北師大版高中數(shù)學(xué)必修5-第3章單元綜合復(fù)習(xí)：不等式的應(yīng)用

1、1.不等式理論的應(yīng)用主要體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面不等式理論的應(yīng)用主要體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面:（1）運(yùn)用不等式研究函數(shù)問題（定義域）運(yùn)用不等式研究函數(shù)問題（定義域,值域值域,最值最值,單調(diào)性）單調(diào)性）;（2）運(yùn)用不等式研究方程解的問題）運(yùn)用不等式研究方程解的問題;（3）利用函數(shù)性質(zhì)及方程理論研究不等式問題）利用函數(shù)性質(zhì)及方程理論研究不等式問題.諸如方程的根諸如方程的根分布問題分布問題,解集之間的包含關(guān)系解集之間的包含關(guān)系,解析幾何中的范圍問題等等解析幾何中的范圍問題等等.2.不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用是指用不等式解決生產(chǎn)不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用是指用不等式解決生產(chǎn),科研和日常生活中的問題科研和日常生活中的問

2、題.特別警示特別警示:【1】運(yùn)用不等式求最值運(yùn)用不等式求最值,要注意公式成立的三個(gè)要注意公式成立的三個(gè)條件條件,如果取等號(hào)的條件不成立如果取等號(hào)的條件不成立,就要考慮用函數(shù)的單調(diào)性來解就要考慮用函數(shù)的單調(diào)性來解決決.【2】解決取值范圍問題時(shí)解決取值范圍問題時(shí),要注意主變量要注意主變量,參變量的分離參變量的分離,并注意區(qū)別恒成立并注意區(qū)別恒成立,存在性問題的區(qū)別存在性問題的區(qū)別【3】應(yīng)用不等式解應(yīng)用題時(shí)應(yīng)用不等式解應(yīng)用題時(shí),應(yīng)弄清題意根據(jù)題意列出不應(yīng)弄清題意根據(jù)題意列出不等式或函數(shù)式等式或函數(shù)式,再利用不等式的知識(shí)求解再利用不等式的知識(shí)求解.為此為此,解應(yīng)用題要解應(yīng)用題要過四關(guān)過四關(guān):首先是首先

3、是閱讀關(guān)閱讀關(guān),即讀懂題目即讀懂題目,能夠概括出問題涉及能夠概括出問題涉及哪些內(nèi)容哪些內(nèi)容;其次是其次是理解關(guān)理解關(guān),即能準(zhǔn)確理解和把握這些量之即能準(zhǔn)確理解和把握這些量之間的關(guān)系間的關(guān)系;然后建立數(shù)學(xué)模型然后建立數(shù)學(xué)模型,再討論不等關(guān)系再討論不等關(guān)系;最后得出結(jié)最后得出結(jié)論論.本節(jié)課我們來討論如何應(yīng)用不等式解決實(shí)際應(yīng)用問題本節(jié)課我們來討論如何應(yīng)用不等式解決實(shí)際應(yīng)用問題:例例1某住宅小區(qū)為了使居民有一個(gè)舒適的生活環(huán)境某住宅小區(qū)為了使居民有一個(gè)舒適的生活環(huán)境,計(jì)劃建一計(jì)劃建一個(gè)八邊形的休閑小區(qū)個(gè)八邊形的休閑小區(qū),它的主體構(gòu)造的平面圖形是由兩個(gè)矩形它的主體構(gòu)造的平面圖形是由兩個(gè)矩形ABCD,EFGH

4、構(gòu)成的面積為構(gòu)成的面積為200平方米的十字架地域現(xiàn)計(jì)平方米的十字架地域現(xiàn)計(jì)劃在正方形上建造一花壇造價(jià)為劃在正方形上建造一花壇造價(jià)為4200元平米，在元平米，在四個(gè)相同的矩形上（陰影）鋪花崗地坪，造價(jià)為四個(gè)相同的矩形上（陰影）鋪花崗地坪，造價(jià)為210元平元平米，在四個(gè)空角鋪草坪，造價(jià)為米，在四個(gè)空角鋪草坪，造價(jià)為80元平米元平米（）設(shè)總造價(jià)為（）設(shè)總造價(jià)為S元，元，AD的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為X（m）試建立）試建立S關(guān)關(guān)于于X的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式；（）計(jì)劃至少要投資多少元，才能建造這個(gè)休閑小區(qū)？（）計(jì)劃至少要投資多少元，才能建造這個(gè)休閑小區(qū)？分析分析：解：（）設(shè)解：（）設(shè)AM=y則則2220042

