數(shù)學(xué)建模綜合評價(jià)類問題

1、 姓名： 常志勇 辦公地點(diǎn)：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)系 電話：電子郵箱： 0.評價(jià)問題 “評價(jià)”為衡量評定人或事物的價(jià)值。新華字典 如：咱們班誰最高？誰家最有錢？ 誰是高富帥？一個(gè)樹的價(jià)值是？第一節(jié)第一節(jié) 綜合評價(jià)方法的基本概念 綜合評價(jià)的問題綜合評價(jià)的問題: :對被評價(jià)對象所進(jìn)行的對被評價(jià)對象所進(jìn)行的客觀、公正、合理客觀、公正、合理的全面評價(jià)。通常的綜合評價(jià)問題都是有若干個(gè)同類的的全面評價(jià)。通常的綜合評價(jià)問題都是有若干個(gè)同類的被評價(jià)對象被評價(jià)對象( (或系統(tǒng)或系統(tǒng)) )，每個(gè)被評價(jià)對象往往都涉及到，每個(gè)被評價(jià)對象往往都涉及到多個(gè)屬性（或指標(biāo)）多個(gè)屬性（或指標(biāo)）。 綜合

2、評價(jià)的目的綜合評價(jià)的目的: :根據(jù)系統(tǒng)的屬性判斷確定這些系統(tǒng)的運(yùn)行根據(jù)系統(tǒng)的屬性判斷確定這些系統(tǒng)的運(yùn)行（或發(fā)展）狀況哪個(gè)優(yōu)，哪個(gè)劣，即按優(yōu)劣對各被評價(jià)對象進(jìn)（或發(fā)展）狀況哪個(gè)優(yōu)，哪個(gè)劣，即按優(yōu)劣對各被評價(jià)對象進(jìn)排排序或分類序或分類。這類問題又稱為這類問題又稱為多屬性（或多指標(biāo)）的綜合評價(jià)問題多屬性（或多指標(biāo)）的綜合評價(jià)問題。如：如：教師績效測評教師績效測評。 綜合評價(jià)的應(yīng)用綜合評價(jià)的應(yīng)用: :研究多目標(biāo)決策問題的前提，因此研究解決這研究多目標(biāo)決策問題的前提，因此研究解決這類問題在實(shí)際中是很有意義的，特別是在政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)及軍事類問題在實(shí)際中是很有意義的，特別是在政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)及軍事管理、工

3、程技術(shù)及科學(xué)決策等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用價(jià)值。管理、工程技術(shù)及科學(xué)決策等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用價(jià)值。 構(gòu)成綜合評價(jià)問題的五個(gè)要素分別為構(gòu)成綜合評價(jià)問題的五個(gè)要素分別為: :被評價(jià)對象、評價(jià)指標(biāo)、被評價(jià)對象、評價(jià)指標(biāo)、權(quán)重系數(shù)、綜合評價(jià)模型和評價(jià)者。權(quán)重系數(shù)、綜合評價(jià)模型和評價(jià)者。1.1.被評價(jià)對象被評價(jià)對象 被評價(jià)對象就是綜合評價(jià)問題中所研究的對象，被評價(jià)對象就是綜合評價(jià)問題中所研究的對象，或稱為系統(tǒng)。通常情況下，在一個(gè)問題中被評價(jià)或稱為系統(tǒng)。通常情況下，在一個(gè)問題中被評價(jià)對象是屬于同一類的，且個(gè)數(shù)要大于對象是屬于同一類的，且個(gè)數(shù)要大于1 1，不妨假設(shè)，不妨假設(shè)一個(gè)綜合評價(jià)問題中有一個(gè)綜合評價(jià)問題中有

