微分幾何練習(xí)題庫及參考答案(已修改)

1、微分幾何復(fù)習(xí)題與參考答案一、填空題1極限2設(shè)，求 0 3已知 ，則.4已知（為常向量），則5已知，（為常向量），則 6. 最“貼近”空間曲線的直線和平面分別是該曲線的_ 切線_和 密切平面_.7. 曲率恒等于零的曲線是_ 直線_ .8. 撓率恒等于零的曲線是_ 平面曲線_ .9. 切線（副法線）和固定方向成固定角的曲線稱為 一般螺線 .10. 曲線在t = 2處有，則曲線在t = 2處的曲率k = 3 .11. 若在點(diǎn)處則為曲面的_ 正常_點(diǎn). 12 已知，則13曲線在任意點(diǎn)的切向量為14曲線在點(diǎn)的切向量為15曲線在點(diǎn)的切向量為16設(shè)曲線，當(dāng)時的切線方程為17設(shè)曲線，當(dāng)時的切線方程為.18.

2、曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的充要條件是_F=M=0_ _.19. u曲線（v曲線）的正交軌線的微分方程是 _ Edu+Fdv0（Fdu+Gdv0）_.20. 在歐拉公式中，是 方向(d) 與u曲線 的夾角.21. 曲面的三個基本形式、高斯曲率、平均曲率之間的關(guān)系是 .22已知，其中，則23已知，其中，則24設(shè)為曲面的參數(shù)表示，如果，則稱參數(shù)曲面是正則的；如果 是 一一對應(yīng)的 ，則稱曲面是簡單曲面25如果曲線族和曲線族處處不相切，則稱相應(yīng)的坐標(biāo)網(wǎng)為 正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng) 26平面的第一基本形式為，面積微元為27懸鏈面第一基本量是28曲面上坐標(biāo)曲線，的交角的余弦值是.29正螺面的第一基本形式是30雙曲拋物面

3、的第一基本形式是31正螺面的平均曲率為 0 32方向是漸近方向的充要條件是33. 方向和共軛的充要條件是34.是主曲率的充要條件是35.是主方向的充要條件是36. 根據(jù)羅德里格斯定理，如果方向是主方向，則37旋轉(zhuǎn)曲面中的極小曲面是平面 或懸鏈面38測地曲率的幾何意義是曲面S上的曲線在P點(diǎn)的測地曲率的絕對值等于(C)在P點(diǎn)的切平面P上的正投影曲線(C*)的曲率39之間的關(guān)系是40如果曲面上存在直線，則此直線的測地曲率為 0 41正交網(wǎng)時測地線的方程為42曲線是曲面的測地線，曲線(C)上任一點(diǎn)在其切平面的正投影曲線是 直線 .二、單項(xiàng)選擇題1已知，則為（ A ）A. ； B. ； C. ； D.

4、.2已知，為常數(shù)，則為（ C ）A. ； B. ； C. ； D. .其中為常向量3. 曲線(C)是一般螺線，以下命題不正確的是（ D ）A切線與固定方向成固定角； B副法線與固定方向成固定角；C主法線與固定方向垂直； D副法線與固定方向垂直4. 曲面在每一點(diǎn)處的主方向（ A ）A至少有兩個； B只有一個； C只有兩個； D可能沒有.5球面上的大圓不可能是球面上的（ D ）A測地線； B曲率線； C法截線； D漸近線.6. 已知，求為（ D ）A. ； B. ； C. ； D. .7圓柱螺線的切線與軸（ C ）. A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夾角； D. 有固定夾角.8設(shè)平面曲線，

5、s為自然參數(shù)，是曲線的基本向量敘述錯誤的是（ C ）A. 為單位向量； B. ； C. ； D. .9直線的曲率為（ B ）A. -1； B. 0； C. 1； D. 2.10關(guān)于平面曲線的曲率不正確的是（ D ）A. ； B. ，為的旋轉(zhuǎn)角； C. ； D. .11對于曲線，“曲率恒等于0”是“曲線是直線”的（ D ）A. 充分不必要條件； B. 必要不充分條件； C. 既不充分也不必要條件； D. 充要條件.12下列論述不正確的是（ D ）A. 均為單位向量； B. ； C. ； D. .13對于空間曲線，“撓率為零”是“曲線是直線”的（B ）A. 充分不必要條件；B.必要不充分條件；C.