5、00,4xxxyyx-+=()22221420021048024000003800040000102Sxxyyxxx=+=+（2）282400000380004000380002 16 10118000Sxx=+=當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)224000004000 xx=答：計(jì)劃至少要投資答：計(jì)劃至少要投資11.8萬元才能建造這樣的休閑小區(qū)萬元才能建造這樣的休閑小區(qū)即時(shí)即時(shí)10 x =( )min118000S=元 例例2、甲、乙兩電腦批發(fā)商每次在同一電腦耗材廠甲、乙兩電腦批發(fā)商每次在同一電腦耗材廠以相同價(jià)格購進(jìn)電腦芯片。甲、乙兩公司共購芯片兩次，以相同價(jià)格購進(jìn)電腦芯片。甲、乙兩公司共購芯片兩次，每次的

6、芯片價(jià)格不同，甲公司每次購每次的芯片價(jià)格不同，甲公司每次購10000片芯片，乙片芯片，乙公司每次購公司每次購10000元芯片，兩次購芯片，哪家公司平均元芯片，兩次購芯片，哪家公司平均成本低？請(qǐng)給出證明過程。成本低？請(qǐng)給出證明過程。分析：分析：設(shè)第一、第二次購芯片的價(jià)格分別為每片設(shè)第一、第二次購芯片的價(jià)格分別為每片a元和元和b元，列元，列出甲、乙兩公司的平均價(jià)格，然后利用不等式知識(shí)論證。出甲、乙兩公司的平均價(jià)格，然后利用不等式知識(shí)論證。解：解：設(shè)第一、第二次購芯片的價(jià)格分別為每片設(shè)第一、第二次購芯片的價(jià)格分別為每片a元和元和b元，元，,22000010000片元的平均價(jià)格為那么甲公司兩次購芯片b

7、aba,112100001000020000片元均價(jià)格為乙公司兩次購芯片的平baba,2故等號(hào)不成立不相等由于baabbaabbaba211211又abba112答：乙答：乙 公司平均成本較低。公司平均成本較低。例3、某城市出租車公司有兩種計(jì)費(fèi)方案可供乘客選擇：第一種方案，某城市出租車公司有兩種計(jì)費(fèi)方案可供乘客選擇：第一種方案，租用起步價(jià)租用起步價(jià)a元，每千米價(jià)為元，每千米價(jià)為b元的出租車；第二種方案，起步價(jià)為元的出租車；第二種方案，起步價(jià)為c(ca)元，但每千米價(jià)增加元，但每千米價(jià)增加0.1元的出租車，按出租車管理?xiàng)l例，在起步價(jià)內(nèi)，元的出租車，按出租車管理?xiàng)l例，在起步價(jià)內(nèi)，不同型號(hào)行駛的里程

8、是相等的，則乘客應(yīng)如何根據(jù)不同情況選用兩種方不同型號(hào)行駛的里程是相等的，則乘客應(yīng)如何根據(jù)不同情況選用兩種方案中的一種？案中的一種？分析：設(shè)起步價(jià)內(nèi)行駛里程為設(shè)起步價(jià)內(nèi)行駛里程為n千米，該城內(nèi)從千米，該城內(nèi)從A地到地到B地的行駛距離為地的行駛距離為m千米，千米，分分m與與n情況討論。情況討論。解：解：設(shè)起步價(jià)內(nèi)行駛里程為設(shè)起步價(jià)內(nèi)行駛里程為n千米，乘客租車行駛距離為千米，乘客租車行駛距離為m千米。千米。;)(,元比較合適選起步價(jià)最低為時(shí)當(dāng)accnm 則元用為乘客按方案二的租車費(fèi)元租車費(fèi)用為乘客按方案一的程為超過起步價(jià)規(guī)定的行設(shè)時(shí)當(dāng),),0(,21xPxPxxxnmnm xbcxPxbaxP1 .

