第6章曲線和曲面

1、第六章第六章 曲線和曲面曲線和曲面三維圖形的基本問題1. 在二維屏幕上如何顯示三維物體？在二維屏幕上如何顯示三維物體？n顯示器屏幕、繪圖紙等是二維的n顯示對(duì)象是三維的n解決方法-投影n三維顯示設(shè)備正在研制中2. 如何表示三維物體？如何表示三維物體？n二維形體的表示-直線段,折線,曲線段,多邊形區(qū)域n三維形體的表示-空間直線段、折線、曲線段、多邊形、曲面片表示形體的兩種模型表示形體的兩種模型n數(shù)據(jù)模型n完全以數(shù)據(jù)描述n例如n用以8個(gè)頂點(diǎn)表示的立方體n以中心點(diǎn)和半徑表示的球n以數(shù)據(jù)文件的形式存在n包括-特征表示、空間分割表示、推移表示、邊界表示、構(gòu)造實(shí)體幾何表示等n進(jìn)一步分為n線框模型n表面模型n

2、實(shí)體模型線框模型線框模型：將形體表示成一組輪廓線的集合。n一般地，畫出了形體的棱線與輪廓線就能唯一地表示出來。如圖，八個(gè)頂點(diǎn)可以定義一個(gè)長方體，但還不足以識(shí)別它，如果定義了棱線，則無論如何放置長方體都能唯一地表示了。對(duì)于多面體由于其輪廓線和棱線通常是一致的，所以多面體的線模型更便于識(shí)別，且簡單。e12v4v8s3e2e4e6e8e2e7e11e10e9e3e1v2v3v1v7v5v6s2s6s5s1s4線框模型n優(yōu)點(diǎn)：簡單、處理速度快n缺點(diǎn)：1、對(duì)于非平面多面體，如圓柱、球等形體，其輪廓線隨觀察方向的改變而改變，無法用一組固定的輪廓線來表示它們。2、線框模型與形體之間不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：它僅僅

3、通過給定的輪廓線約束所表示形體的邊界面，而在輪廓線之間的地方，形體的表面可以任意變化。3、沒有形體的表面信息，不適于真實(shí)感顯示，由此導(dǎo)致表示的形體可能產(chǎn)生二義性。表面模型n表面模型n將形體表示成一組表面的集合n如果把線框模型中的棱線包圍的部分定義為面，所形成的模型便是表面模型。其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是在線模型的基礎(chǔ)上附加一些指針，有序地連接棱線。下圖中表面編號(hào)表示第幾個(gè)表面，表面特征表面是平面還是曲面。n形體與其表面一一對(duì)應(yīng)，適合于真實(shí)感顯示4頂點(diǎn)個(gè)數(shù)1起始指針0表面特征5表面編接指針屬性頂點(diǎn)號(hào)14232341表面模型n缺點(diǎn)：n不能有效的用來表示實(shí)體n原因：n1、表面模型中的所有

4、面未必形成一個(gè)封閉的邊界n2、各個(gè)面的側(cè)向沒有明確定義，即不知道實(shí)體位于面的哪一側(cè)實(shí)體模型n實(shí)體模型n用來描述實(shí)體，主要用于CAD/CAMn包含了描述一個(gè)實(shí)體所需的較多信息，如幾何信息、拓?fù)湫畔ⅲ梢灾С侄喾N運(yùn)算，如歐拉運(yùn)算等。表示形體的兩種模型n過程模型n以一個(gè)過程和相應(yīng)的控制參數(shù)描述n例如n用一些控制參數(shù)和一個(gè)生成規(guī)則描述的植物n以一個(gè)數(shù)據(jù)文件和一段代碼的形式存在n包括-粒子系統(tǒng)、L系統(tǒng)、迭代函數(shù)系統(tǒng)等三維對(duì)象兩類表示方法三維對(duì)象兩類表示方法n數(shù)據(jù)模型數(shù)據(jù)模型n邊界表示邊界表示Boundary representationsn空間區(qū)分空間區(qū)分Space-partitioning repre

5、sentationsn過程模型過程模型nL系統(tǒng)、分形系統(tǒng)、分形.Representation Methodsn邊界表示邊界表示n 使用一組平面或曲面逼近表示使用一組平面或曲面逼近表示3D對(duì)象（描述對(duì)象（描述輪廓）輪廓）n曲面將物體分為內(nèi)外兩部分。曲面將物體分為內(nèi)外兩部分。n典型例子：多邊形平面、樣條曲面典型例子：多邊形平面、樣條曲面Representation MethodsRepresentation Methodsn空間分區(qū)表示空間分區(qū)表示n用來描述物體內(nèi)部性質(zhì)用來描述物體內(nèi)部性質(zhì)n將包含一物體的空間區(qū)域劃分成一組將包含一物體的空間區(qū)域劃分成一組較小的、非重疊的、鄰接的實(shí)體。較小的、非重疊

6、的、鄰接的實(shí)體。n如：八叉樹表示如：八叉樹表示Representation Methods3D Representation methodsn多邊形表面多邊形表面Polygon Surfacesn二次曲面二次曲面n樣條表示樣條表示: Bezier曲線曲線n立體構(gòu)造立體構(gòu)造Solid - Modelingn八叉樹八叉樹Octreesn分形分形Fractal nL系統(tǒng)系統(tǒng)n邊界表示方法（第6章）空間區(qū)分表示方法不行還有我們！第7章6.0 多邊形表面多邊形表面n三維圖形中運(yùn)用邊界表示的最普遍方式是使用一組三維圖形中運(yùn)用邊界表示的最普遍方式是使用一組包圍物體內(nèi)部的表面多邊形。包圍物體內(nèi)部的表面多邊形。

7、n很多圖形系統(tǒng)以一組表面多邊形來存儲(chǔ)物體的描述。很多圖形系統(tǒng)以一組表面多邊形來存儲(chǔ)物體的描述。由于所有表面以線性方程加以描述，因此會(huì)簡化并由于所有表面以線性方程加以描述，因此會(huì)簡化并加速物體的表面繪制和顯示。加速物體的表面繪制和顯示。n某些情況下，多邊形表示是惟一可用的，但很多圖某些情況下，多邊形表示是惟一可用的，但很多圖形包也允許以其它方式對(duì)物體加以描述，如樣條曲形包也允許以其它方式對(duì)物體加以描述，如樣條曲面，它在轉(zhuǎn)換到多邊形表示后加以處理面，它在轉(zhuǎn)換到多邊形表示后加以處理6.0 多邊形表面多邊形表面n多邊形表數(shù)據(jù)表分為兩組進(jìn)行組織多邊形表數(shù)據(jù)表分為兩組進(jìn)行組織n幾何表：頂點(diǎn)坐標(biāo)和用來標(biāo)識(shí)多

