數(shù)學文化欣賞19859

1、數(shù)學是什么？數(shù)學是什么？“在進入大學前的十載歲月里，我未接觸到應試數(shù)學的半點光彩。我們始終向著高考這個終點在一程程地接力跑，手中的接力棒是學校里所學的基礎(chǔ)數(shù)學知識。當我們抵達終點時，盡情享受勝利的喜悅，而那比賽中象征傳遞延續(xù)的接力棒則早已被人遺忘。這就是我所學的數(shù)學，為分數(shù)而做、為功利而學為分數(shù)而做、為功利而學?！?（英語系）“隨著年齡的增長，學習的深入，在我對數(shù)學的興趣中漸漸滲入了一種叫做恐懼與無助的滋味。數(shù)學題目的解出與否不再是無關(guān)緊要的事情，它關(guān)乎一場考試的成敗，甚至是人生的成敗。于是，我感到了壓力，在經(jīng)過了無數(shù)場機械化的操練、在經(jīng)歷無數(shù)場考試、在做遍千萬份試卷后，數(shù)學對我而言，終于成為

2、數(shù)學對我而言，終于成為了一項任務了一項任務，還有一些厭惡還有一些厭惡。” （日語系 ） 王蒙王蒙回想童年時代花的時間一大部分用在做數(shù)學題上，這些數(shù)學知識此后直接用到的很少，但是數(shù)學的學習對于我的思維的訓練卻是及其有益的。時隔半個多世紀了，有時看到上中學的孫子有數(shù)學題做不上來，我仍然喜歡拿到一邊去做，與我上數(shù)學課的時間已經(jīng)相隔半個多世紀了，多數(shù)情況下我仍能做出來，并從中得到極大的快樂快樂。如果你想當經(jīng)濟學家，藥學家，化學家， 數(shù)學是統(tǒng)計分析工具你想當物理學家，數(shù)學是微積分你想當計算機專家，數(shù)學是算法語言你想當建筑學家，數(shù)學是幾何三視圖你想當數(shù)學家，數(shù)學就是你的世界如果你不幸什么都當不了，小心數(shù)學

3、就是你的克星!數(shù)學學什么？數(shù)學學什么？古希臘：古希臘：-“萬物皆數(shù)萬物皆數(shù)”畢達哥拉斯學派畢達哥拉斯學派一， 他把【證明】這個概念引入了數(shù)學。證明現(xiàn)在普遍被看做是數(shù)學最基本的精神，我們甚至很難想像先于數(shù)學推理的階段是什么。 二， 他意識到了無理數(shù)的存在。當然，他不知道“無理數(shù)”這個稱呼，他也無可抑制的對這個他無法控制的數(shù)感到惱火-自然他也就避開了它。偉大的畢達哥拉斯 畢達哥拉斯：古希臘數(shù)學家，公元前580至公元前497，青年的他游歷許多地方，并到埃及印度留學。他深入民間收集點點滴滴的數(shù)學知識，最后學有所成并形成一個學派，史稱畢達哥拉斯學派，對數(shù)學，天文學有巨大貢獻。畢達哥拉斯學派認為任何數(shù)都可

4、以表達成二個整數(shù)的商，即任意數(shù)都是可以度量的。萬物皆數(shù) 他們把線段的長度看作是線段鎖包含的原子數(shù)目，因而任意兩條線段長度之比就是它們各自原子數(shù)之比。 由此觀點出發(fā)，畢氏研究了音樂美術(shù)天文地理。 應用在數(shù)學上，從埃及的黃金三角形（各邊之比為3：4：5）發(fā)現(xiàn)5：12：13，8：15：17，這就是中國說的“勾股定理” 它們只相信直角三角形的三邊之比都應該是整數(shù)比 畢氏的學生、學者希帕索斯發(fā)現(xiàn)直角三角形直角邊都取1，則斜邊就不可度量，與畢氏理論產(chǎn)生矛盾 畢氏也發(fā)現(xiàn)不可通約量的存在 學派進入兩難境地，學派內(nèi)部所有成員立誓保密，因而無理數(shù)有個外號“不可說”（Alogon) 希帕索斯說了，學派就此開始瓦解。

5、 學派解決矛盾的方法是把希帕索斯拋進愛琴海喂魚 。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學危機。 大約公元前世紀，不可通約量的發(fā)現(xiàn)大約公元前世紀，不可通約量的發(fā)現(xiàn) 畢達哥拉斯悖論畢達哥拉斯悖論 當然真理是畢達哥拉斯無法扔到愛琴海喂魚的，之后100年，柏拉圖的學生用公理化的辦法處理了這個問題。但是不知道是因為數(shù)學家也害怕被扔到愛琴海喂魚呢，還是因為失去了對整數(shù)的信仰，整個希臘數(shù)學自此開始轉(zhuǎn)向了研究幾何幾何圖形圖形的問題，畢竟幾何圖形避免了數(shù)打交道，從而有了歐氏幾何。 第一次數(shù)學危機的產(chǎn)物第一次數(shù)學危機的產(chǎn)物古典邏輯與歐氏幾何學古典邏輯與歐氏幾何學微積分產(chǎn)生的背景 從埃及尼羅河沿岸每年丈量土地開始，人們就在