4、 個(gè)被評價(jià)對象（或系個(gè)被評價(jià)對象（或系統(tǒng)），分別記為統(tǒng)），分別記為 。 2.2.評價(jià)指標(biāo)評價(jià)指標(biāo) 評價(jià)指標(biāo)評價(jià)指標(biāo)是反映被評價(jià)對象是反映被評價(jià)對象( (或系統(tǒng)或系統(tǒng)) )的運(yùn)行的運(yùn)行( (或發(fā)展或發(fā)展) )狀況的基本要素。通常的問題都是有狀況的基本要素。通常的問題都是有多多項(xiàng)指標(biāo)項(xiàng)指標(biāo)構(gòu)成，每一項(xiàng)指標(biāo)都是從不同的側(cè)面刻畫構(gòu)成，每一項(xiàng)指標(biāo)都是從不同的側(cè)面刻畫系統(tǒng)所具有某種特征大小的一個(gè)度量。系統(tǒng)所具有某種特征大小的一個(gè)度量。 一個(gè)綜合評價(jià)問題的評價(jià)指標(biāo)一般可用一個(gè)綜合評價(jià)問題的評價(jià)指標(biāo)一般可用一個(gè)一個(gè)向量向量表示，其中每一個(gè)分量就是從一個(gè)側(cè)面反映表示，其中每一個(gè)分量就是從一個(gè)側(cè)面反映系統(tǒng)的狀態(tài)，

5、即稱為系統(tǒng)的狀態(tài)，即稱為綜合評價(jià)的指標(biāo)體系。綜合評價(jià)的指標(biāo)體系。 n12,(1)nS SS n3 3權(quán)重系數(shù)權(quán)重系數(shù) 每一綜合評價(jià)的問題都有相應(yīng)的評價(jià)目的，針對某種評價(jià)目每一綜合評價(jià)的問題都有相應(yīng)的評價(jià)目的，針對某種評價(jià)目的，各評價(jià)指標(biāo)之間的相對重要性是不同的，評價(jià)指標(biāo)之間的這種的，各評價(jià)指標(biāo)之間的相對重要性是不同的，評價(jià)指標(biāo)之間的這種相對重要性的大小可以用權(quán)重系數(shù)來刻畫。如果用相對重要性的大小可以用權(quán)重系數(shù)來刻畫。如果用 來表示評價(jià)來表示評價(jià)指標(biāo)指標(biāo) 的的權(quán)重系數(shù)權(quán)重系數(shù)，則應(yīng)有則應(yīng)有 且且 。jw(1,2,)jxjm0(1,2,)jwjm11mjjw 評價(jià)指標(biāo)體系應(yīng)遵守的原則：系統(tǒng)性、科學(xué)

6、性、可比性、可測性評價(jià)指標(biāo)體系應(yīng)遵守的原則：系統(tǒng)性、科學(xué)性、可比性、可測性（即可觀測性）和獨(dú)立性。這里不妨設(shè)系統(tǒng)有（即可觀測性）和獨(dú)立性。這里不妨設(shè)系統(tǒng)有 個(gè)評價(jià)指標(biāo)（或?qū)賯€(gè)評價(jià)指標(biāo)（或?qū)傩裕謩e記為性），分別記為 ，即評價(jià)指標(biāo)向量為，即評價(jià)指標(biāo)向量為 。 12,(1)mx xxm m12( ,)Tmx xxx 注意到注意到: :當(dāng)各被評價(jià)對象和評價(jià)指標(biāo)值都確定以后，問題的綜當(dāng)各被評價(jià)對象和評價(jià)指標(biāo)值都確定以后，問題的綜合評價(jià)結(jié)果就完全依賴于權(quán)重系數(shù)的取值了，即權(quán)重系數(shù)確定的合評價(jià)結(jié)果就完全依賴于權(quán)重系數(shù)的取值了，即權(quán)重系數(shù)確定的合理與否，直接關(guān)系到綜合評價(jià)結(jié)果的可信度，甚至影響到最后合理與