8、邊形表面幾何表：頂點(diǎn)坐標(biāo)和用來標(biāo)識(shí)多邊形表面空間方向的參數(shù)空間方向的參數(shù) 點(diǎn)表、邊表、面表點(diǎn)表、邊表、面表n屬性表：指明物體透明度及表面反射度的屬性表：指明物體透明度及表面反射度的參數(shù)和紋理特征參數(shù)和紋理特征多邊形表面多邊形表面頂點(diǎn)表頂點(diǎn)表序號(hào)序號(hào)點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)1x1, y1, z12x2, y2, z23x3, y3, z34x4, y4, z45x5, y5, z5邊表邊表序號(hào)序號(hào)頂點(diǎn)號(hào)頂點(diǎn)號(hào)1v1, v22v2, v33v3, v14v3, v45v4, v56v5, v1多邊形面表多邊形面表序號(hào)序號(hào)邊序號(hào)邊序號(hào)1E1, E2, E32E3, E4, E5, E6E1E2E4E5S1v2v

9、1v3v4v5E3E6S2Polygon Surfacesn多邊形網(wǎng)多邊形網(wǎng)格格 圖形系統(tǒng)圖形系統(tǒng)一般使用一般使用多邊形網(wǎng)多邊形網(wǎng)格對(duì)格對(duì)3D物物體進(jìn)行建體進(jìn)行建模模6.1 曲線和曲面（第六章內(nèi)容）曲線和曲面（第六章內(nèi)容）n曲線曲面的生成方法曲線曲面的生成方法n給定一組數(shù)學(xué)函數(shù)給定一組數(shù)學(xué)函數(shù)n給定的一組數(shù)據(jù)點(diǎn)給定的一組數(shù)據(jù)點(diǎn)n一旦給定函數(shù)，圖形包將指定曲線方程投影到顯一旦給定函數(shù)，圖形包將指定曲線方程投影到顯示平面上，且沿著投影函數(shù)路徑繪制像素位置。示平面上，且沿著投影函數(shù)路徑繪制像素位置。n由函數(shù)式描述而生成的顯示曲面的例子有由函數(shù)式描述而生成的顯示曲面的例子有二次曲二次曲面面和和超二次曲

10、面超二次曲面 n可以為可以為簡單的簡單的3D對(duì)象對(duì)象提供提供精確精確的描述的描述n6.2.1節(jié)節(jié) 球面三葉玫瑰線、圓柱螺線、圓錐螺線球面三葉玫瑰線、圓柱螺線、圓錐螺線n球面、橢球面、環(huán)面等球面、橢球面、環(huán)面等6.1 曲線和曲面曲線和曲面n二次曲面二次曲面和和超二次曲面超二次曲面 不能表達(dá)復(fù)雜的曲線和曲面。n例如飛機(jī)或汽車的流線表面.使用樣條表示6.1 曲線和曲面曲線和曲面本章內(nèi)容本章內(nèi)容n曲線曲面基礎(chǔ)知識(shí)n曲線和曲面的表示 (1) 插值和逼近樣條 (2) Hermite樣條曲線 (3) Bezier曲線曲面 (4) B樣條曲線曲面 (5) 有理樣條曲線曲面 (6) 曲線曲面的轉(zhuǎn)換和計(jì)算6.1

11、曲線和曲面表示方法曲線和曲面表示方法n曲線曲面的表示要求曲線曲面的表示要求 1.唯一性；2.幾何不變性；3.易于定界；4.統(tǒng)一性 5.易于實(shí)現(xiàn)光滑連接；6.幾何直觀n曲線曲面表示方法曲線曲面表示方法n顯式表示:y=f（x）n隱式表示:f（x，y）=0n參數(shù)表示:P(t)=x(t), y(t), z(t)n顯式或隱式表示存在下述問題：（1 1）與坐標(biāo)軸相關(guān)的，不便于坐標(biāo)變換；）與坐標(biāo)軸相關(guān)的，不便于坐標(biāo)變換；（2 2）無法解決斜率為無窮大的情況；）無法解決斜率為無窮大的情況；（3 3）對(duì)于空間復(fù)雜曲線曲面很難表示）對(duì)于空間復(fù)雜曲線曲面很難表示（4 4）不便于計(jì)算和編程）不便于計(jì)算和編程n參數(shù)表示

12、:曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。假定用t表示參數(shù)，平面曲線上任一點(diǎn)P可表示為： n空間曲線上任一三維點(diǎn)P可表示為：)(),()(tytxtP)(),(),()(tztytxtPn參數(shù)表示例子：n直線n圓 1 , 0,)()(121ttPPPtP 1 , 012,11)(222ttttttPn參數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn)：參數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn)：（1）滿足幾何不變性的要求；滿足幾何不變性的要求；（2）有更大的自由度來控制曲線曲面的形狀；有更大的自由度來控制曲線曲面的形狀；（3）便于坐標(biāo)變換）便于坐標(biāo)變換 ；（4）便于處理斜率為無限大的問題，不會(huì)因此中斷計(jì)算；）便于處理斜率為無限大的問題，不會(huì)因此中斷計(jì)算；

13、（5）代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對(duì)變）代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對(duì)變 量個(gè)數(shù)不限，便于向高維空間擴(kuò)展。量個(gè)數(shù)不限，便于向高維空間擴(kuò)展。（6）t0,1, 直接定義了邊界。便于曲線和曲面的分段、直接定義了邊界。便于曲線和曲面的分段、 分片描述。分片描述。（7） 易于用矢量和矩陣表示，從而簡化了計(jì)算。易于用矢量和矩陣表示，從而簡化了計(jì)算。n參數(shù)曲線的參數(shù)曲線的代數(shù)形式代數(shù)形式和和幾何形式幾何形式一條三次參數(shù)曲線的一條三次參數(shù)曲線的代數(shù)形式代數(shù)形式：矢量形式：矢量形式：給定給定P(0),P(1),P(0),P(1),以及以及P(0),P(1)P(0),P(1)10)