9、 0,21 ,),(10,) 1 . 0(,21選此時(shí)兩種租車方案可任即令caxxbcbxaxPxP ,)(1021元的出租車合適此時(shí)選起步價(jià)為時(shí)當(dāng)axPxPcax .,)(1021元的出租車合適此時(shí)選起步價(jià)為時(shí)當(dāng)cxPxPcax例4、建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于百分之十，并且這個(gè)比越大，住宅準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于百分之十，并且這個(gè)比越大，住宅的采光條件越好，問同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條的采光條件越好，問同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅

10、的采光條件是變好了還是變壞了？件是變好了還是變壞了？分析：設(shè)原住宅窗戶面積和地板面積分別為設(shè)原住宅窗戶面積和地板面積分別為x,y,同時(shí)增加的面積為同時(shí)增加的面積為a,依題意依題意列出關(guān)系式再利用不等式證明知識(shí)進(jìn)行說明。列出關(guān)系式再利用不等式證明知識(shí)進(jìn)行說明。解：設(shè)原住宅窗戶面積和地板面積分別為設(shè)原住宅窗戶面積和地板面積分別為x,y,同時(shí)增加的面積為同時(shí)增加的面積為a，,10 xy 則由題設(shè)知原采光比為,yx增大面積后的采光比為,ayax為比較采光比的大小，為比較采光比的大小，,ayyxyaayyayxaxyyxayax由因?yàn)橐驗(yàn)閤,y,a都是正數(shù)，且都是正數(shù)，且x0,y-x0yxayaxmyy

11、xya即, 0故采光條件變好了。故采光條件變好了。例5APBHba如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學(xué)生如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學(xué)生的水平視線上方的水平視線上方a米和米和b米，問學(xué)生距離墻壁多遠(yuǎn)時(shí)看黑板的視角米，問學(xué)生距離墻壁多遠(yuǎn)時(shí)看黑板的視角最大？最大？則學(xué)生看黑板的視角為其中的夾角分別為水平視線下邊緣與學(xué)生的黑板上米距黑板設(shè)學(xué)生解,:BPHAPHPHxP,tan,tan由此可得由xbxaxabxbaxabxbxa21tantan1tantantan,tan,22最大時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)因?yàn)閍bxabxabxxabx,為銳角由于,最大此時(shí).時(shí)看黑板的視角最

12、大即學(xué)生距墻壁 ab例例6、 某縣一中計(jì)劃把一塊邊長(zhǎng)為某縣一中計(jì)劃把一塊邊長(zhǎng)為20米的等邊三角形米的等邊三角形ABC的邊角地辟為的邊角地辟為植物新品種實(shí)驗(yàn)基地，圖中植物新品種實(shí)驗(yàn)基地，圖中DE需把基地分成面積相等的兩部分，需把基地分成面積相等的兩部分，D在在AB上，上，E在在AC上。上。 （1） 設(shè)設(shè)AD=x(x10)，ED=y，試用，試用x表示表示y的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式； （2） 如果如果DE是灌溉輸水管道的位置，為了節(jié)約，則希望它最短，是灌溉輸水管道的位置，為了節(jié)約，則希望它最短，DE的位置應(yīng)該在哪里？如果的位置應(yīng)該在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長(zhǎng)，是參觀線路，則希望它最長(zhǎng)，

13、DE的位置又應(yīng)的位置又應(yīng)該在哪里？說明現(xiàn)由。該在哪里？說明現(xiàn)由。分析分析要求要求y與與x的函數(shù)關(guān)系式，就是找出的函數(shù)關(guān)系式，就是找出DE與與AD的等量關(guān)系。的等量關(guān)系。（1）三角形）三角形ADE中角中角A為為600 故由余弦定理可得故由余弦定理可得y、x、AE三者關(guān)系。三者關(guān)系。ABCADESS21（2）解：（解：（I）ABC的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為20米，米，D在在AB上，則上，則10 x20。220432160sin2121AExSsABCADE則則.200 xAE 在三角形在三角形ADE中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：)2010(200104242xxxy(2)若若DE做為輸水管道，則需求做為輸水管道，則需求y的最小值的最小值,210104,210200400200104242242時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)xxxxxy若若DE做為參觀線路，須求做為參觀線路，須求y的最大值。的最大值。200104,400,10042ttytx令令設(shè)設(shè),400100,104)(214tttttf任取214212124214121104)()104()104()()(t tt tttttt