7、否，直接關(guān)系到綜合評價(jià)結(jié)果的可信度，甚至影響到最后決策的正確性。決策的正確性。4.4.綜合評價(jià)模型綜合評價(jià)模型 對于多指標(biāo)（或多因素）的綜合評價(jià)問題對于多指標(biāo)（或多因素）的綜合評價(jià)問題, ,就是要通過建立合就是要通過建立合適的綜合評價(jià)數(shù)學(xué)模型將多個(gè)評價(jià)指標(biāo)綜合成為一個(gè)適的綜合評價(jià)數(shù)學(xué)模型將多個(gè)評價(jià)指標(biāo)綜合成為一個(gè)整體的綜合整體的綜合評價(jià)指標(biāo)評價(jià)指標(biāo)，作為綜合評價(jià)的依據(jù)，從而得到相應(yīng)的評價(jià)結(jié)果。，作為綜合評價(jià)的依據(jù)，從而得到相應(yīng)的評價(jià)結(jié)果。 不妨假設(shè)不妨假設(shè)n n個(gè)被評價(jià)對象的個(gè)被評價(jià)對象的m m個(gè)評價(jià)指標(biāo)向量為個(gè)評價(jià)指標(biāo)向量為 指標(biāo)權(quán)重向量為指標(biāo)權(quán)重向量為 ，由此構(gòu)造綜合評價(jià)函數(shù)為，由此構(gòu)造綜

8、合評價(jià)函數(shù)為 。 12( ,)Tmx xxx12(,)Tmw www( , )yfw x 如果已知各評價(jià)指標(biāo)的如果已知各評價(jià)指標(biāo)的 個(gè)觀測值為個(gè)觀測值為 5 5 ，其中，其中 ，則可以計(jì)算出各系統(tǒng)的綜合，則可以計(jì)算出各系統(tǒng)的綜合評價(jià)值評價(jià)值 ， 。根據(jù)。根據(jù) 值的大小將這值的大小將這 個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行排序或分類，即得到綜合評價(jià)結(jié)果。個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行排序或分類，即得到綜合評價(jià)結(jié)果。5.評價(jià)者評價(jià)者 評價(jià)者是直接參與評價(jià)的人，可以是某一個(gè)人，也可以是一個(gè)團(tuán)評價(jià)者是直接參與評價(jià)的人，可以是某一個(gè)人，也可以是一個(gè)團(tuán)體。對于評價(jià)目的選擇、評價(jià)指標(biāo)體系確定、評價(jià)模型的建立和權(quán)重體。對于評價(jià)目的選擇、評價(jià)指標(biāo)體系確定、

9、評價(jià)模型的建立和權(quán)重系數(shù)的確定都與評價(jià)者有關(guān)。系數(shù)的確定都與評價(jià)者有關(guān)。 n (1,2, ;ijxin1,2,)jm( )( ,)iiyfw x( )12(,)iTiiimxxxx(1,2, )in(1,2, )iy inn綜合評價(jià)的一般步驟：綜合評價(jià)的一般步驟： 明確評價(jià)目的；確定被評價(jià)對象；建立明確評價(jià)目的；確定被評價(jià)對象；建立評價(jià)指標(biāo)體系（包括評價(jià)指標(biāo)的原始值、評價(jià)指標(biāo)體系（包括評價(jià)指標(biāo)的原始值、評價(jià)指標(biāo)的若干預(yù)處理等）；確定與各項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)的若干預(yù)處理等）；確定與各項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)相對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)；選擇或構(gòu)造評價(jià)指標(biāo)相對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)；選擇或構(gòu)造綜合評價(jià)模型；計(jì)算各系統(tǒng)的綜合評價(jià)值綜合評價(jià)模型；

10、計(jì)算各系統(tǒng)的綜合評價(jià)值, ,并給出綜合評價(jià)結(jié)果。并給出綜合評價(jià)結(jié)果。構(gòu)造權(quán)重的方法構(gòu)造權(quán)重的方法1. 多元統(tǒng)計(jì)方法，如多元回歸、主成分分析、多元統(tǒng)計(jì)方法，如多元回歸、主成分分析、因子分析等。因子分析等。2. 模糊數(shù)學(xué)方法：由模糊數(shù)學(xué)發(fā)展而來，包括模糊數(shù)學(xué)方法：由模糊數(shù)學(xué)發(fā)展而來，包括模糊聚類、模糊判別、模糊綜合評價(jià)等方法。模糊聚類、模糊判別、模糊綜合評價(jià)等方法。3. 簡易方法：主要包括頭腦風(fēng)暴法、層次分析簡易方法：主要包括頭腦風(fēng)暴法、層次分析法、法、Topsis法、秩和比法等法、秩和比法等4. 其他，如：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法，熵值法等其他，如：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法，熵值法等 第二節(jié)第二節(jié) 模糊綜合評判綜合