6、 既不充分也不必要條件；D.充要條件.14在點(diǎn)的切線與軸關(guān)系為（ D ）A. 垂直；B. 平行； C. 成的角；D. 成的角.15橢球面的參數(shù)表示為（ C ）A. ； B. ；C. ；D. .16曲面在點(diǎn)的切平面方程為（ B ）A. ； B. ；C. ； D. .17球面的第一基本形式為（ D ）A. ； B. ；C. ； D. .18正圓柱面的第一基本形式為（ C ）A. ； B. ； C ； D. .19在第一基本形式為的曲面上，方程為的曲線段的弧長為（ B ）A ； B ；C ； D 20設(shè)為正則曲面，則的參數(shù)曲線網(wǎng)為正交曲線網(wǎng)的充要條件是（ B ） A ； B ； C ； D 21高斯

7、曲率為零的的曲面稱為（ A ）A極小曲面； B球面； C常高斯曲率曲面； D平面 22曲面上直線（如果存在）的測地曲率等于（ A ） A ； B ； C； D 323當(dāng)參數(shù)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時，參數(shù)曲線u-曲線的測地曲率為（ B ） A ； B ； C ； D 24如果測地線同時為漸近線，則它必為（ A ） A 直線； B 平面曲線； C 拋物線； D 圓柱螺線三、判斷題（正確打，錯誤打）1. 向量函數(shù)具有固定長度，則. 2. 向量函數(shù)具有固定方向，則. 3. 向量函數(shù)關(guān)于t的旋轉(zhuǎn)速度等于其微商的模. 4. 曲線的曲率、撓率都為常數(shù)，則曲線是圓柱螺線. 5. 若曲線的曲率、撓率都為非零常數(shù)，則曲線

8、是圓柱螺線. 6. 圓柱面線是漸近線. 7. 兩個曲面間的變換等距的充要條件是它們的第一基本形式成比例. 8. 兩個曲面間的變換等角的充要條件是它們的第一基本形式成比例. 9. 等距變換一定是保角變換. 10. 保角變換一定是等距變換. 11. 空間曲線的位置和形狀由曲率與撓率唯一確定. 12. 在光滑曲線的正常點(diǎn)處，切線存在但不唯一 13. 若曲線的所有切線都經(jīng)過定點(diǎn)，則該曲線一定是直線 14. 在曲面的非臍點(diǎn)處，有且僅有兩個主方向 15. 高斯曲率與第二基本形式有關(guān)，不是內(nèi)蘊(yùn)量 16. 曲面上的直線一定是測地線 17. 微分方程表示曲面上曲線族. 18. 二階微分方程總表示曲面上兩族曲線.

9、 19. 坐標(biāo)曲線網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是，這里是第一基本量. 20. 高斯曲率恒為零的曲面必是可展曲面. 21. 連接曲面上兩點(diǎn)的所有曲線段中，測地線一定是最短的. 22. 球面上的圓一定是測地線. 23. 球面上經(jīng)線一定是測地線. 24. 測地曲率是曲面的內(nèi)蘊(yùn)量. 四、計算題1求旋輪線的一段的弧長解 旋輪線的切向量為，則在一段的弧長為： 2求曲線在原點(diǎn)的切向量、主法向量、副法向量解 由題意知 ， ，在原點(diǎn)，有 ，又 ，所以有.3圓柱螺線為，求基本向量； 求曲率k和撓率.解 ，又由公式由一般參數(shù)的曲率公式及撓率公式有，.4求正螺面的切平面和法線方程解 ，切平面方程為，法線方程為5求球面上任一點(diǎn)

