高中數(shù)學(xué)必修一課標(biāo)解讀

1、高中數(shù)學(xué)必修四課標(biāo)解讀李濤 陜西師大附中 71006119世紀(jì)末，德國數(shù)學(xué)家康托創(chuàng)立了集合論。高中課程并不涉及集合論理論。但是集合論中使用的集合語言成為近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言之一。本模塊將學(xué)習(xí)集合的一些基本知識，學(xué)習(xí)用集合語言描述函數(shù)概念，表示數(shù)學(xué)對象，借以發(fā)展學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言進行交流的能力。 函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)的核心概念之一。 運用函數(shù)的思想方法可以構(gòu)造描述客觀世界的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)的基礎(chǔ)知識在現(xiàn)實生活、科技、經(jīng)濟和許多學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。標(biāo)準(zhǔn)對函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的要求和處理，與以往相比有所變化，我們將對這些變化作出相應(yīng)的說明。1 教育價值1.1發(fā)展學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、進行交流的能力數(shù)學(xué)科

2、學(xué)具有豐富的內(nèi)涵， 包括數(shù)學(xué)理論、思想、方法、以及在其他科學(xué)中的廣泛應(yīng)用。 其中一個重要的方面是運用數(shù)學(xué)語言將數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表示出來。 因此， 在這個意義上，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)一種有特定涵義的形式化語言，以及用這種形式化語言去表述、解釋、解決各種問題。以上一句改為：作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言重要組成部分的集合語言， 可以簡潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對象和結(jié)構(gòu)。學(xué)生在小學(xué)和初中已接觸了集合，如：自然數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集等等，只是沒有明確提出來，現(xiàn)在明確提出來，就要利用和結(jié)合學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容，以及生活中的實例，使學(xué)生感受集合語言在描述客觀世界中具有某種特性的對象、在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用。比如，我們可

3、以利用集合的語言表示方程的解集， 也可以運用并集、交集的方法表示不等式的解集。 這種表示十分簡潔、明確。還有，我們可以用集合語言方便地表示平面上以原點為圓心的單位圓周和單位圓面，等等。有利于學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言來刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和幾何形式， 提高運用數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、進行交流的能力。1.2發(fā)展學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識這一模塊的學(xué)習(xí)應(yīng)關(guān)注發(fā)展學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識。通過本模塊的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生認(rèn)識到：由于我們生活在充滿變化的現(xiàn)實世界中，經(jīng)?？梢钥吹揭活惙从尺\動變化的數(shù)量關(guān)系一個變量隨另一個變量的變化而變化，例如：火車票的票價隨里程數(shù)而變化，衛(wèi)星離地面的距離隨時間而變化，家庭的電費隨該家庭的用電量而變化

4、，在改革開放的國策下，我國居民的平均收入隨時間在不斷的增加，我國國土的綠化面積隨時間在不斷增加等等。這一類反映運動變化的關(guān)系有一個共同點，這就是：變量之間有一種相互依賴的關(guān)系，可以從某一事物的變化信息推知另一事物的變化信息，這種認(rèn)識事物的思想方法在我們周圍、在各學(xué)科中隨處可見。數(shù)學(xué)上用函數(shù)來描述這種運動變化中的數(shù)量關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生:把函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型來學(xué)習(xí)；結(jié)合實際問題，感受運用函數(shù)概念建立模型的過程與方法，強調(diào)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類不同的函數(shù)增長模型；收集函數(shù)模型的應(yīng)用實例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用；利用信息技術(shù)探索和了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律和性質(zhì)

5、；將函數(shù)的思想方法貫穿在整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，不斷加深對函數(shù)概念本質(zhì)的認(rèn)識和理解。所有這些，都是為了有利于學(xué)生對這一特定的、重要的變量之間關(guān)系的認(rèn)識，為了有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間聯(lián)系的認(rèn)識，最終達(dá)到發(fā)展學(xué)生對變量數(shù)學(xué)認(rèn)識的目的。2 內(nèi)容的要求和具體處理的建議2.1集合本模塊對集合的定位是將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生學(xué)會用集合語言簡潔、準(zhǔn)確地表示數(shù)學(xué)對象，提高用數(shù)學(xué)語言進行表達(dá)和交流的能力。符號化、形式化是數(shù)學(xué)的一個顯著特點。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的任務(wù)之一，就是學(xué)習(xí)用形式化語言去表述、解釋、解決各種問題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常要通過語義轉(zhuǎn)換將一個用自然語言表述的問題轉(zhuǎn)換為用形式語言表述的問題， 或者

