(2)群表示理論基礎(chǔ)

1、 第三節(jié) 群表示的基及群的表示一、基本概念基（Base）：群元素作用的對(duì)象稱為與它相應(yīng)的群表示的基?；梢杂懈鞣N類型，如矢量（x，y，z），波函數(shù)（px，py，pz）群的表示（Representation）：選定群表示的基以后，則分子點(diǎn)群中的每一個(gè)元素都與一個(gè)矩陣相對(duì)應(yīng)，這些矩陣構(gòu)成的矩陣群可以看作是點(diǎn)群的一個(gè)表示。 * 群的表示不是唯一的，一個(gè)群原則上有無限多種表示。二、群的表示（可約與不可約表示）1、可約表示（Reducible Representation）1）定理：設(shè)一組矩陣（E，A，B，C）構(gòu)成一個(gè)群的表示。若對(duì)每個(gè)矩陣進(jìn)行同樣的相似變換： E´=X-1EX A´

2、=X-1AX B´=X-1BX .則（E´，A´，B´）也是群的一個(gè)表示。證明（封閉性）：若AB = CA´B´ = (X-1AX)(X-1BX) = X-1A(XX-1)BX = X-1(AB)X = X-1CX = C´ 2）可約表示：若能找到矩陣X可把(A、B、C)變換成(A´、B´、C´), 而(A´、B´、C´)分別為劃分為方塊因子的矩陣。 若每個(gè)矩陣A´，B´，C´, 均按同樣的方式劃分成方塊，則可證明，每個(gè)矩陣的對(duì)應(yīng)方塊可

3、以單獨(dú)地相乘：A1´B1´=C1´A2´B2´=C2´A3´B3´=C3´. . . 因此各組矩陣E1´，A1´，B1´，C1´, E2´，A2´，B2´，C2´, .本身都是一個(gè)群的表示。因?yàn)橛镁仃嘪可以把每個(gè)矩陣變換為一個(gè)新矩陣，所有新的矩陣按照同樣的方式給出兩個(gè)或多個(gè)低維表示。因此我們稱（E，A，B，C, ）為可約表示。2、不可約表示（Irreducible Representation）若找不到矩陣X，按照上述方式約化

4、給定表示的所有矩陣，這種表示稱為不可約表示。不可約表示具有特殊的重要性。三、廣義正交定理（great orthogonality theorem） 1、向量的正交 1）向量及其標(biāo)積。向量的定義：向量標(biāo)積： A·B = A·Bcos 2）向量正交 若A·B = 0，則稱A與B正交。* p維空間中的一個(gè)向量可借助于它在該空間中的p個(gè)正交軸上的投影來定義。以三維空間為例： 據(jù)此可提出向量標(biāo)積的一個(gè)等價(jià)但更為有用的表示方法，在p維正交空間中： A·B =(A1+A2+Ap)·(B1+B2+Bp) = A1B1+A2B2+ +ApBp 因此在p維空間中兩

5、個(gè)向量的正交可表示為： 推論：一個(gè)向量的長(zhǎng)度平方可寫成A2 = A·Acos0 = A·A 2、廣義正交定理（great orthogonality theorem有關(guān)構(gòu)成群的不可約表示矩陣元的基本定理）1）廣義正交定理：h 群的階；li 該群第i個(gè)不可約表示的維數(shù)，也是該表示中矩陣的階；R 群中的某個(gè)操作；i(R)mn 在第i個(gè)不可約表示中，與操作R對(duì)應(yīng)的矩陣中第m行和第n列的元素。最后，每逢包括虛數(shù)和復(fù)數(shù)時(shí)，等式左端的一個(gè)因子取復(fù)共軛。向量1的分量：a11, b11, c11, 向量2的分量：a22, b22, c22, 向量3的分量：x11, y11, z11, 向量

6、4的分量：x21, y21, z21, 在一組不可約表示矩陣中，若將任意一組來自每個(gè)矩陣的對(duì)應(yīng)矩陣元，看作是h維空間中的某一向量的分量，則所有這些向量都相互正交，且這些向量長(zhǎng)度的平方為(h/li)。 2）廣義正交定理的特殊形式廣義正交定理可以簡(jiǎn)化為三個(gè)較簡(jiǎn)單的情況:A、若ij，則 表明，選自不同不可約表示的向量是正交的。B、若i=j，且mm´，或nn´，或同時(shí)mm´，nn´表明，選自同一不可約表示的不同向量也是正交的。C、若i=j，m=m´，n=n´，則表明，任意一個(gè)這種向量的長(zhǎng)度平方等于h/li。四、可約表示的約化及表示的直積1、不