11、評判是綜合決策的內(nèi)容。模糊綜合評判又稱為模糊綜合決策或模糊多元決策下面以電腦評判為例來說明如何評價(jià)。某同學(xué)想購買一臺(tái)電腦，他關(guān)心電腦的以下幾個(gè)指標(biāo)：“運(yùn)算功能（數(shù)值、圖形等）”；“存儲(chǔ)容量（內(nèi)、外存）”；“運(yùn)行速度（CPU、主板等）”；“外設(shè)配置（網(wǎng)卡、多媒體部件等）”；”價(jià)格”。于是請同宿舍幾個(gè)同學(xué)一起去買電腦。1u=“運(yùn)算功能（數(shù)值、圖形等）”；2u=“存儲(chǔ)容量（內(nèi)、外存）”；3u=“運(yùn)行速度（CPU、主板等）”；4u=“外設(shè)配置（網(wǎng)卡、調(diào)制調(diào)解器、多媒體部件等）”；5u=“價(jià)格”。,54321uuuuuU 稱因素集。為了數(shù)學(xué)處理簡單，先令評語集,4321vvvvV 其中1v=“很受歡迎”

12、；2v=“較受歡迎”；3v=“不太受歡迎”；=“不受歡迎”；4v任選幾臺(tái)電腦，請同學(xué)和購買者對各因素進(jìn)行評價(jià)。若一個(gè)給定的電腦，對于運(yùn)算功能 有20%的人認(rèn)為是“很受歡迎”，50%的人認(rèn)為“較受歡迎”，30%的人認(rèn)為“不太受歡迎” ，沒有人認(rèn)為“不受歡迎”，則 的單因素評價(jià)向量為,1u1u)0 , 3 . 0 , 5 . 0 , 2 . 0(1R同理，對存儲(chǔ)容量 ，運(yùn)行速度 ，外設(shè)配置 和價(jià)格2u3u4u分別作出單因素評價(jià)，得5u) 1 . 0 , 5 . 0 , 3 . 0 , 1 . 0(2R) 1 . 0 , 5 . 0 , 4 . 0 , 0(3R)3 . 0 , 6 . 0 , 1

13、. 0 , 0(4R組合成評判矩陣4,R3,R2,R1,R5(0.5,0.3,0.2,0.0)R 5RR0 . 02 . 03 . 05 . 03 . 06 . 01 . 00 . 01 . 05 . 04 . 00 . 01 . 05 . 03 . 01 . 00 . 03 . 05 . 02 . 0R對微機(jī)的要求是：工作速度快，外設(shè)配置較齊全，價(jià)格便宜，而對運(yùn)算和存儲(chǔ)量則要求不高。于是得各因素的權(quán)重分配向量：(0.1,0.1,0.3,0.15,0.35)A 作模糊變換：存儲(chǔ)容量 運(yùn)行速度 外設(shè)配置 價(jià)格運(yùn)算功能 BA R(0.1 0.1 0.3 0.15 0.35)0 . 02 . 03

14、. 05 . 03 . 06 . 01 . 00 . 01 . 05 . 04 . 00 . 01 . 05 . 03 . 01 . 00 . 03 . 05 . 02 . 0(0.10.2)(0.10.1)(0.30.0)(0.150.0)(0.350.5),(0.10.5)(0.10.3)(0.30.4)(0.150.1)(0.350.3),(0.10.3)(0.10.5)(0.30.5)(0.150.6)(0.350.2),(0.10.0)(0.10.1)(0.30.1)(0.150.3)(0.350.0)(0.10.2)(0.10.1)(0.30.0)(0.150.0)(0.350.5