6、反過來。 解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題， 往往難在把一個問題寫成一個用文字符號寫成的方程式。 因此，語義轉(zhuǎn)換能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的重要一環(huán)。在集合語言的學(xué)習(xí)中，標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生能針對具體問題，恰當(dāng)?shù)剡x擇用自然語言、或圖形語言、或集合語言（列舉法或描述法）去表示相應(yīng)問題的數(shù)學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語義轉(zhuǎn)換的能力。例如，對于用自然語言描述的問題：“某年級先后舉行數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科的競賽活動，其中有75人參加數(shù)學(xué)競賽，68人參加物理競賽，61人參加化學(xué)競賽。17人同時參加數(shù)學(xué)、物理競賽，12人同時參加數(shù)學(xué)、化學(xué)競賽，9人同時參加物理、化學(xué)競賽，還有6人三科都參加。求參加競賽的人數(shù)?！?如果我們分別用表

7、示參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)比賽的學(xué)生組成的集合，再用圖形語言來表示上述問題中的關(guān)系。那么，這一問題的解決會變得很容易了。當(dāng)然，有時為了考查學(xué)生對集合描述法的理解時，也可以要求學(xué)生對用描述法給出的集合用自然語言來表述。例如。讓學(xué)生用自然語言來說出集合與集合所確定的對象分別是什么？ 2.2關(guān)于函數(shù)概念處理方式的變化及變化的理由標(biāo)準(zhǔn)對函數(shù)概念處理方式是強調(diào)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中一類重要變化規(guī)律（運動變化）的模型，一種通過某一事物的變化信息可相應(yīng)地推知另一事物信息的數(shù)學(xué)模型。為此， 可以結(jié)合實際問題，感受運用函數(shù)概念建立模型的過程與方法。標(biāo)準(zhǔn)還強調(diào)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類不同的函數(shù)增長（或減少）的模

8、型。在教學(xué)中，要求通過收集函數(shù)模型的應(yīng)用實例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用；并且將函數(shù)的思想方法貫穿在整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中。函數(shù)概念的認(rèn)識和掌握需要學(xué)生多次反復(fù)以加深理解。2.3加強了哪些方面的內(nèi)容加強了函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型的要求加強函數(shù)模型背景和應(yīng)用的要求，不僅是高中課程目標(biāo)的要求，而且是反映數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展過程，從而使學(xué)生更好地認(rèn)識數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)價值的需要，同時也是出于對學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的考慮。標(biāo)準(zhǔn)在課程目標(biāo)中的第一條就明確指出：“獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，以及他們在后繼學(xué)習(xí)中的作用?！?對于“函數(shù)”

9、這一高中數(shù)學(xué)的核心概念，應(yīng)該做到：使學(xué)生通過豐富的實例，進一步體會函數(shù)是描述因變量隨自變量而變化的重要數(shù)學(xué)模型；讓學(xué)生通過具體實例去了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景、去了解對數(shù)函數(shù)模型的實際背景；讓學(xué)生通過實例去體會、認(rèn)識直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型的增長含義；要求學(xué)生通過各種活動，收集現(xiàn)實生活中普遍存在的變量依存關(guān)系，親自經(jīng)歷構(gòu)作函數(shù)模型的過程，體會函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。加強了知識之間的聯(lián)系。 這種聯(lián)系包括與方程、不等式、算法等內(nèi)容的橫向聯(lián)系，以及在整個高中數(shù)學(xué)中多次接觸，反復(fù)體會，螺旋上升學(xué)習(xí)函數(shù)的縱向聯(lián)系。加強知識之間這些聯(lián)系的主要原因有兩個：一是高中數(shù)學(xué)是以模塊形式呈現(xiàn)的，而數(shù)學(xué)

10、各分支有其自身的體系，各分支間又有有機的聯(lián)系。因此，溝通各模塊之間的聯(lián)系，使學(xué)生體會知識間的有機聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)分支自身的體系，對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)的整體性就顯得尤為重要。例如，標(biāo)準(zhǔn)要求結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的的近似解，為下面的算法學(xué)習(xí)作一些準(zhǔn)備，等等。二是對函數(shù)這一概念的真正理解、掌握和運用是需要有一個過程的。如：為什么初中學(xué)了函數(shù)現(xiàn)在還要學(xué)習(xí)函數(shù)？為什么要明確函數(shù)的構(gòu)成要素？為什么要用集合對應(yīng)的語言來定義函數(shù)？為什么要引進函數(shù)記號？說到函數(shù)時，你想到了什么？看到函數(shù)記