7、等價(jià)不可約表示1）等價(jià)表示（equivalent representation）：在點(diǎn)群的表示中，如果有兩個(gè)表示，它們關(guān)于任何同一對(duì)稱操作的兩個(gè)表示矩陣A和B是共軛的，即存在一個(gè)方陣X，使X-1AX = B成立，則這兩個(gè)表示是等價(jià)的。 * 一個(gè)表示中各矩陣的跡稱為該表示的特征標(biāo) （character）。 兩個(gè)等價(jià)表示關(guān)于任何同一對(duì)稱操作的兩個(gè)表示矩陣A和B的特征標(biāo)相同。 2）不等價(jià)不可約表示：如果兩個(gè)不可約表示，它們每個(gè)對(duì)稱操作的兩個(gè)特征標(biāo)不完全相等時(shí)，則這兩個(gè)不可約表示是不等價(jià)不可約表示。 2、群表示的幾條重要性質(zhì)1）群的不等價(jià)不可約表示的數(shù)目，等于群中類的數(shù)目。2）群的不等價(jià)不可約表示維數(shù)

8、的平方和等于群的階。 3）每個(gè)群均有一個(gè)特征標(biāo)均為1的一維不可約表示，叫“完全對(duì)稱表示”。 4) 任一不可約表示的特征標(biāo)的平方和等于群的階。 5）以兩個(gè)不等價(jià)不可約表示的特征標(biāo)作為分量的向量是正交的。 6）在一個(gè)給定表示中，所有屬于同一類操作矩陣的特征標(biāo)相等。3、不可約表示特征標(biāo)的求法。 例：C3V群 E，C3，C32，v, v´, v´´, 分為三類E，2C3，3v由性質(zhì)1）：有三個(gè)不等價(jià)不可約表示。由性質(zhì)2）：l12+l22+l32=6由性質(zhì)3）：不妨令l1=1，唯一解l1= l2 =1，l3=2再由性質(zhì)6）：由性質(zhì)4）：12 +2X222+3X232=6由性

9、質(zhì)5）：1×1+2×1×X22+3×1×X23 =0由上兩式得：X22=1，X23=-1 由性質(zhì)5）：1×2+2×1×X32+3×1×X33=01×2+2×1×X32+3×(-1)×X33=0 由上兩式得：X32=-1，X33=0最后結(jié)果：4特征標(biāo)表 （character tables）特征標(biāo)表：將點(diǎn)群的各不等價(jià)不可約表示的特征標(biāo)連同不可約表示的基歸在同一表中，則稱此表為點(diǎn)群的特征標(biāo)表。例： A、B：一維表示 E：二維表示 T：三維表示 G、U：

10、四維表示 H、W：五維表示 維數(shù)大于1的不可約表示稱為簡(jiǎn)并不可約表示。5、可約表示的約化對(duì)于任何相似變換，矩陣的特征標(biāo)是不變的，因此一個(gè)可約表示的特征標(biāo)必等于由它約化得到的各不可約表示特征標(biāo)之和，即 用i(R)去乘兩邊，然后對(duì)操作求和。 例： 求 a = ?a = 1 + 22 + 3 （直和 direct sum）求 b = ?b=32 + 235、表示的直積（直積 direct product）1）直積A、函數(shù)的直積若F1，F(xiàn)2， Fm及G1，G2， Gn是兩個(gè)函數(shù)集合，則函數(shù)集合FiGk（m×n個(gè)）稱為前兩個(gè)函數(shù)集合的直積。例：F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3 和 G1，G2 的直積為F1G1，F(xiàn)1G2，F(xiàn)2G1，F(xiàn)2G2，F(xiàn)3G1，F(xiàn)3G2B、表示的直積以函數(shù)集合FiGk為基的表示FG稱為以函數(shù)集合F1，F(xiàn)2， Fm為基的表示F與以函數(shù)集合G1，G2， Gn為基的表示G的直積。記為：FG = F × G例：F1，F(xiàn)2 和 G1，G2 的直積為F1G1，F(xiàn)1G2，F(xiàn)2G1, F2G22）定理：操作R對(duì)應(yīng)的矩陣中，以直積為基表示的特征標(biāo)等于以單