復(fù)變函數(shù) 第講

1、1紹興文理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)2第第1講講3復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué), 自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用, 是解決諸如流體力學(xué), 電磁學(xué), 熱學(xué), 彈性理論中的平面問(wèn)題的有力工具. 而自然科學(xué)和生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展又極大地推動(dòng)了復(fù)變函數(shù)的發(fā)展,豐富了它的內(nèi)容.4第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)5自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù), 它是本課程的研究對(duì)象. 由于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過(guò)復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算, 本章將在原有的基礎(chǔ)上作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充; 然后再介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念, 為進(jìn)一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ).61 復(fù)數(shù)及代數(shù)運(yùn)算71. 復(fù)數(shù)的概念在實(shí)數(shù)范圍,

2、方程x2=-1是無(wú)解的. 因此引進(jìn)一個(gè)新數(shù)i, 稱為虛數(shù)單位, 并規(guī)定i2 =-1從而i是方程x2=-1的一個(gè)根.對(duì)于任意二實(shí)數(shù)x,y, 稱z=x+iy或z=x+yi為復(fù)數(shù), x,y分別稱為z的實(shí)部和虛部, 記作x=Re(z), y=Im(z)8當(dāng)x=0,y0時(shí), z=iy稱為純虛數(shù); 當(dāng)y=0時(shí)z=x+0i, 將其看作是實(shí)數(shù)x.例如復(fù)數(shù)3+0i可看作實(shí)數(shù)3.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等, 是指的它的實(shí)部和虛部分別相等. 復(fù)數(shù)z=0, 是指的實(shí)部和虛部都是0.與實(shí)數(shù)不同, 一般說(shuō)來(lái), 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.92. 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=x1+iy1, z2=x2+iy2的加法, 減法和乘法定義為(

3、x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2)+i(y1y2) (1.1.1)(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)(1.1.2)稱上面二式右端為z1,z2的和,差與積當(dāng)z1,z2為實(shí)數(shù)時(shí), 上二式與實(shí)數(shù)的運(yùn)算一致.10稱滿足z2z=z1(z20)的復(fù)數(shù)z=x+iy為z1除以z2的商, )3 . 1 . 1 (,22222112222221212121yxyxyxiyxyyxxzzzzzz-=因此記作11復(fù)數(shù)運(yùn)算滿足交換律,結(jié)合律和分配律:z1+z2=z2+z1 z1z2=z2z1z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3) z1(z2z3)=(z1z

4、2)z3z1(z2+z3)=z1z2+z1z312把實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù),與z共軛的復(fù)數(shù)記作z)Im(2),Re(2)iv;)Im()Re()iii;)ii;,) i:,22212121212121zizzzzzzzz zzzzzzzzzzzzzzziyxziyxz=-=-=共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)則如果13例1 設(shè)z1=5-5i, z2=-3+4i, 求 與12zz12zz解1255(55 )( 34 )34( 34 )( 34 )( 1520)(1520)712555ziiiziiiii- -=- - - -= -所以127155ziz= -14例2 設(shè) 求Re(z

5、), Im(z)與131izii= - -z z解133 (1)1()(1)(1)33312222iiiiziiiiiiiii= - -=-= - -=-所以2231Re( ),Im( )22315222zzz z= -= -=15例3 設(shè)z1=x1+iy1, z2=x2+iy2為兩個(gè)任意復(fù)數(shù), 證明1 21 21 22Re().z zz zz z=證1 21 211221122121221121212122112121 2()()()()()()()()2()2Re().z zz zxiyxiyxiyxiyx xy yi x yx yx xy yi x yx yx xy yz z=-=-=或

6、1 21 21 21 21 22Re().z zz zz zz zz z=162 復(fù)數(shù)的幾何表示1. 復(fù)平面 由于一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy由一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y)碓一確定, 所以對(duì)于平面上的直角坐標(biāo)系, 復(fù)數(shù)的全體與該平面上的點(diǎn)的全體成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 從而復(fù)數(shù)z=x+iy可以用該平面上的坐標(biāo)為(x,y)的點(diǎn)來(lái)表示, 這是復(fù)數(shù)的一個(gè)常用表示方法. 此時(shí), x軸稱為實(shí)軸, y軸稱為虛軸, 兩軸所在的平面稱為復(fù)平面或z平面. 這樣, 復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng), 并且把點(diǎn)z作為數(shù)z的同義詞, 從而使我們能借助于幾何語(yǔ)言和方法研究復(fù)變函數(shù)問(wèn)題.17在復(fù)平面上, 復(fù)數(shù)z還與從原點(diǎn)指向點(diǎn)z=x+iy的平面向