11、號你又想到些什么？能回答好這些問題，必須有一個多次接觸，反復(fù)體會，螺旋上升、逐步加深認(rèn)識和理解的過程。加強了對數(shù)形結(jié)合、幾何直觀等數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的要求數(shù)形結(jié)合、幾何直觀等數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要思想方法，他們對于理解數(shù)學(xué)、對于數(shù)學(xué)的思考和學(xué)習(xí)都是十分重要的。而函數(shù)這一內(nèi)容是學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合、幾何直觀等數(shù)學(xué)思想方法很好的載體。 函數(shù)的圖象教學(xué)， 應(yīng)當(dāng)放在重要的位置。 繪制函數(shù)的比較精確的圖象和通過圖形解讀數(shù)學(xué)信息，是一項基本的數(shù)學(xué)技能。加強了與信息技術(shù)整合的要求標(biāo)準(zhǔn)在這一部分的有關(guān)內(nèi)容中，明確指出了要運用信息技術(shù)進行教學(xué)。首先是進行計算。 例如體會指數(shù)函數(shù)增加的速度， 需要用科學(xué)計計算

12、器進行計算。 這也是高中階段第一次使用計算器的章節(jié)。 教師應(yīng)該幫助學(xué)生學(xué)習(xí)使用函數(shù)型計算器。其次， 要能借助計算器或計算機畫出具體函數(shù)的圖象，探索并理解函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；會用計算器求相應(yīng)方程的的近似解（用二分法等）。第三。 用計算機技術(shù)展示各種函數(shù)的圖象，加強幾何直觀， 增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 例如， 隨便你寫出怎樣的函數(shù)， 計算機都會畫出相應(yīng)的圖象。 這些都體現(xiàn)了加強與信息技術(shù)整合的要求。2.4削弱了哪些方面的內(nèi)容削弱了對定義域、值域的過于繁、難的，尤其是人為的過于技巧化的訓(xùn)練，目的是為了使學(xué)生更好地理解函數(shù)的基本思想和實質(zhì)。對反函數(shù)的概念和函數(shù)的奇、偶性有所削弱。 反函數(shù)的概念不求一般的

13、處理，只要求知道指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（互為反函數(shù)；將復(fù)合函數(shù)概念放到“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的相關(guān)內(nèi)容中；此外，對于對數(shù)函數(shù)內(nèi)容的要求也有所降低（如換底公式的要求）。2.5指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)處理上的變化突出指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是現(xiàn)實世界中的重要數(shù)學(xué)模型，強調(diào)它們的實際背景和應(yīng)用價值。例如，要求通過具體實例去了解指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型的實際背景；通過收集現(xiàn)實生活中普遍使用的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的模型實例去了解他們的廣泛應(yīng)用；強調(diào)通過計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增長的差異，以及作為不同的函數(shù)增長模型的應(yīng)用；等等。這一變化同樣是為了力求使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是對知識的學(xué)習(xí)、理解和掌握，更要體現(xiàn)以知識為載體

14、的育人的價值，使學(xué)生更好地認(rèn)識數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值，認(rèn)識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活、與其他學(xué)科的密切聯(lián)系，數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，等等。3內(nèi)容說明與建議建議先講函數(shù)，再講映射。這樣處理能與初中已學(xué)習(xí)的函數(shù)內(nèi)容有一個較為自然的銜接，也符合從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律。 在教學(xué)中，要重視圖形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，挖掘函數(shù)圖形對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，對數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)思考的功能。我們可以經(jīng)常提出這樣一些問題：從函數(shù)圖象中你“看到了”什么？發(fā)現(xiàn)了什么？有什么聯(lián)想？等等。當(dāng)然，我們也要注意幾何直觀的局限性，以及用幾何直觀代替邏輯證明的錯誤做法。在函數(shù)教學(xué)中，要力求使學(xué)生感受與初中所學(xué)函數(shù)內(nèi)容之間自然的銜接和再次學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性，通過典型例子、適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式、適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)組織形式，為進一步學(xué)習(xí)函數(shù)作一些準(zhǔn)備。注意不要作過分強調(diào)細(xì)支末節(jié)的講解和訓(xùn)練，避免人為地編制一些繁難的偏題。如對集合中的“三性”（確定性、無序性、互異性）的講解和訓(xùn)