14、()()(012233012233012233tatatatatzatatatatyatatatatxzzzzyyyyxxxx012233)(atatatatP3211012032) 1 ( ,)0( ) 1 (,)0(3aaaPaPaaaaPaP解四個(gè)方程，求得參數(shù)令參數(shù)曲線的幾何形式) 1 ( )0( ) 1 (2)0(2) 1 ( )0( 2) 1 (3)0(3)0( ),0(3210PPPPaPPPPaPaPa)()()2()32() 132()()()() 1 ( ),0( ),1 (),0(140312011230231230230231010PFPFPFPFtPPttPtttPt

15、tPttattttPPPPPPPPP)(14031201PFPFPFPFtP矩陣形式表示參數(shù)曲線：P=TA 其中P=FBP=TMB表示一條參數(shù)曲線TaaaAtttT111232310104321PPPPBFFFFFAMBMBATMBPTMtttF1123,000101001233112216.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率n曲線上任一點(diǎn)的位置矢量可表示為： P(t)=x(t), y(t), z(t)；n切向量(切矢量)n選擇弧長s作為參數(shù)，則 是單位切矢量。n根據(jù)弧長微分公式有：n于是有 ，即為單位矢量sPdsdPTs0lim2222dzdydxds22222)(/tPdtdzdtd

16、ydtdxdtds0)(tPdtds)()(tPtPdsdtdtdPdsdP設(shè)曲線的參數(shù)方程是P=P(s),其上任一點(diǎn)的單位切矢量為T(s), 稱矢量 方向上的單位矢量方向上的單位矢量N(s)N(s)為曲線在為曲線在s s處的主法矢量，處的主法矢量，稱過稱過P(s)P(s)以以N(s)N(s)為方向的直線為主法線。為方向的直線為主法線。 )(sTT(s)為單位矢量，即 ，故得到： 即主法矢量N(s)與切矢量T(s)垂直。 n法矢量n與 平行的法矢量稱為曲線在該點(diǎn)的主法矢量主法矢量Nn矢量積 是第三個(gè)單位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢稱為曲線的副法矢量副法矢量n我們可以推導(dǎo)出：dsd

17、TNTB)()()()()()()()()()(tPtPtPtPtPtPTBNtPtPtPtPB nT(切矢量)、N(主法矢量)和B(副法矢量)構(gòu)成了曲線上的活動(dòng)坐標(biāo)架。nN、B構(gòu)成的平面稱為法平面，N、T構(gòu)成的平面稱為密切平面，B、T構(gòu)成的平面稱為從切平面。密切面從切面法平面TBN主法線 曲線的法矢量 n曲率和撓率 即稱為曲率曲率，其幾何意義是曲線的單位切矢量對(duì)弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率。曲率k的倒數(shù) 稱為曲率半徑曲率半徑。撓率撓率 的絕對(duì)值等于副法線方向(或密切平面)對(duì)于弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率.ss0lim1sslimssTsTTsss000limlimlim.對(duì)于一般參數(shù)t，我們可以推導(dǎo)出曲率和撓率的計(jì)算公式如

18、下：3)()()(tPtPtP 2)()()(),(),(tPtPtPtPtP )(ssT)(sTTO 曲率和撓率（a）（b）1N1B1T0N0B0T0B1B本章內(nèi)容本章內(nèi)容n曲線曲面基礎(chǔ)知識(shí)n曲線和曲面的表示 (1) 插值和逼近樣條 (2) Hermite樣條曲線 (3) Bezier曲線曲面 (4) B樣條曲線曲面 (5) 有理樣條曲線曲面 (6) 曲線曲面的轉(zhuǎn)換和計(jì)算n樣條的歷史樣條的歷史n很早的繪圖員利用很早的繪圖員利用“ducks”和有柔性的木條（樣條）來和有柔性的木條（樣條）來繪制曲線繪制曲線n木質(zhì)的樣條具有二階連續(xù)木質(zhì)的樣條具有二階連續(xù)n并且通過所有的控制點(diǎn)并且通過所有的控制點(diǎn)A

19、 Duck (weight)Ducks trace out curve6.3 插值和逼近樣條插值和逼近樣條n樣條：通過一組指定點(diǎn)集而生成平滑曲線的柔性樣條：通過一組指定點(diǎn)集而生成平滑曲線的柔性帶。帶。n樣條曲線在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的含義樣條曲線在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的含義n由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線n在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)性條件在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)性條件n樣條曲面樣條曲面n使用兩組正交樣條曲線進(jìn)行描述使用兩組正交樣條曲線進(jìn)行描述樣條樣條n樣條在圖形學(xué)中的應(yīng)用樣條在圖形學(xué)中的應(yīng)用n設(shè)計(jì)曲線、曲面設(shè)計(jì)曲線、曲面n汽車車身設(shè)計(jì)、飛機(jī)和航天飛機(jī)表面的設(shè)計(jì)、船體設(shè)計(jì)汽車

20、車身設(shè)計(jì)、飛機(jī)和航天飛機(jī)表面的設(shè)計(jì)、船體設(shè)計(jì)以及家庭應(yīng)用。以及家庭應(yīng)用。n曲線的產(chǎn)生曲線的產(chǎn)生n給定一組離散的坐標(biāo)點(diǎn)，將數(shù)據(jù)集擬合成指定的曲線函給定一組離散的坐標(biāo)點(diǎn)，將數(shù)據(jù)集擬合成指定的曲線函數(shù)數(shù)n根據(jù)曲線函數(shù)得到曲線的圖形根據(jù)曲線函數(shù)得到曲線的圖形n曲線的類型曲線的類型n插值插值樣條曲線：選樣條曲線：選取的多項(xiàng)式使得曲取的多項(xiàng)式使得曲線通過每個(gè)控制點(diǎn)線通過每個(gè)控制點(diǎn)n逼近逼近樣條曲線：選樣條曲線：選取的多項(xiàng)式不一定取的多項(xiàng)式不一定使曲線通過每個(gè)控使曲線通過每個(gè)控制點(diǎn)制點(diǎn)n給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0, 1, , n，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插插值值，所構(gòu)造的曲