7、量一一對(duì)應(yīng), 因此復(fù)數(shù)z也能用向量OP來(lái)表示. 向量的長(zhǎng)度稱為z的?；蚪^對(duì)值, 記作) 1 . 2 . 1 (|22yxrz=OxyxyqPz=x+iy|z|=r18顯然, 下列各式成立|,|,| |,|22zzz zyxzzyzx=OxyxyqPz=x+iy|z|=r19在z0的情況, 以正實(shí)軸為始邊, 以表示z的向量OP為終邊的角的弧度q稱為z的幅角, 記作Arg z=q這時(shí), 有)2 . 2 . 1 ()tg(Argxyz =OxyxyqPz=x+iy|z|=r20任何一個(gè)復(fù)數(shù)z0有無(wú)窮多個(gè)幅角, 如果q1是其中的一個(gè), 則Arg z=q1+2kp(k為任意整數(shù)) (1.2.3)給出了z

8、的全部幅角, 在z(0)的幅角中, 將滿足 -pq0p的q0稱為Arg z的主值, 記作q0=arg zOxyxyqPz=x+iy|z|=r21當(dāng)z=0時(shí), |z|=0, 而幅角不確定.arg z可由下列關(guān)系確定:arctg,0,0,02argarctg,0,0,0,0argtg.22yxxxyzyxyxxyyxppppp=-其中22由復(fù)數(shù)運(yùn)算法則, 兩個(gè)復(fù)數(shù)z1和z2的加減法和相應(yīng)的向量的加減法一致.Oxyz1z2z1+z2成立不等式|z1+z2|z1|+|z2| (三角不等式), (1.2.5)23減法:Oxyz1z2z1-z2-z2|z1-z2|z1|-|z2|(1.2.6)24一對(duì)共軛

9、復(fù)數(shù)z和z在復(fù)平面內(nèi)的位置是關(guān)于實(shí)數(shù)軸對(duì)稱的, 因而|z|=|z |, 如果z不在負(fù)實(shí)軸和原點(diǎn)上, 還有arg z = -argzOxyiyxz=iyxz-=25利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系:x = r cosq, y = r sinq,可以將z表示成三角表示式:z = r(cosq +i sinq),(1.2.7)利用歐拉公式eiq=cosq +i sinq得指數(shù)表示式:z=r eiq (1.2.8) OxyxyqPz=x+iy|z|=r26例1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.1)122 ;2)sincos.55zizipp= -=解1)|1244.rz=z在第三象限, 因此235ar

10、ctgarctg.3612qppp-=-=-= -因此56554 cos()sin()466izieppp-=-=272) 顯然, r=|z|=1, 又3sincoscos,525103cossinsin52510pppppppp=-=-=因此31033cossin1010izieppp=28例2 設(shè)z1,z2為兩個(gè)任意復(fù)數(shù), 證明:1 21212121)| |;2)| |.z zzzzzzz=證12121212121 122121)|()()()()()()|z zz zz zz zz zz zz zzz=292)212121212121 1222 11 222121 222121 2221

11、212212|()()()()|2Re()|2|2|(|)zzzzzzzzzzz zz zz zz zzzz zzzz zzzzzzz=兩邊開方, 即得所要的三角不等式.30很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)表示; 也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)確定它所表示的平面圖形.31例3 將通過(guò)兩點(diǎn)z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來(lái)表示.解 通過(guò)點(diǎn)(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為121121(),()().xxt xxtyyt yy=- =-因此, 它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1). (-t+)32由此得知由z1到

12、z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成z=z1+t(z2-z1). (0t1)取 , 得知線段 的中點(diǎn)為12t =1 2z z122zzz=33例4 求下列方程所表示的曲線:1)| 2;2)|2 | |2|;3)Im()4.ziziziz=-=34解1)| 2zi=設(shè)z=x+iy, 方程變?yōu)?222|(1) | 2(1)2,(1)4xyixyxy=為一圓-iOxy35幾何上, 該方程表示到點(diǎn)2i和-2的距離相等的點(diǎn)的軌跡, 所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i和-2的線段的垂直平分線, 方程為y=-x, 也可用代數(shù)的方法求出2)|2 | |2|ziz-=Oxy-22iy=-x36設(shè)z=x+iy, 那末3)Im()4.iz=(1)Im()1izxy iizy=-= -可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-3372. 復(fù)球面NSOxyPz38除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外, 還可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù).取一個(gè)與復(fù)平面切于原點(diǎn)z=0的球面, 球面上的一點(diǎn)S與原點(diǎn)重合. 通過(guò)S作垂直于復(fù)平面的直線與球面相交