10、處的切平面與法線方程 解 ， ， 球面上任意點(diǎn)的切平面方程為即，法線方程為即6求圓柱螺線在點(diǎn)處的密切平面.解 所以曲線在原點(diǎn)的密切平面的方程為 即.7求旋轉(zhuǎn)拋物面的第一基本形式解 參數(shù)表示為，8求正螺面的第一基本形式解 ，9計算正螺面的第一、第二基本量解 ，10計算拋物面的高斯曲率和平均曲率解 設(shè)拋物面的參數(shù)表示為，則， ， ， ， ，11. 計算正螺面的高斯曲率.解 直接計算知，12. 求曲面的漸近線.解 ，則， 所以，L=0， ，漸近線微分方程為，化簡得， 漸近線為y=C1，x2y=C2 13. 求螺旋面上的曲率線.解 ， 曲率線的微分方程為: 或積分得兩族曲率線方程:14. 求馬鞍面在原

11、點(diǎn)處沿任意方向的法曲率.解 ， ， ， .15. 求拋物面在(0,0)點(diǎn)的主曲率.解 曲面方程即 ，代入主曲率公式，所以兩主曲率分別為 . 16. 求曲面在點(diǎn)(1,1)的主方向. 解 代入主方向方程，得,即在點(diǎn)(1,1)主方向.17. 求曲面上的橢圓點(diǎn)，雙曲點(diǎn)和拋物點(diǎn)解 由 得 v0時，是橢圓點(diǎn)；v0時，是雙曲點(diǎn)；v=0時，是拋物點(diǎn).18. 求曲面上的拋物點(diǎn)的軌跡方程解 由 得 令 得u=0 或v=0 所以拋物點(diǎn)的軌跡方程為 或.19.求圓柱螺線自然參數(shù)表示.解 由得 弧長 曲線的自然參數(shù)表示為 20. 求撓曲線的主法線曲面的腰曲線.解 設(shè)撓曲線為則主法線曲面為：則所以腰曲線是 21求位于正螺

12、面上的圓柱螺線（=常數(shù)）的測地曲率解 因?yàn)檎菝娴牡谝换拘问綖?，螺旋線是正螺面的v-曲線，由得由正交網(wǎng)的坐標(biāo)曲線的測地曲率得五、證明題1. 設(shè)曲線：證明：證明 由伏雷內(nèi)公式，得 兩式作點(diǎn)積，得 2. 設(shè)曲線： 證明：證明 由伏雷內(nèi)公式，得 3. 曲線G:是一般螺線，證明也是一般螺線（R是曲線G的曲率半徑）證明 兩邊關(guān)于s微商，得由于是一般螺線，所以也是一般螺線. 4. 證明曲線是常數(shù)）是一般螺線證明 . 5曲面S上一條曲線(C), P是曲線(C)上的正常點(diǎn)，分別是曲線(C)在點(diǎn)P的曲率、法曲率與測地曲率，證明證明 測地曲率 (是主法向量與法向量的夾角) 法曲率6. 證明曲線的切向量與曲線的位

13、置向量成定角證明 對曲線上任意一點(diǎn)，曲線的位置向量為，該點(diǎn)切線的切向量為：，則有：，故夾角為.由所取點(diǎn)的任意性可知，該曲線與曲線的切向量成定角7證明：若和對一切線性相關(guān)，則曲線是直線證明 若和對一切線性相關(guān)，則存在不同時為0的使，則 又，故有.于是該曲線是直線8 證明圓柱螺線的主法線和z軸垂直相交證明 由題意有 ，由知.另一方面軸的方向向量為，而，故，即主法線與軸垂直9證明曲線的所有法平面皆通過坐標(biāo)原點(diǎn)證明 由題意可得，則任意點(diǎn)的法平面為將點(diǎn)（0,0,0）代入上述方程有左邊右邊，故結(jié)論成立10證明曲線為平面曲線，并求出它所在的平面方程. 證明 ，所以曲線是平面曲線. 它所在的平面就是密切平面，