21、線稱為插值曲線。n線性插值：假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2的值，用一個(gè)線形函數(shù)：y=ax+b，近似代替，稱為的線性插值函數(shù)。n拋物線插值:已知在三個(gè)互異點(diǎn) 的函數(shù)值為 ，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù) 使拋物線 在結(jié)點(diǎn) 處與 在 處 的值相等。cbxaxx2)()(x321,xxx321,yyy)3 , 2 , 1( ixi)(xfix插值插值xyo1y2y)(xfy )(xy1x2xxyo1y2y)(xfy )(xy1x2x3x3y(a)(b) 線性插值和拋物插值n逼近：逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(但未必通過這些點(diǎn))，所構(gòu)造的曲線稱為逼近曲線。n在計(jì)算數(shù)學(xué)中，逼近通常

22、指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。 曲線的逼近逼近逼近n求給定型值點(diǎn)之間曲線上的點(diǎn)稱為曲線的插值曲線的插值。n將連接有一定次序控制點(diǎn)的直線序列稱為控制多邊形控制多邊形或特征多邊形。特征多邊形。 曲線的逼近凸殼凸殼n凸殼的定義凸殼的定義Convex hull 包含一組控制點(diǎn)的凸多邊形邊界包含一組控制點(diǎn)的凸多邊形邊界n凸殼的作用凸殼的作用n提供了曲線或曲面與包圍控制點(diǎn)的區(qū)域提供了曲線或曲面與包圍控制點(diǎn)的區(qū)域之間的偏差的測(cè)量之間的偏差的測(cè)量n以凸殼為界的樣條保證了多項(xiàng)式沿控制以凸殼為界的樣條保證了多項(xiàng)式沿控制點(diǎn)的平滑前進(jìn)點(diǎn)的平滑前進(jìn)凸殼n光順(Firing)指曲線的拐點(diǎn)不能太多。對(duì)平

23、面曲線而言，相對(duì)光順的條件是：na. 具有二階幾何連續(xù)性(G2)；nb. 不存在多余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；nc. 曲率變化較小。光順光順n假定參數(shù)曲線段 pi 以參數(shù)形式進(jìn)行描述：t ,t t)(i1i0tppii 參數(shù)連續(xù)性 幾何連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性與幾何連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性與幾何連續(xù)性1.參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性0階參數(shù)連續(xù)性階參數(shù)連續(xù)性記作C0連續(xù)性，是指曲線的幾何位置連接，即)()(0)1()1(1iiiitptp1階參數(shù)連續(xù)性階參數(shù)連續(xù)性記作C1連續(xù)性，指代表兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)：)()()()(0)1()1(10)1()1(1iiiiiiiitptptptp且2階參數(shù)連續(xù)性階

24、參數(shù)連續(xù)性，記作C2連續(xù)性，指兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。 (a)0階連續(xù)性(b)1階連續(xù)性(c)2階連續(xù)性2.幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性0階幾何連續(xù)性階幾何連續(xù)性，記作G0連續(xù)性，與0階參數(shù)連續(xù)性的定義相同，滿足： 1階幾何連續(xù)性階幾何連續(xù)性，記作G1連續(xù)性，指一階導(dǎo)數(shù)在相鄰段的交點(diǎn)處成比例;2階幾何連續(xù)性階幾何連續(xù)性，記作G2連續(xù)性，指相鄰曲線段在交點(diǎn)處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。)()(0)1()1(1iiiitptpn參數(shù)參數(shù)連續(xù)性條件連續(xù)性條件 兩個(gè)相鄰曲線段在相交處的參數(shù)導(dǎo)數(shù)兩個(gè)相鄰曲線段在相交處的參數(shù)導(dǎo)數(shù)相等相等n零階連續(xù)零階連續(xù)(C0連續(xù)連續(xù))：簡單地表示曲

25、線：簡單地表示曲線連接連接n一階連續(xù)一階連續(xù)(C1連續(xù)連續(xù))：說明代表兩個(gè)相鄰曲線的方：說明代表兩個(gè)相鄰曲線的方程在相交點(diǎn)處有程在相交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)相同的一階導(dǎo)數(shù)（切線）（切線）n二階連續(xù)二階連續(xù)(C2連續(xù)連續(xù))：兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處有：兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處有相同相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，交點(diǎn)處的切向量變化率相等，交點(diǎn)處的切向量變化率相等參數(shù)連續(xù)性條件參數(shù)連續(xù)性條件曲線分段構(gòu)造時(shí)參數(shù)連續(xù)性條件曲線分段構(gòu)造時(shí)參數(shù)連續(xù)性條件零階連續(xù)零階連續(xù) 一階連續(xù)一階連續(xù) 二階連續(xù)二階連續(xù)F(u)f(u)F(1)=f(0)F(1)=f(0)F (1)=f (0)n幾何幾何連續(xù)性條件連續(xù)性條件 兩個(gè)

26、相鄰曲線段在相交處的參數(shù)導(dǎo)數(shù)兩個(gè)相鄰曲線段在相交處的參數(shù)導(dǎo)數(shù)成比例成比例n零階連續(xù)（零階連續(xù)（G0連續(xù)）：與連續(xù)）：與0階參數(shù)連續(xù)性相同，階參數(shù)連續(xù)性相同，即兩個(gè)曲線必在公共點(diǎn)處有相同的坐標(biāo)即兩個(gè)曲線必在公共點(diǎn)處有相同的坐標(biāo)n一階連續(xù)（一階連續(xù)（G1連續(xù)）：表示連續(xù)）：表示一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)相在兩個(gè)相鄰曲線的交點(diǎn)處成比例鄰曲線的交點(diǎn)處成比例n二階連續(xù)（二階連續(xù)（G2連續(xù)）：表示兩個(gè)曲線段在相交連續(xù)）：表示兩個(gè)曲線段在相交處的一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例處的一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例幾何連續(xù)性條件幾何連續(xù)性條件n插值樣條曲線插值樣條曲線三次樣條插值三次樣條插值n自然三次樣條插值自然三次樣條插值nHer

