分類思想在初中數(shù)學(xué)中的探究

1、分類思想在初中數(shù)學(xué)中的探究分類思想是中學(xué)數(shù)學(xué)四大思想之一 ,分類思想不像一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣 ,通過幾節(jié)課的教學(xué)就可以掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征 ,學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn) ,逐步滲透 ,螺旋上升 ,不斷地豐富自身的內(nèi)涵。教學(xué)中可以從以下幾個(gè)方面 ,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中 ,通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括 ,形成對(duì)分類思想的主動(dòng)應(yīng)用。滲透分類思想 ,養(yǎng)成分類的意識(shí)每個(gè)學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識(shí) ,如人群的分類、文具的分類等 ,教師利用學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)根底 ,把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來 ,在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透 ,挖掘教材提供的時(shí)機(jī) ,把握滲透的契機(jī)。如：數(shù)的分類

2、 ,絕對(duì)值的意義 ,不等式的性質(zhì)等 ,都是滲透分類思想的很好時(shí)機(jī)。教授完負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念后 ,及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類 ,讓學(xué)生了解到對(duì)不同的標(biāo)準(zhǔn) ,有理數(shù)有不同的分類方法 ,如分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)；或分為正有理數(shù) ,零 ,負(fù)有理數(shù) ,為下一步分類討論奠定根底。講解絕對(duì)值的意義時(shí) ,引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：正數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù) ,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù) ,零的絕對(duì)值是零。通過對(duì)正數(shù)、零、負(fù)數(shù)的絕對(duì)值的認(rèn)識(shí) ,讓學(xué)生了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。結(jié)合?有理數(shù)?這一章的教學(xué) ,反復(fù)滲透 ,強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類思想 ,使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識(shí) ,并能在分類討論的時(shí)候注意一些根本原那么 ,如分

3、類的對(duì)象是確定的 ,標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的 ,如假設(shè)不然 ,對(duì)象混雜 ,標(biāo)準(zhǔn)不一 ,就會(huì)出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯(cuò)誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負(fù)數(shù)、整數(shù) ,就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯(cuò)誤。在確定對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)之后 ,還要注意分清層次 ,不越級(jí)討論。學(xué)習(xí)分類方法 ,增強(qiáng)思維的縝密性在教學(xué)中滲透分類思想時(shí) ,應(yīng)讓學(xué)生了解 ,所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn) ,根據(jù)對(duì)象的屬性 ,不重復(fù)、不遺漏地劃分為假設(shè)干類 ,而后對(duì)每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法 ,就成為解決問題的關(guān)鍵所在。分類的方法常有以下幾種：2.1根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類。有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的 ,解答此類題 ,一般按概念的分類形式進(jìn)行分類。例如：比擬有理數(shù)的大小

4、。兩個(gè)有理數(shù)的大小比擬 ,可以分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和零、負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)幾類情況來比擬。而負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的大小比擬是新的知識(shí)點(diǎn) ,這就突出了學(xué)習(xí)的重點(diǎn) ,正確進(jìn)行分類討論 ,可得到正確的解答。2.2根據(jù)數(shù)學(xué)的法那么、性質(zhì)或特殊規(guī)定進(jìn)行分類。學(xué)習(xí)一元二次方程根的判別式時(shí) ,對(duì)于變形后的方程ax2+bx+c=0a0用兩邊開平方法求解 ,需要分類討論0 ,0 ,0這三種情況來對(duì)應(yīng)方程的解的情況。而此題的符號(hào)決定能否開平方 ,是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程的根的三種情況。又如 ,解關(guān)于x的不等式：ax+32x+a ,通過變形得到a-2xa-3 ,這時(shí)要根據(jù)不等式的性質(zhì)分類討論a-20

5、 ,a-20 ,a-2=0三種情況分別解不等式。2.3根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類。如三角形按角分類 ,有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形 ,直線和圓根據(jù)直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。例如 ,等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30° ,底邊長為a ,那么其腰上的高是多少？分析：此題根據(jù)圖形的特征 ,把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作腰上的高 ,可得腰上的高出現(xiàn)不同的位置進(jìn)行分類求解。引導(dǎo)分類討論 ,提高合理解題的能力初中課本中有不少定理、法那么、公式、習(xí)題 ,都需要分類討論 ,在教授這些內(nèi)容時(shí) ,應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識(shí)