14、 密切平面方程為， 化簡得其所在的平面方程是2x+3y+19z270.11. 證明如果曲線的所有切線都經(jīng)過一個定點(diǎn)，那么它是直線. 證明 設(shè)曲線方程，定點(diǎn)的向徑為，則兩邊求微商，得 由于線性無關(guān)， k0曲線是直線. 12. 證明如果曲線的所有密切平面都經(jīng)過一個定點(diǎn)，那么它是平面曲線. 證明 取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線的方程為 ， 則曲面在任一點(diǎn)的密切平面方程為 因任一點(diǎn)的密切平面過定點(diǎn)，所以 , 即 所以 平行于固定平面， 所以 是平面曲線. 13. 若一條曲線的所有法平面包含非零常向量，證明曲線是直線或平面曲線. 證明 根據(jù)已知條件，得， 兩邊求導(dǎo)，得 ，由伏雷內(nèi)公式得 ，)，則曲線是直線；)

15、又有可知 因是常向量，所以是常向量，于是 所以 ，所以曲線為平面曲線. 14. 設(shè)在兩條撓曲線的點(diǎn)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使它們在對應(yīng)的點(diǎn)的副法線互相平行，證明它們在對應(yīng)點(diǎn)的切線和主法線也分別平行.證明 , 由伏雷內(nèi)公式得 進(jìn)而 15. 證明撓曲線（）的主法線曲面是不可展曲面.證明 設(shè)撓曲線為，則撓率，其主法線曲面的方程是： 取，則所以, 所以撓曲線的主法線曲面不是可展曲面. 16. 證明撓曲線（）的副法線曲面是不可展曲面.證明 設(shè)撓曲線為，則撓率， 其副法線曲面的方程是： 取，則所以, ，所以撓曲線的副法線曲面不是可展曲面. 17. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證明 設(shè)曲線則曲

16、線的主法線曲面為 沿曲線（v0）所以主法向量與曲面的法向量夾角所以曲線是它的主法線曲面上的漸近線. 18. 證明二次錐面沿每一條直母線只有一個切平面.證明 為直紋面 , 所以，曲面可展，即沿每一條直母線只有一個切平面. 也可以用高斯曲率K=0證明. 19. 給出曲面上一條曲率線，設(shè)上每一處的副法向量和曲面在該點(diǎn)處的法向量成定角，求證是一平面曲線.證明設(shè)副法向量和曲面在該點(diǎn)處的法向量成定角，則兩邊求微商，得由于曲線是曲率線，所以，進(jìn)而，由伏雷內(nèi)公式得時，是一平面曲線 ，即，又因?yàn)槭乔示€，所以即是常向量，所以是平面曲線. 20求證正螺面上的坐標(biāo)曲線（即曲線族曲線族）互相垂直證明 設(shè)正螺面的參數(shù)表

17、示是，則 ，故正螺面上的坐標(biāo)曲線互相垂直21. 證明在曲面上的給定點(diǎn)處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證明 由歐拉公式所以常數(shù). 22. 如果曲面上非直線的測地線均為平面曲線，則必是曲率線.證明 因?yàn)榍€是非直線的測地線，所以沿此曲線有從而又因?yàn)榍€是平面曲線，所以進(jìn)一步.由羅德里格斯定理可知曲線的切線方向?yàn)橹鞣较?，故所給曲線為曲率線. 23. 證明在曲面上曲線族x=常數(shù)，y =常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證明 曲面的向量表示為 x=常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線. ,.因?yàn)?所以坐標(biāo)曲線構(gòu)成共軛網(wǎng)，即曲線族 x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng). 24證明馬鞍面上所有點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)證明 參數(shù)表示為，則， ，故馬鞍面上所有點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)25如果曲面上某點(diǎn)的第一與第二基本形式成比例，即與方向無關(guān)，則稱該點(diǎn)是曲面的臍點(diǎn)；如果曲面上所有點(diǎn)都是臍點(diǎn)，則稱曲面是全臍的試證球面是全臍的證明 設(shè)球面的參數(shù)表示為，則，故球面是全臍的26證明平面是全臍的證明 設(shè)平面的參數(shù)表示為，則，故平面是全臍的27證明曲面的所有點(diǎn)為拋物點(diǎn)證明 曲面的參數(shù)表示為，則， ， ， ， ， ， 曲面的所有點(diǎn)為拋物點(diǎn)28求證正螺面是極小曲面證明 ，故正螺面是極小曲面29. 圓柱面上的緯線是測地線證明 由