27、mite樣條插值樣條插值nCardinal樣條插值樣條插值nKochanek_Bartels樣條插值樣條插值n逼近樣條曲線逼近樣條曲線nBezier曲線曲線nB_樣條曲線樣條曲線本章內(nèi)容本章內(nèi)容n曲線和曲面表示的基礎(chǔ)知識(shí)n曲線和曲面的表示 (1) 插值和逼近樣條 (2) Hermite樣條曲線 (3) Bezier曲線曲面 (4) B樣條曲線曲面 (5) 有理樣條曲線曲面 (6) 曲線曲面的轉(zhuǎn)換和計(jì)算0,1 t)()()(011220112201122ctctctctzbtbtbtbtyatatatatxnnnnnnn6.4.1 樣條描述樣條描述n次樣條參數(shù)多項(xiàng)式曲線的矩陣：6.4 Himer

28、te樣條樣條0,1 t 1)()()()(000111GMTCTcbacbacbatttztytxtpSnnnn基矩陣基矩陣基函數(shù)基函數(shù)(blenging function)，或稱混合函數(shù)混合函數(shù)。n6.4.2 三次樣條三次樣條給定n+1個(gè)點(diǎn)，可得到通過每個(gè)點(diǎn)的分段三次多項(xiàng)式曲線： 0,1 t )()()(232323zzzzyyyyxxxxdtctbtatzdtctbtatydtctbtatx6.4.3 自然三次樣條自然三次樣條定義定義：給定n+1個(gè)型值點(diǎn)，現(xiàn)通過這些點(diǎn)列構(gòu)造一條自然三次參數(shù)樣條曲線，要求在所有曲線段的公共連接處均具有位置、一階和二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，即自然三次樣條具有自然三次樣

29、條具有C2連續(xù)性連續(xù)性。還需要兩個(gè)附加條件才能解出方程組. 特點(diǎn)特點(diǎn)：1.只適用于型值點(diǎn)分布比較均勻的場(chǎng)合2.不能“局部控制” 6.4.4 三次三次Hermite樣條樣條定義定義：假定型值點(diǎn)Pk和Pk+1之間的曲線段為p(t),t0,1，給定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，則滿足下列條件的三次參數(shù)曲線為三次三次Hermite樣條曲線樣條曲線： 11) 1 (,)0() 1 (,)0(kkkkRpRpPpPp推導(dǎo)推導(dǎo)：CTdcbatttdddcccbbbaaattttpzyxzyxzyxzyx11)(2323n幾何形式n對(duì)三次參數(shù)曲線，若用其端點(diǎn)位矢P(0)、P(1)和切矢P(0)、P(1)

30、描述。n將P(0)、P(1)、P(0)和P(1)簡記為P0、P1、P0和P1，代入 得 1 , 0)(012233tatatatatP1010310102010022233PPPPaPPPPaPaPa hhkkkkkkkkGMRRPPRRPPdcbaC1111100010100123311220123010011111000Mh是是Hermite矩陣矩陣。Gh是是Hermite幾何矢量幾何矢量。三次三次Hermite樣條曲線的方程為樣條曲線的方程為：0,1 t )(hhGMTtp0001010012331122123tttMTh 通常將TMk稱為Hermite基函數(shù)（或混合函數(shù)，調(diào)和函數(shù)基函數(shù)

31、（或混合函數(shù)，調(diào)和函數(shù)）： )(2)(32)(132)(233232231230tttHttttHtttHtttH)()()()()(312110tHRtHRtHPtHPtpkkkkH(t)t0.60.81-0.2H0(t)H1(t)H2(t)H3(t) Hermite基函數(shù)特點(diǎn)分析特點(diǎn)分析：1.可以局部調(diào)整，因?yàn)槊總€(gè)曲線段僅依賴于端點(diǎn)約束。2.Hermite曲線具有幾何不變性本章內(nèi)容本章內(nèi)容n曲線和曲面表示的基礎(chǔ)知識(shí)n曲線和曲面的表示 (1) 插值和逼近樣條 (2) Hermite樣條曲線 (3) Bezier曲線曲面 (4) B樣條曲線曲面 (5) 有

32、理樣條曲線曲面 (6) 曲線曲面的轉(zhuǎn)換和計(jì)算6.5 Bezier曲線曲線6.5.1 Bezier曲線的定義曲線的定義 Bezier曲線的例子定義定義：其中，Pi構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形Bernstein基函數(shù)基函數(shù)具有如下形式：注意：當(dāng)k=0，t=0時(shí)，tk=1，k!=1。 nknkktBENPtp0,0,1 t)()(n,0,1,k 11!)(,knkknknknkttCttknkntBEN6.5.2 Betnstein基函數(shù)的性質(zhì) （1）正性 （2）端點(diǎn)性質(zhì) otherwiseniBotherwiseiBnini0)(1) 1 (0)0(1)0(, ; 1, 2 , 1),1 ,

33、 0(01 , 00)(,nitttBni（3）權(quán)性 由二項(xiàng)式定理可知：) 1 , 0(1)(0,ttBninininininiinnittttCtB00,1)1()1 ()(（4）對(duì)稱性 因?yàn)?)()1 (,tBtBninni)1 ()1 ( )1 ()1 (1 )(,)(,tBttCttCtBniiniinininninnnin(5）遞推性。 即高一次的Bernstein基函數(shù)可由兩個(gè)低一次的Bernstein調(diào)和函數(shù)線性組合而成。因?yàn)椋?,.,1 , 0( ),()()1 ()(1, 11,nittBtBttBninini)()()1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()()1 ()(1

34、, 11,)1()1(111)1(1111,ttBtBttttCttCtttCCttCtBniniiniininiininiinininiinni（6）導(dǎo)函數(shù) （7）最大值。 在 處達(dá)到最大值。;, 1 , 0 ),()()(1,1, 1,nitBtBntBninini Bti n,( )tin（8）升階公式 )(11)()11 ()()(11)()()11 ()()1 (1, 11,1, 1,1,tBnitBnitBtBnittBtBnitBtninininininini（9）積分10,11)(ntBni1一次一次Bezier曲線曲線(n=1) 0,1 t )1 ()()(10101 ,kk