6、 ,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些問題 ,只有通過分類討論后 ,得到的結(jié)論才是完整的、正確的 ,如不分類討論 ,就很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。在解題教學(xué)中 ,通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括、總結(jié)出規(guī)律性的東西 ,從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性 ,縝密性。一般來講 ,利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中 ,根據(jù)字母不同的取值情況 ,分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況 ,逐一討論解決問題。例4、函救ym-1x2m-2x1m是實(shí)數(shù)。如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個(gè)交點(diǎn) ,求m的值。分析：這里從函數(shù)分類的角度討論 ,分m1=0和m10兩種情況來研究解決問

7、題。解：當(dāng)m時(shí)函數(shù)就是一個(gè)一次函數(shù)yx1 ,它與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)-1 ,0；當(dāng)m10時(shí) ,函數(shù)就是一個(gè)二次函數(shù)ym1x2m2x1；當(dāng)m22+4m1=0 ,得m=0 ,拋物線y=x22x1的頂點(diǎn)1 ,0在x軸上。例5、函數(shù)y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1 ,求證：y的值恒為正數(shù)。分析：將y的表達(dá)式分解因式 ,雖可證得結(jié)論但較難。分析可發(fā)現(xiàn) ,假設(shè)將變量x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)適當(dāng)分類 ,那么問題容易解決。證明：當(dāng)x0時(shí) ,x5-x3-x0y1恒成立；當(dāng)01時(shí) ,y=x6+x4-x+x2-x3+x-1x4x5 ,x2x3 ,1xy0成立；當(dāng)x=1時(shí) ,y=10成立；當(dāng)x1時(shí) ,y=x6-x5+x4-

8、x3+x2-x+1x6x5 ,x4x3 ,x2xy1成立 ,綜上可知 ,y0成立。由以上的幾個(gè)例子 ,我們可以看出分類討論往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變得異常簡(jiǎn)單 ,解題思路非常的清晰 ,步驟非常的明了。另一方面在討論當(dāng)中 ,可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。一般說來 ,“教師概念之形成經(jīng)歷了十分漫長的歷史。楊士勛唐初學(xué)者 ,四門博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及 ,故謂師為師資也。這兒的“師資 ,其實(shí)就是先秦而后歷代對(duì)教師的別稱之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長教之弗為變其“師長當(dāng)然也指教師。這兒的“師資和“師長可稱為“教師概念的雛形 ,但仍說不上是名副其實(shí)的“教師 ,因?yàn)椤敖處煴仨氁?/p>

9、有明確的傳授知識(shí)的對(duì)象和本身明確的職責(zé)。要練說 ,得練聽。聽是說的前提 ,聽得準(zhǔn)確 ,才有條件正確模仿 ,才能不斷地掌握高一級(jí)水平的語言。我在教學(xué)中 ,注意聽說結(jié)合 ,訓(xùn)練幼兒聽的能力 ,課堂上 ,我特別重視教師的語言 ,我對(duì)幼兒說話 ,注意聲音清楚 ,上下起伏 ,抑揚(yáng)有致 ,富有吸引力 ,這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時(shí) ,就隨時(shí)表揚(yáng)那些靜聽的幼兒 ,或是讓他重復(fù)別人說過的內(nèi)容 ,抓住教育時(shí)機(jī) ,要求他們專心聽 ,用心記。平時(shí)我還通過各種趣味活動(dòng) ,培養(yǎng)幼兒邊聽邊記 ,邊聽邊想 ,邊聽邊說的能力 ,如聽詞對(duì)詞 ,聽詞句說意思 ,聽句子辯正誤 ,聽故事講述故事 ,聽謎語猜謎底 ,聽智力故事 ,動(dòng)腦筋 ,出主意 ,聽兒歌上句 ,接兒歌下句等 ,這樣幼兒學(xué)得生動(dòng)活潑 ,輕松愉快 ,既訓(xùn)練了聽的能力 ,強(qiáng)化了記憶