4或或P4=P1直

5、接驗證直接驗證. 此時此時, 上述上述6個不同的交比值又只有個不同的交比值又只有3組：組：0, 1, .4. 調和比調和比定義定義 若若(P1P2,P3P4 )= 1, 則稱則稱推論推論1 若若(P1P2,P3P4 )= 1, 則此四點互異則此四點互異.推論推論2 相異四點相異四點P1, P2, P3, P4可按某次序構成調和比可按某次序構成調和比這四點這四點的的6個交比值只有個交比值只有3個：個：11,2 .2點組點組P1,P2,P3,P4為為調和點組調和點組點偶點偶P1,P2,與與P3,P4(相互相互)調和分離調和分離點偶點偶P1,P2,與與P3,P4(相互相互)調和共軛調和共軛點點P4為

6、為P1,P2,P3的的第四調和點第四調和點6調和比是最重要的交比！調和比是最重要的交比！對于對于(P1P2,P3P4 )= 1, 利用初等幾何意義利用初等幾何意義, 有有132412342314(,)1.PPP PPP PPP PPP 此時此時, 若若P4=P , 而而P1, P2, P3為通常點為通常點, 則則1312312323(,)()1.PPPP PPPP PP P 這表示這表示P3為為P1P2的中點的中點. 推論推論3 設設P1, P2, P為共線的通常點，為共線的通常點，P 為此直線上的無窮遠為此直線上的無窮遠點，則點，則P為為P1P2的中點的中點12(,)1.PP PP 7 例例

7、1 設設1,2,3,4,5,6是是6個不同的共線點個不同的共線點. 證明：若證明：若(12,34)=(14,32), 則則(13,24)= 1.(12,34)r(14,32)1rr由題設由題設1rrr22rr已知四點相異已知四點相異0r 2r (13,24)11.r 8此步不可?。∪舨还簿€則交比無定義！此步不可省！若不共線則交比無定義！5. 交比的計算交比的計算(1) 由坐標求交比由坐標求交比 例例2 已知已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求求(P1 P2, Q1 Q2). 解解 第一步第一步. 驗證四點共線驗證四點共線. 第二步第二步

8、. 以以P1, P2為基點為基點, 參數表示參數表示Q1, Q2. 令令12.iiiQPPi=1,2.對于對于i=1, 有有13.對于對于i=2, 同理求得同理求得 . 于是，于是，. 32112122(,)1.PP QQ 2-39 例例3 已知已知P1, P2分別是分別是x軸、軸、y軸上的無窮遠點，軸上的無窮遠點，P3是斜率為是斜率為1的的方向上的無窮遠點，且方向上的無窮遠點，且(P1P2,P3P4)=r，求，求P4的坐標。的坐標。 解解：由題設知由題設知P1, P2, P3的坐標分別為的坐標分別為(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)。設。設31124122,.PPPPPP則顯

9、然則顯然11,由由11234221(,).PP PPr可得可得21/ , r從而從而P4的坐標為的坐標為(r,1,0). 注注 若要求若要求P1, 或或P2的坐標的坐標, 則需先據交比性質交換點的位置則需先據交比性質交換點的位置, 使使得交換后第得交換后第1,2位置為已知點位置為已知點, 再計算再計算.(2) 由交比求坐標由交比求坐標 定理定理4 設設Pi l(P) (i=1,2,3,4)，并已知，并已知1234(,),(0,1,)PP PPkk還已知其中三點的坐標，則第四點的坐標可唯一確定。還已知其中三點的坐標，則第四點的坐標可唯一確定。10 推論推論4 設設01*,P P P為點列為點列l(wèi)

10、(P)中取定的相異三點中取定的相異三點, P l(P). 則則*01(,):PP PPPx為點列為點列l(wèi)(P)與與R之間的一個雙射之間的一個雙射. 其中其中*0101PPxPPxPPx 無窮遠點分別“相當于”拓廣直線上的 原點單位點11二、線束中四直線的交比二、線束中四直線的交比1. 線束的參數表示線束的參數表示 設設a, b為線束為線束S(p)中取定的相異二直線中取定的相異二直線. 則對于任意的則對于任意的p S(p), 其坐標可表示為其坐標可表示為.abR稱稱a, b為為基線基線, 為為參數參數.注注1這里這里a, b, p均表示直線的齊次坐標。容易看出均表示直線的齊次坐標。容易看出 =0

11、 a; =1 a+b; = b注注2線束的參數表示與點列的參數表示有完全相同的代數結線束的參數表示與點列的參數表示有完全相同的代數結構，因此可由點列的交比對偶地得到線束的交比構，因此可由點列的交比對偶地得到線束的交比.12 定義定義3 設設p1, p2, p3, p4為線束為線束S(p)中四直線，且中四直線，且p1 p2，其齊次，其齊次坐標依次為坐標依次為a, b, a+ 1b, a+ 2b，則記，則記(p1p2, p3p4)表示這四直線構成表示這四直線構成的一個的一個交比交比，定義為，定義為112342(,),p pp p(5)稱稱p1, p2為為基線偶基線偶， p3, p4為為分線偶分線偶

12、。 定理定理5 設線束設線束S(p)中四直線中四直線pi的齊次坐標為的齊次坐標為a+ ib (i=1,2,3,4). 則則132412342314()()(,).()()p pp p(6)2. 定義定義注注 上述定義、定理與點列的交比有相同的代數結構上述定義、定理與點列的交比有相同的代數結構. 因此有因此有相同的組合性質相同的組合性質, 并可類似定義并可類似定義調和直線組調和直線組.133. 交比為射影不變量交比為射影不變量 定理定理6 設線束設線束S(p)中四直線中四直線pi被直線被直線s截于四點截于四點Pi(i=1,2,3,4)，則，則12341234(,)(,).p pp pPP PP

