高中必修15錯誤解題分析系列《10.1導數(shù)及其運算》

1、§10.1導數(shù)及其運算一、知識導學1.瞬時變化率：設函數(shù)在附近有定義，當自變量在附近改變量為時，函數(shù)值相應地改變，如果當趨近于0時，平均變化率趨近于一個常數(shù)c（也就是說平均變化率與某個常數(shù)c的差的絕對值越來越小，可以小于任意小的正數(shù)），那么常數(shù)c稱為函數(shù)在點的瞬時變化率。2.導數(shù)：當趨近于零時，趨近于常數(shù)c?？捎梅枴啊庇涀鳎寒敃r，或記作，符號“”讀作“趨近于”。函數(shù)在的瞬時變化率，通常稱作在處的導數(shù)，并記作。3.導函數(shù)：如果在開區(qū)間內每一點都是可導的，則稱在區(qū)間可導。這樣，對開區(qū)間內每個值，都對應一個確定的導數(shù)。于是，在區(qū)間內，構成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)的導函數(shù)。記為

2、或（或）。4.導數(shù)的四則運算法則：1）函數(shù)和（或差）的求導法則：設，是可導的，則即，兩個函數(shù)的和（或差）的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和（或差）。2）函數(shù)積的求導法則：設，是可導的，則即，兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)。3）函數(shù)的商的求導法則：設，是可導的，則5.復合函數(shù)的導數(shù):設函數(shù)在點處有導數(shù),函數(shù)在點的對應點處有導數(shù),則復合函數(shù)在點處有導數(shù),且.6.幾種常見函數(shù)的導數(shù)： (1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)二、疑難知識導析 1.導數(shù)的實質是函數(shù)值相對于自變量的變化率2.運用復合函數(shù)的求導法則,應注意以下幾點（1

3、）利用復合函數(shù)求導法則求導后,要把中間變量換成自變量的函數(shù),層層求導.(2) 要分清每一步的求導是哪個變量對哪個變量求導，不能混淆，一直計算到最后，常出現(xiàn)如下錯誤，如實際上應是。(3) 求復合函數(shù)的導數(shù)，關鍵在于分清楚函數(shù)的復合關系，選好中間變量，如選成，計算起來就復雜了。3.導數(shù)的幾何意義與物理意義導數(shù)的幾何意義，通常指曲線的切線斜率.導數(shù)的物理意義，通常是指物體運動的瞬時速度。對導數(shù)的幾何意義與物理意義的理解，有助于對抽象的導數(shù)定義的認識，應給予足夠的重視。4.表示處的導數(shù)，即是函數(shù)在某一點的導數(shù)；表示函數(shù)在某給定區(qū)間內的導函數(shù)，此時是在上的函數(shù)，即是在內任一點的導數(shù)。5.導數(shù)與連續(xù)的關系

4、若函數(shù)在處可導，則此函數(shù)在點處連續(xù)，但逆命題不成立，即函數(shù)在點處連續(xù)，未必在點可導，也就是說，連續(xù)性是函數(shù)具有可導性的必要條件，而不是充分條件。6.可以利用導數(shù)求曲線的切線方程由于函數(shù)在處的導數(shù)，表示曲線在點處切線的斜率，因此，曲線在點處的切線方程可如下求得：（1）求出函數(shù)在點處的導數(shù)，即曲線在點處切線的斜率。（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為：，如果曲線在點的切線平行于軸（此時導數(shù)不存在）時，由切線定義可知，切線方程為.三、經典例題導講例1已知,則.錯因：復合函數(shù)求導數(shù)計算不熟練,其與系數(shù)不一樣也是一個復合的過程,有的同學忽視了,導致錯解為:.正解：設,則.例2已知函數(shù)判

5、斷f(x)在x=1處是否可導？錯解：。分析：分段函數(shù)在“分界點”處的導數(shù)，須根據(jù)定義來判斷是否可導 . 解： f(x)在x=1處不可導.注：，指逐漸減小趨近于0；，指逐漸增大趨近于0。點評：函數(shù)在某一點的導數(shù)，是一個極限值，即，x0，包括x0，與x0，因此，在判定分段函數(shù)在“分界點”處的導數(shù)是否存在時，要驗證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定這點存在導數(shù)，否則不存在導數(shù).例3求在點和處的切線方程。錯因：直接將，看作曲線上的點用導數(shù)求解。分析：點在函數(shù)的曲線上，因此過點的切線的斜率就是在處的函數(shù)值；點不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導數(shù)求值，要通過設切點的方法求切線解：即過點

6、的切線的斜率為4，故切線為：設過點的切線的切點為，則切線的斜率為，又，故，。即切線的斜率為4或12，從而過點的切線為：點評： 要注意所給的點是否是切點若是，可以直接采用求導數(shù)的方法求；不是則需設出切點坐標例4求證：函數(shù)圖象上的各點處切線的斜率小于1，并求出其斜率為0的切線方程.分析： 由導數(shù)的幾何意義知，要證函數(shù)的圖象上各點處切線的斜率都小于1，只要證它的導函數(shù)的函數(shù)值都小于1，因此，應先對函數(shù)求導后，再進行論證與求解. 解：（1），即對函數(shù)定義域內的任一，其導數(shù)值都小于，于是由導數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)圖象上各點處切線的斜率都小于1.（2）令，得，當時，；當時，曲線的斜率為0的切線有兩條，其切

7、點分別為與，切線方程分別為或。點評：在已知曲線 切線斜率為的情況下，要求其切線方程，需要求出切點，而切點的橫坐標就是的導數(shù)值為時的解，即方程的解，將方程的解代入就可得切點的縱坐標，求出了切點坐標即可寫出切線方程，要注意的是方程有多少個相異實根，則所求的切線就有多少條. 例5（02年高考試題）已知，函數(shù)，設，記曲線在點處的切線為 . （1）求 的方程； （2）設 與 軸交點為，求證： ；若，則分析：本題考查導數(shù)的幾何意義，利用其求出切線斜率，導出切線方程 . 解：（1）切線的方程為即.（2）依題意，切線方程中令y=0得， 由知，例6求拋物線 上的點到直線的最短距離. 分析：可設 為拋物線上任意一點，則可把點到直線的距離表示為自變量的函數(shù)，然后求函數(shù)最小值即可，另外，也可把直線向靠近拋物線方向平移，當直線與拋物線相切時的切點到直線的距離即為本題所求. 解：根據(jù)題意可知，與直線 xy2=0平行的拋物線y=x2的切線對應的切點到直線xy2=0的距離最短，設切點坐標為（），那么, 切點坐標為，切點到直線xy2=0的距離， 拋物線上的點到直線的最短距離為.四、典型習題導練1.函數(shù)在處不可導，則過點處，曲線的切線（ ） A必不存在B必定存在 C必與x軸垂直 D不同于上面結論2.在點x=3處的導數(shù)是_.3.已知，