6、尋求一種計算不規(guī)則圖形面積的方法 眾多科學家意識到其中有個“幽靈”說不清道不明，其代表人物：阿基米德，芝諾，歐道克斯，莊子，劉徽 許多迫切待解決的問題擺在數(shù)學家面前：描述變速運動？曲線的切線？曲線的長度？曲面的面積？曲面圍成的多面體的體積？極大極小問題？等等古希臘的數(shù)學中除了整數(shù)之外，并沒有無理數(shù)的概念，連有理數(shù)的運算也沒有，可是卻有量的比例。他們對于連續(xù)與離散的關(guān)系很有興趣，尤其是芝諾提出的四個著名的悖論： 第一個悖論是說運動不存在，理由是運動物體到達目的地之前必須到達半路，而到達半路之前又必須到達半路的半路如此下去，它必須通過無限無限多個點，這在有限有限長時間之內(nèi)是無法辦到的。 第二個悖論

7、是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。因為烏龜在他前面時，他必須首先到達烏龜?shù)钠瘘c，然后用第一個悖論的邏輯，烏龜者在他的前面。 這兩個悖論是反對空間、時間無限可分的觀點的。這兩個悖論是反對空間、時間無限可分的觀點的。 第三、第四悖論是反對空間、時間由不可分的間隔組成反對空間、時間由不可分的間隔組成。第三個悖論是說“飛矢不動”，因為在某一時問間隔，飛矢總是在某個空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。第四個悖論是游行隊伍悖論，內(nèi)容大體相似。 這說明希臘人已經(jīng)看到無窮小與無窮小與“很小很小很小很小”的矛盾。當然他們無法解決這些矛盾。 無窮小分割是主要方法 無窮小分割求和： 關(guān)于切線：笛卡兒與費爾瑪

8、認為是兩個交點重合時的割線。羅伯瓦等認為是描繪曲線的運動在這點的方向 眾多數(shù)學家加入到這場爭論中，拉開流數(shù)術(shù)和微分法的序幕 費爾瑪是除去牛頓萊布尼茲外做得最多的人，他走到大門口，但沒有進入。主要是他沒有它的理論與求積的關(guān)系牛頓與萊布尼茲各自獨立發(fā)明微積分 牛頓與微積分 萊布尼茲與微積分 英德之間的歷史公案 1665年夏天，因為英國爆發(fā)鼠疫，劍橋大學暫時關(guān)閉。剛剛獲得學士學位、準備留校任教的牛頓被迫離校到他母親的農(nóng)場住了一年多。這一年多被稱為“奇跡年”，牛頓對三大運動定律、萬有引力定律和光學的研究都開始于這個時期。在研究這些問題過程中他發(fā)現(xiàn)了他稱為“流數(shù)術(shù)”的微積分。他在1666年寫下了一篇關(guān)于

9、流數(shù)術(shù)的短文，之后又寫了幾篇有關(guān)文章。但是這些文章當時都沒有公開發(fā)表，只是在一些英國科學家中流傳。 首次發(fā)表有關(guān)于微積分研究論文的是德國哲學家萊布尼茨。萊布尼茨在1675年已發(fā)現(xiàn)了微積分，但是也不急于發(fā)表，只是在手稿和通信中提及這些發(fā)現(xiàn)。1684年，萊布尼茨正式發(fā)表他對微分的發(fā)現(xiàn)。兩年后，他又發(fā)表了有關(guān)積分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推動下，萊布尼茨的方法很快傳遍了歐洲。到1696年時，已有關(guān)于微積分的教科書出版。 于是究竟是誰首先發(fā)現(xiàn)了微積分，就成了一個需要解決的問題了。1711年，蘇格蘭科學家、英國王家學會會員約翰凱爾在致王家學會書記的信中，指責萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，只不過用不同的

10、符號表示法改頭換面。同樣身為王家學會會員的萊布尼茨提出抗議，要求王家學會禁止凱爾的誹謗。王家學會組成一個委員會調(diào)查此事，在次年發(fā)布的調(diào)查報告中認定牛頓首先發(fā)現(xiàn)了微積分，并譴責萊布尼茨有意隱瞞他知道牛頓的研究工作。此時牛頓是王家學會的會長，雖然在公開的場合假裝與這個事件無關(guān)，但是這篇調(diào)查報告其實是牛頓本人起草的。他還匿名寫了一篇攻擊萊布尼茨的長篇文章。 當然，爭論并未因為這個偏向性極為明顯的調(diào)查報告的出籠而平息。事實上，這場爭論一直延續(xù)到了現(xiàn)在。沒有人，包括萊布尼茨本人，否認牛頓首先發(fā)現(xiàn)了微積分。問題是，萊布尼茨是否獨立地發(fā)現(xiàn)了微積分？萊布尼茨是否剽竊了牛頓的發(fā)現(xiàn)？ 無窮小是零嗎？第二次數(shù)學危機