35、ktPPttBENPtp2二次二次Bezier曲線曲線(n=2) 001201222102202,)(2)2( 0,1 t )1 (2)1 ( )()(PtPPtPPPPtPttPttBENPtpkkk21020010221211)(PPPtttp3三次三次Bezier曲線曲線(n=3) 33,323,213, 103,033221203303,)()()()( 0,1t )1 (3)1 (3)1 ( )()(PtBENPtBENPtBENPtBENPtPttPttPttBENPtpkkk33,323,223,133,0)()1 (3)()1 (3)()1 ()(ttBENtttBENtttB

36、ENttBEN 三次Bezier曲線四個(gè)Bezier基函數(shù)0tB0,3(t)B3,3(t)B1,3(t)B2,3(t)bebeGMTPPPPttttp 0,1 t 00010033036313311)(3210236.5.3 Bezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)1端點(diǎn)端點(diǎn) 0, 11,000, )0()0()0( )0()0(PBENPBENPBENPBENPpnnnnnnknkknnnnnnnknkkPBENPBENPBENPBENPp )1 ()1 ()1 ( )1 ()1 (, 11,000,2一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù) )()()1 ()!) 1(!)!1()1 ()!1() 1()!1()!1()

37、1)()1 ()!( !)(1,1, 1) 1() 1() 1(111,tBENtBENnttknknnttknknnttknttkknkntNBEnknkknkknkkknknknknknkkknnnnnnnknknkktBENPPntBENPPtBENPPtBENPPntBENtBENPntp11, 111, 111, 1121, 00101,1, 1)()()()()()()()()()()()()0(01PPnp)() 1 (1nnPPnp 三次Bezier曲線段在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)為：)(3) 1 ()(3)0(2301PPpPPp3二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) 三次Bezier曲線段在

38、起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為：)()(1() 1 ()()(1()0(1120112nnnnPPPPnnpPPPPnnp )2(6) 1 ()2(6)0(321210PPPpPPPp 當(dāng)t=0時(shí)，當(dāng)t=1時(shí)，上式表明：2階導(dǎo)矢只與相鄰的3個(gè)頂點(diǎn)有關(guān)，事實(shí)上，r階導(dǎo)矢只與（r+1）個(gè)相鄰點(diǎn)有關(guān)，與更遠(yuǎn)點(diǎn)無關(guān)。將 、 及 、 代入曲率公式 ，可以得到Bezier曲線在端點(diǎn)的曲率分別為：)2)(1() 0 (012PPPnnP)2)(1() 1 (21nnnPPPnnP)0(P)0(P) 1 (P) 1 (P3)()()()(tPtPtPtk3011201)()(1) 0 (PPPPPPnnk311

39、21)()(1) 1 (nnnnnnPPPPPPnnk（4）對(duì)稱性。由控制頂點(diǎn)對(duì)稱性。由控制頂點(diǎn) 構(gòu)造出的新構(gòu)造出的新Bezier曲線，與原曲線，與原Bezier曲線形狀相同，走向相反。曲線形狀相同，走向相反。因?yàn)椋阂驗(yàn)椋哼@個(gè)性質(zhì)說明這個(gè)性質(zhì)說明Bezier曲線在起點(diǎn)處有什么幾何性質(zhì)，曲線在起點(diǎn)處有什么幾何性質(zhì)，在終點(diǎn)處也有相同的性質(zhì)。在終點(diǎn)處也有相同的性質(zhì)。),.,1 , 0( ,*niPPinininininiininininniinniittBPtBPtBPtBPtC000,0,* 1 , 0 ),1 ()1 ()()()( *niininniininniiniPtBBPtBPtB0*,

40、 00,0,)1 ()1 ()(n nn n0 0, ,- -i in nn ni i, ,i in n- -i i, ,n n0 0n nn n, ,n nn nn n, ,- -i in nn n- -i i, ,n ni in ni i, ,0 0t t) )P P( (1 1B Bt t) )P P( (1 1B Bt t) )P P( (1 1B Bt t) )P P( (1 1B B( (t t) )P PB B( (t t) )P PB B( (t t) )P PB B( (t t) )P PP P( (t t) )（5）凸包性）凸包性由于由于 ，且，且 ，這一結(jié)果，這一結(jié)果說明

41、當(dāng)說明當(dāng)t在在0，1區(qū)間變化時(shí)，對(duì)某一個(gè)區(qū)間變化時(shí)，對(duì)某一個(gè)t值，值，P(t)是特是特征多邊形各頂點(diǎn)的加權(quán)平均，權(quán)因子依次是征多邊形各頂點(diǎn)的加權(quán)平均，權(quán)因子依次是 。在。在幾何圖形上，意味著幾何圖形上，意味著Bezier曲線曲線P(t)在在 中各點(diǎn)是控中各點(diǎn)是控制點(diǎn)制點(diǎn)Pi i的凸線性組合，即曲線落在的凸線性組合，即曲線落在Pi i構(gòu)成的凸包之中，構(gòu)成的凸包之中，如下圖所示。如下圖所示。ninitB0,1)(), 1 , 0, 10( 1)(0,nittBni)(,tBni 1 , 0t Bezier曲線的凸包性凸包（6）幾何不變性。這是指某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。Bezier曲線

42、位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn) 的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇。), 1 , 0(niPi（7）變差縮減性。若Bezier曲線的特征多邊形 是一個(gè)平面圖形，則平面內(nèi)任意直線與C(t)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該直線與其特征多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這一性質(zhì)叫變差縮減性質(zhì)。此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動(dòng)還小，也就是說Bezier曲線比特征多邊形的折線更光順。nPPP10（8）仿射不變性對(duì)于任意的仿射變換A：即在仿射變換下，的形式不變。)()()(,0,tBPAtBPAtPAniininii6.5.4 Bezier曲線的生成曲線的生成1繪圖一段繪圖一段Bezier曲線曲線 利用定義式利用定義式Be

43、zier曲線的繪制，可以利用其定義式，對(duì)參數(shù)曲線的繪制，可以利用其定義式，對(duì)參數(shù)t選取選取足夠多的值，計(jì)算曲線上的一些點(diǎn)，然后用折線連接足夠多的值，計(jì)算曲線上的一些點(diǎn)，然后用折線連接來近似畫出實(shí)際的曲線。隨著選取點(diǎn)增多，折線和曲來近似畫出實(shí)際的曲線。隨著選取點(diǎn)增多，折線和曲線可以任意接近。線可以任意接近。knCnknknknCknkn 1)!( !1nknkknknkknknkktBENztztBENytytBENxtx0,0,0,)()(0,1 t )()()()(假設(shè)給定的四個(gè)型值點(diǎn)是假設(shè)給定的四個(gè)型值點(diǎn)是P0=(1，1)，Pl=(2，3)，P2=(4，3)， P3=(3，1)，則計(jì)算結(jié)果