15、),(0.10.5)(0.10.3)(0.30.4)(0.150.1)(0.350.3),(0.10.3)(0.10.5)(0.30.5)(0.150.6)(0.350.2),(0.10.0)(0.10.1)(0.30.1)(0.150.3)(0.350.0)(0.00.35,0.10.3,0.150.2,0.050.0)15. 0 , 3 . 0 , 3 . 0 ,35. 0(若進(jìn)一步將結(jié)果歸一化得：)14. 0 ,27. 0 ,27. 0 ,32. 0(B結(jié)果表明，該用戶對這種微機(jī)表現(xiàn)為“最受歡迎”的程度為0.32，“

16、較受歡迎”和“不太受歡迎”的程度為0.27，“不受歡迎”的程度為0.14。按最大隸屬原則，結(jié)論是：該電腦“很受歡迎”。模糊數(shù)學(xué)知識(shí)簡介 設(shè)設(shè)U是論域，映射是論域，映射A(x)：U0,1確定了一確定了一個(gè)個(gè)U上的模糊子集上的模糊子集A，映射，映射A(x)稱為稱為A的隸的隸屬函數(shù)，它表示屬函數(shù)，它表示x對對A的隸屬程度的隸屬程度. 使使A(x) = 0.5的點(diǎn)的點(diǎn)x稱為稱為A的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具模糊性具模糊性. 當(dāng)映射當(dāng)映射A(x)只取只取0或或1時(shí)，模糊子集時(shí)，模糊子集A就是經(jīng)就是經(jīng)典子集，而典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù)就是它的特征函數(shù). 可見經(jīng)可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊

17、情形典子集就是模糊子集的特殊情形.例 設(shè)論域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為也可用也可用Zadeh表示法：表示法：140190140)(xxA100200100)(xxA65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxA6543219 . 08 . 06 . 042. 02 . 015. 0 xxxxxxA隸屬函數(shù)的確定隸屬函數(shù)的確定 1. 1. 模糊統(tǒng)計(jì)方法模糊統(tǒng)計(jì)方法 2. 2. 指派方法

18、指派方法 3. 3. 借用已有的借用已有的“客觀客觀”尺度尺度(A) = A = x | A(x) - -截集：截集： 模糊集的模糊集的 - -截集截集A 是一個(gè)經(jīng)典集合，由隸是一個(gè)經(jīng)典集合，由隸屬度不小于屬度不小于 的成員構(gòu)成的成員構(gòu)成. . 例：論域例：論域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6( (學(xué)生集學(xué)生集) )，他們的成績依次為他們的成績依次為50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“學(xué)學(xué)習(xí)成績好的學(xué)生習(xí)成績好的學(xué)生”的隸屬度分別為的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.950.5,0.6,0.7,0.8, 0.9

19、,0.95，則，則A0.9 (90分以上者分以上者) = u5 , u6,A0.6 (60分以上者分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6.常用的綜合評判模型 1、主因素決定型 2、主因素突出型 3、加權(quán)平均型),( M),(M),(M),( M第三節(jié)第三節(jié) 層次分析模型層次分析模型背背景景 日常工作、生活中的決策問題日常工作、生活中的決策問題 涉及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等方面的因素涉及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等方面的因素 作比較判斷時(shí)人的主觀選擇起相當(dāng)作比較判斷時(shí)人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化大的作用，各因素的重要性難以量化 Saaty于于1970年代提出層次分析法年代提出層次分析

20、法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP一種一種定性與定量相結(jié)合的、定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化系統(tǒng)化、層次化的分析方法的分析方法目標(biāo)層目標(biāo)層O(選擇旅游地選擇旅游地)P2黃山黃山P1桂林桂林P3北戴河北戴河準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層方案層方案層C3居住居住C1景色景色C2費(fèi)用費(fèi)用C4飲食飲食C5旅途旅途一一. . 層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟例例. . 選擇旅游地選擇旅游地如何在如何在3 3個(gè)目的地中按照景色、個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇費(fèi)用、居住條件等因素選擇. .“選擇旅游地選擇旅游地”思維過程的歸思維過程的歸納納 將決策問題分為將