13、證明證明 設直線設直線p1, p2, p3, p4的齊次坐標分的齊次坐標分別為別為a, b, a+ 1b, a+ 2b, 直線直線s的齊次坐標為的齊次坐標為c. 可以求出點可以求出點Pi的坐標分別為的坐標分別為23312331121212233123311212,aaaabbbbaabbPPcccccccccccc而而31124122(),().P PPP PP于是于是1123412342(,)(,).p pp pPP PP14 注注 定理定理6也可看做：設也可看做：設Pi為點列為點列l(wèi)(P) 中四點中四點, Pi與不在與不在l上的定上的定點點S連線依次為連線依次為pi (i=1,2,3,4)

14、，則，則12341234(,)(,).PP PPp pp p由定理由定理6, 得下述重要結論得下述重要結論定理定理7 交比為射影不變量交比為射影不變量.注注 由定理由定理7, 關于點的交比和關于直線的交比的討論可以通過關于點的交比和關于直線的交比的討論可以通過對偶的方式相互移植、相互轉化對偶的方式相互移植、相互轉化. 154. 直線交比的初等幾何意義直線交比的初等幾何意義(1) 斜率表示斜率表示 如圖如圖, 在以在以S(x0,y0)為束心的線束中，取為束心的線束中，取定基線定基線x x0=0, y y0=0，則直線的斜率，則直線的斜率k可以可以作為參數來表示線束作為參數來表示線束S(p)。 由

15、定理由定理5可得可得 定理定理8 對于通常線束中以對于通常線束中以ki為斜率的為斜率的四直線四直線pi (i=1,2,3,4)，有，有132412342314()()(,).()()kkkkp pp pkkkk注注 容易看出，斜率參數容易看出，斜率參數.kR(tan).k16證明證明：設設p1,p2,p3,p4 是通常線束是通常線束S(p) 中的四條直線，它們中的四條直線，它們的斜率依次是的斜率依次是k1,k2,k3,k4 。設。設S的直角坐標為的直角坐標為(x0,y0) ，則，則這四條直線的直角坐標方程為這四條直線的直角坐標方程為ki(x-x0)-y+y0=0 ，對應的，對應的齊次方程為齊次

16、方程為kix1-x2+(y0-kix0)x3=0 ，齊次坐標為，齊次坐標為piki,-1,y0-kix0 。考慮兩條固定的直線?？紤]兩條固定的直線a:y=y0 和和b:x=x0 ，則，則a,b 的的齊次坐標分別是齊次坐標分別是0,-1,y0 和和1,0,-x0 。于是。于是pi 的齊次坐標的齊次坐標為為 a+kib ，于是有，于是有132412342314()()(,).()()kkkkp pp pkkkk17 設直線設直線pi與與x軸正向的夾角為軸正向的夾角為 i (i=1,2,3,4). 將將ki=tan i代入代入上式上式, 利用三角恒等式化簡可得利用三角恒等式化簡可得 定理定理9 對于

17、通常線束中以對于通常線束中以ki為斜率的四直線為斜率的四直線pi (i=1,2,3,4), 有有132412342314sin()sin()(,).sin()sin()p pp pp pp pp pp p其中其中(pi pj)表示由表示由pi到到pj的夾角的夾角.(2) 三角函數表示三角函數表示 推論推論5 設設pi (i=1,2,3,4)為通常線束中四直線為通常線束中四直線. 則則p3, p4為為p1, p2夾角的內外平分線夾角的內外平分線(p1p2, p3p4)= 1, 且且p3 p4 .證明略證明略. 本推論建立了垂直、角平分線與調和比間的關系本推論建立了垂直、角平分線與調和比間的關系.

18、18設線束中的四直線設線束中的四直線li 與與x 軸正向的夾角為軸正向的夾角為132412342314131324242323141413242314(tantan)(tantan)(,)(tantan)(tantan)(sincoscossin)(sincoscossin)(sincoscossin)(sincoscossin)sinsin,sinsinp pp p所以有所以有132412342314sinsin(,).sinsinp pp pp pp pp pp p195. 直線交比的計算直線交比的計算 (1). 由已知條件求交比由已知條件求交比 方法一方法一. 與點的交比計算完全對偶。與

19、點的交比計算完全對偶。 方法二方法二. 以一條特殊直線截已知線束，轉以一條特殊直線截已知線束，轉化為點的交比計算。技巧：取合適直線，使化為點的交比計算。技巧：取合適直線，使截點坐標簡單，易于計算。截點坐標簡單，易于計算。 (2). 由已知交比和其中三直線坐標，求第四條直線。由已知交比和其中三直線坐標，求第四條直線。20 例例4 過圓的弦過圓的弦AB的中點的中點O任作另外兩弦任作另外兩弦CE, DF，連結，連結EF, CD交交AB于于G, H。求證：。求證：GO=OH。 證明證明 因為因為A, F, C, B為圓上四定點為圓上四定點, 據教材據教材P.67例例2.3，有，有(,)(,).E AF CBD AF CB以直線以直線AB截這兩個線束，得截這兩個線束，得(,)(,).AG OBAO HB由交比的初等幾何表示由交比的初等幾何表示(2.4)式，有式，有