44、見下表。，則計(jì)算結(jié)果見下表。t(1-t)33t(1-t)23t2 (1-t)t3P(t)01000(1,1)0.150.6140.3250.05740.0034(1.5058,1.765)0.350.2750.4440.2390.043(2.248,2.376)0.50.1250.3750.3750.125(2.75,2.5)0.650.0430.2390.4440.275(3.122,2.36)0.850.00340.05740.3250.614(3.248,1.75)10001(3,1)利用曲線性質(zhì)（幾何作圖法和分裂法）利用曲線性質(zhì)（幾何作圖法和分裂法）a.幾何作圖法幾何作圖法(de Ca

45、steljau算法算法)記點(diǎn)記點(diǎn)P Pk k，P Pk+lk+l，P Pl l可以生成的可以生成的BezierBezier曲線為曲線為P Pk k, ,l l( (t t) )，00t t11，則成立下面的遞推關(guān)系，則成立下面的遞推關(guān)系組合等式）(111ininCCi in nn n1 1, ,1 1- -n n0 0, ,n n0 0, ,C C( (t t) )P Pt t( (t t) )P Pt t) )( (1 1( (t t) )P P左左端端n n0 0i ii iP Pi in nt t) )( (1 1i it ti in nC Cn nP Pn nt ti iP Pi in

46、 nt t) )( (1 1i it t1 1n n1 1i i) )1 1i i1 1n nC Ci i1 1n n( (C C0 0P Pn nt t) )( (1 1n nP Pn nt ti iP Pi in nt t) )( (1 1i it t1 1n n1 1i i1 1i i1 1n nC Ci iP Pi in nt t) )( (1 1i it t1 1n n1 1i ii i1 1n nC C0 0P Pn nt t) )( (1 1 n nP P1 1n nt ti iP Pi in nt t) )( (1 11 1i it t1 1n n1 1i i1 1i i1 1

47、n nC Ct t i iP P1 1i in nt t) )( (1 1i it t1 1n n1 1i ii i1 1n nC C0 0P P1 1n nt t) )t t) ) ( (1 1( (1 11 1i iP P1 1i in nt t) )( (1 1i it t1 1n n0 0i i1 1n n0 0i ii i1 1n nC Ct ti iP P1 1i in nt t) )( (1 1i it ti i1 1n nC Ct t) )( (1 1右右端端nnnnnnnnPtCPttCPtCniitniB111100)1()1(0P)(,左端上式改寫為：上式改寫為： ( (

48、t t) ) )1 1n n0 0, ,P P( (t t) )n n1 1, ,t t( (P P( (t t) )1 1n n0 0, ,P P( (t t) )n n0 0, ,P P幾何作圖法偽代碼語言實(shí)現(xiàn)：0110)()3()2(,0)(1)(), 10)(), 0)2(,0,) 1 (, 1, 010,RtPgotoQRmiiiimmiiRRtRQmiiiiiimPRninmttttttPPPiiiiiiiin（至（做（若的增量為設(shè)控制點(diǎn)void bez_to_points(int n, double P, int npoints, double points) / P為控制點(diǎn)坐標(biāo)

49、為控制點(diǎn)坐標(biāo) /控制點(diǎn)控制點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為的個(gè)數(shù)為n +1 /points存儲(chǔ)存儲(chǔ)Bezier曲線上的離散點(diǎn)序列曲線上的離散點(diǎn)序列/離散點(diǎn)序列離散點(diǎn)序列points的個(gè)數(shù)為的個(gè)數(shù)為npoints+1 double t,delt;delt=1.0/(double)npoints;/將參數(shù)將參數(shù)t npoints等分等分t=0.0;for(int i=0;i=npoints;i+)pointsi=decas(n, P, t); /分別求出分別求出npoints+1個(gè)離散點(diǎn)個(gè)離散點(diǎn)points的坐標(biāo)的坐標(biāo)t+=delt;double decas(int n,double P,double t)int m

50、,i;double *R, *Q, P0;R = new doublen +1; Q = new doublen +1;for(i=0;i0;m-) for(i=0;i= m -1;i+)Qi= R i+t*( R i+1- R i);for(i=0;i= m -1;i+)Ri= Q i;P0=R0;delete R;delete Q;return (P0); 設(shè)給出四點(diǎn)的坐標(biāo)是設(shè)給出四點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，1)，(2，3)，(4，3)，(3，1)，求所確定三次，求所確定三次Bezier曲線在曲線在t=1/3時(shí)的值時(shí)的值P(1/3)，算法的計(jì)算過程，算法的計(jì)算過程 Bezier幾何作圖算法計(jì)算過程幾

51、何作圖算法計(jì)算過程 b.b.分裂法分裂法思想：將原控制點(diǎn)集分為兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相同的新控制點(diǎn)集，思想：將原控制點(diǎn)集分為兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相同的新控制點(diǎn)集，分別對(duì)應(yīng)原曲線的前半段和后半段，新控制點(diǎn)集比原分別對(duì)應(yīng)原曲線的前半段和后半段，新控制點(diǎn)集比原控制點(diǎn)集更接近直線，分裂過程繼續(xù)進(jìn)行，控制點(diǎn)集控制點(diǎn)集更接近直線，分裂過程繼續(xù)進(jìn)行，控制點(diǎn)集會(huì)迅速向曲線靠近，當(dāng)滿足某個(gè)允許的界限時(shí)，可依會(huì)迅速向曲線靠近，當(dāng)滿足某個(gè)允許的界限時(shí)，可依次連接各點(diǎn)的折線來表示曲線次連接各點(diǎn)的折線來表示曲線 設(shè)控制點(diǎn)序列設(shè)控制點(diǎn)序列P P0 0，P P1 1，P Pn n確定的確定的n n次次BezierBezier曲線是曲線是P(P(t