11、 研究下列問題： 1734年，英國哲學家、大主教貝克萊發(fā)表分析學家或者向一個不信正教數(shù)學家的進言，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)-無窮小的問題，提出了貝克萊悖論。引發(fā)第二次數(shù)學危機。少？趨于無限大時，它是多當nn1dx為逝去量的“靈魂” 他指出：牛頓在求xn的導數(shù)時，采取了先給x以增量，應用二項式（x+0）n，從中減去xn以求得增量，并除以以求出xn的增量與x的增量之比，然后又讓消逝，這樣得出增量的最終比。“幽靈”即為極限的概念 這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)：先設(shè)x有增量，又令增量為零，也即假設(shè)x沒有增量。他認為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，dx為逝去量的靈魂。無窮小量究竟

12、是不是零？無窮小及其分析是否合理？“幽靈”即為極限的概念 由此而引起了數(shù)學界甚至哲學界長達一個半世紀的爭論。 直到19世紀20年代，一些數(shù)學家才比較關(guān)注于微積分的嚴格基礎(chǔ)。 波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數(shù)學分析奠定了嚴格的基礎(chǔ)：極限理論 危機的實質(zhì)危機的實質(zhì) 第一次數(shù)學危機的實質(zhì)是第一次數(shù)學危機的實質(zhì)是 “ 不是有理不是有理數(shù)，而是無理數(shù)數(shù)，而是無理數(shù)”。那么第二次數(shù)學危機的實。那么第二次數(shù)學危機的實質(zhì)是什么？應該說，是質(zhì)是什么？應該說，是極限的概念不清楚，極極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不

13、牢固。限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說，微積分理論也就是說，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。缺乏邏輯基礎(chǔ)。22 第三次數(shù)學危機第三次數(shù)學危機 “數(shù)學基礎(chǔ)數(shù)學基礎(chǔ)”的曙光的曙光集合論集合論 到到19世紀，數(shù)學從各方面走向成熟。非歐幾何的世紀，數(shù)學從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴展和完善；實數(shù)理論（和極限出現(xiàn)使幾何理論更加擴展和完善；實數(shù)理論（和極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個數(shù)學的基礎(chǔ)在哪里等等。人們水到渠成

14、地思索：整個數(shù)學的基礎(chǔ)在哪里？正在這時，？正在這時，19世紀末，集合論出現(xiàn)了（康托）。人世紀末，集合論出現(xiàn)了（康托）。人們感覺到，集合論有可能成為整個數(shù)學的基礎(chǔ)。們感覺到，集合論有可能成為整個數(shù)學的基礎(chǔ)。 羅素悖論的通俗化羅素悖論的通俗化“理發(fā)師悖論理發(fā)師悖論”：某村的某村的一個理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮一個理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？ 如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應該給他自己刮臉，的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應該

15、給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應該給己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。羅素悖論：羅素悖論：“設(shè)設(shè)B=集合集合A| ，問，問B屬于不屬于不屬于屬于B？”AA 危機的消除危機的消除 危機出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學危機出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學家作了巨大的努力來消除悖論。當時消除悖論的選家作了巨大的努力來消除悖論。當時消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找

16、新的理論基礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。探討消除悖論的可能。 人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時，盡量把原有理論中有價值的東西保留下來。時，盡量把原有理論中有價值的東西保留下來。 這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就留下了解決問題的余地。留下了解決問題的余地。 羅素等人分析后認為，這些悖論的共同特征（羅素等人分析后認為，這些悖論的共同特征（悖論

17、的實質(zhì)）是悖論的實質(zhì)）是“自我指謂自我指謂”。即，。即，一個待定義的一個待定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來定義概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來定義，造，造成惡性循環(huán)。成惡性循環(huán)。 例如，悖論中定義例如，悖論中定義“不屬于自身的集合不屬于自身的集合”時，時，涉及到涉及到“自身自身”這個待定義的對象。這個待定義的對象。 為了消除悖論，數(shù)學家們要將康托為了消除悖論，數(shù)學家們要將康托“樸素的集合論樸素的集合論”加以公理化；并且規(guī)定構(gòu)加以公理化；并且規(guī)定構(gòu)造集合的原則，例如，不允許出現(xiàn)造集合的原則，例如，不允許出現(xiàn)“所有所有集合的集合集合的集合”、“一切屬于自身的集合一切屬于自身的集合”這

18、這樣的集合。樣的集合。 1908年，策梅洛（年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,18711953）提出了由）提出了由7條公理組成的集合論體系，稱為條公理組成的集合論體系，稱為Z-系系統(tǒng)。統(tǒng)。 1922年，弗蘭克（年，弗蘭克（A.A.Fraenkel）又加進一條）又加進一條公理，還把公理用符號邏輯表示出來，形成了集合公理，還把公理用符號邏輯表示出來，形成了集合論的論的ZF-系統(tǒng)。再后來，還有改進的系統(tǒng)。再后來，還有改進的ZFC-系統(tǒng)。系統(tǒng)。 這樣，大體完成了這樣，大體完成了 但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來后不久，形象地評論道：后不久，形象地評論道：“為了防狼，羊為了防狼，羊群已經(jīng)用籬笆圈起來了，但卻不