52、t) )，用如下遞歸方式計(jì)算另一組點(diǎn)集：，用如下遞歸方式計(jì)算另一組點(diǎn)集：n n , ,1,1,k kk,k,i in,n, ,1,2,1,2,k k),),1 1k k1 1i iP P1 1k ki i(P(P2 21 1n n , ,0,1,0,1,i i0,0,k k, ,i iP Pk ki iP P 如果令如果令P Pa a( (s s) )和和P Pb b( (s s) )分別是以控制點(diǎn)序列分別是以控制點(diǎn)序列 和和 ， 確定的確定的BezierBezier曲線，曲線，其中其中00s s11，那么就有：，那么就有： n nn nP P, , ,1 11 1P P, ,0 00 0P

53、P0 0n nP P, , ,1 1n nn nP P, ,n nn nP P1 1t t2 21 11 1, ,2 2t ts s, ,n n0 0i ii in nn nP Pi in ns s) )( (1 1i is si in nC C( (s s) )b bP P2 21 1t t2 2t t, ,0 0s s, ,n n0 0i ii ii iP Pi in ns s) )( (1 1i is si in nC C( (s s) )a aP PP P( (t t) )己知四點(diǎn)己知四點(diǎn)P P0 0，P P1 1，P P2 2，P P3 3，確定了一條三次，確定了一條三次Bezier

54、Bezier曲線曲線P(P(t t) )，可寫出下式，可寫出下式， 1 1t t2 21 1, ,0 03 31 1) )P P( (2 2t t3 3, ,3 3B B1 13 31 1) )P P( (2 2t t2 2, ,3 3B B2 23 31 1) )P P( (2 2t t1 1, ,3 3B B3 33 31 1) )P P( (2 2t t0 0, ,3 3B B2 21 1t t0 0, ,3 33 3( (2 2t t) )P P3 3, ,3 3B B2 22 2( (2 2t t) )P P2 2, ,3 3B B1 11 1( (2 2t t) )P P1 1,

55、,3 3B B0 00 0( (2 2t t) )P P0 0, ,3 3B B3 3( (t t) )P P3 3, ,3 3B B2 2( (t t) )P P2 2, ,3 3B B1 1( (t t) )P P1 1, ,3 3B B0 0( (t t) )P P0 0, ,3 3B BP P( (t t) ) 分裂法中的遞歸計(jì)算分裂法中的遞歸計(jì)算 分裂法的示意圖分裂法的示意圖 驗(yàn)證驗(yàn)證BezierBezier曲線分成前后兩段的正確性曲線分成前后兩段的正確性，P0的系數(shù)為例，驗(yàn)證兩端它的系數(shù)是相等的。的系數(shù)為例，驗(yàn)證兩端它的系數(shù)是相等的。 323 ,033322332233 , 33

56、,23 , 133 ,0)1 ()12(1 (81) 12(8112/1)1 ()21 ()21 (3)21 (3)21 ()2(81)21 ()2(341)21 (2321)21 ()281)241)2(21)2(3 , 02/10)1 ()(tttBtttttttttttttttttBtBtBtBtttB右端（右端左端223233,13,0223223223,33,23,123,11)1(3)1)(12(3)1(3)12(1)(12(341)12(1(83)12(41)12(8312/1)1(3)21(33)21(6)21(3)2(83)21()2(321)21(2321)283)221)

57、2(212/10)1(3)(tttttttttBtBtttttttttttttttttBtBtBttttBP右端（右端左端的系數(shù)： 設(shè)己知三次設(shè)己知三次BezierBezier曲線曲線P(P(t t) )的控制頂點(diǎn)是的控制頂點(diǎn)是P P0 0，P P1 1，P P2 2，P P3 3，在在P( )P( )處將曲線分為兩段，求出前半段的控制頂點(diǎn)處將曲線分為兩段，求出前半段的控制頂點(diǎn)Q Q0 0，Q Ql l，Q Q2 2，Q Q3 3和后半段的控制頂點(diǎn)和后半段的控制頂點(diǎn)R R0 0，R R1 1，R R2 2，R R3 3，。有算法如下，。有算法如下2 21 1void split_Bezier(

58、Point P)Point R4,Q4;int i,j;for(i=0;i=3;i+)Ri=Pi; for(i=0;i=2;i+) Qi=R0; for(j=0;j=2-i;j+) Rj.x=(Rj.x+Rj+1.x)/2;/分別對(duì)相鄰兩控制點(diǎn)間的線段進(jìn)行分裂分別對(duì)相鄰兩控制點(diǎn)間的線段進(jìn)行分裂 Rj.y=(Rj.y+Rj+1.y)/2; Q3=R0; 分裂算法的計(jì)算分裂算法的計(jì)算 ) ) )P PP P , ,d d( (P P) ), ,P PP P , ,m ma ax x( (d d( (P P) )P PP Pd d( (P P( (t t) ), ,3 30 02 23 30 01

59、13 30 0分裂中止的條件：分裂中止的條件：max(d(P1，P0P3)，d(P2，P0P3)void new_split_Bezier(Point P) Point R4,Q4;int i,j;const double epsilon=0.01;if (maxdistance(P)epsilon) /*maxdistance(P)為求為求max(d(P1,P0P3)，d(P2,P0P3)的函數(shù)的函數(shù)*/ MoveTo(P0.x,P0.y); LineTo(P3.x,P3.y); else for(i=0;i=3;i+) Ri=Pi; for(i=0;i=2;i+) Qi=R0;for(j=

60、0;j=2-i;j+)Rj.x=(Rj.x+Rj+1.x)/2; Rj.y=(Rj.y+Rj+1.y)/2; Q3=R0; new_split_Bezier(Q);new_split_Bezier(R); 舉例舉例：三次：三次BezierBezier曲線光滑拼接的條件曲線光滑拼接的條件 P P0 0P P1 1P P2 2P P3 3和和Q Q0 0Q Ql lQ Q2 2Q Q3 3，兩個(gè)，兩個(gè)bezierbezier多邊形多邊形曲線在連接點(diǎn)處曲線在連接點(diǎn)處C C0 0連續(xù)連續(xù)的條件是的條件是P P3 3=Q=Q0 0 曲線在連接點(diǎn)處曲線在連接點(diǎn)處G G1 1連續(xù)，連續(xù)，QQ0 0= =a