21、決策問題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層，準(zhǔn)則層C，方案層方案層P；每層有若干元素，；每層有若干元素， 各層元素間的關(guān)系各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。用相連的直線表示。 通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。 將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對目標(biāo)的將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重。權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。1135/13/11125/13/13/

22、12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)(層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟成對比較陣成對比較陣和權(quán)向量和權(quán)向量 元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度 設(shè)要比較各準(zhǔn)則設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2, , Cn對目標(biāo)對目標(biāo)O的重要性的重要性ijjiaCC:A成對比較陣成對比較陣A是正互反陣是正互反陣要由要由A確定確定C1, , Cn對對O的權(quán)向量的權(quán)向量選選擇擇旅旅游游地地nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成對比較的不一致情況成對比較的不一致情況):(2/

23、12112CCa ):(43113CCa ):(83223CCa 一致比較一致比較不一致不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況考察完全一致的情況nwwwW,) 1(21jiijwwa/令權(quán)向量),(21Tnwwww成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量wAwnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111成對比較完全一致的情況成對比較完全一致的情況nkjiaaaikjkij, 2 , 1,滿足滿足的正互反陣的正互反陣A稱稱一致陣一致陣，如，如 A的秩為的秩為1，A的唯一非零特征根為的唯一非零特征根為n A的任一列

24、向量是對應(yīng)于的任一列向量是對應(yīng)于n 的特征向量的特征向量 A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對于不一致對于不一致( (但在允許范圍內(nèi)但在允許范圍內(nèi)) )的成對的成對比較陣比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根，建議用對應(yīng)于最大特征根 的特征向量作為權(quán)向量的特征向量作為權(quán)向量w ，即，即一致陣一致陣性質(zhì)性質(zhì)成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量2 4 6 8比較尺度比較尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2, , 9及其互反數(shù)及其互反數(shù)1,1/2, , 1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍強(qiáng)稍強(qiáng) 強(qiáng)強(qiáng) 明顯強(qiáng)明顯強(qiáng) 絕對強(qiáng)絕對強(qiáng)

25、的重要性jiCC :jiCC :aij = 1,1/2, ,1/9的重要性與上面相反的重要性與上面相反 心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個(gè)個(gè) 用用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27種比較尺度對若干實(shí)例構(gòu)造成對比較種比較尺度對若干實(shí)例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對比發(fā)現(xiàn)，陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對比發(fā)現(xiàn)， 19尺度較優(yōu)。尺度較優(yōu)。 便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量一致性檢驗(yàn)一致性檢驗(yàn)對對A確定不一致的允許范圍確定不一致的允許范圍已知：

26、已知：n 階一致陣的唯一非零特征根為階一致陣的唯一非零特征根為n可證：可證：n 階正互反陣最大特征根階正互反陣最大特征根 n, 且且 =n時(shí)為一致陣時(shí)為一致陣1nnCI定義一致性指標(biāo)定義一致性指標(biāo):CI 越大，不一致越嚴(yán)重越大，不一致越嚴(yán)重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110為衡量為衡量CI 的大小，引入的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo) RI隨機(jī)模隨機(jī)模擬得到擬得到aij , 形成形成A，計(jì)算，計(jì)算CI 即得即得RI。定義一致性比率定義一致性比率 CR = CI/RI 當(dāng)當(dāng)CR0.1時(shí)，通過

27、一致性檢驗(yàn)時(shí)，通過一致性檢驗(yàn)Saaty的結(jié)果如下的結(jié)果如下“選擇旅游地選擇旅游地”中中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)向量及一致性檢驗(yàn)1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A準(zhǔn)則層對目標(biāo)的準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣成對比較陣最大特征根最大特征根 =5.073權(quán)向量權(quán)向量( (特征向量特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指標(biāo)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo) RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.

28、1通過一致通過一致性檢驗(yàn)性檢驗(yàn)組合權(quán)向量組合權(quán)向量記第記第2層（準(zhǔn)則）對第層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）層（目標(biāo)）的權(quán)向量為的權(quán)向量為Tnwww),()2()2(1)2(同樣求第同樣求第3層層(方案方案)對第對第2層每一元素層每一元素(準(zhǔn)則準(zhǔn)則)的權(quán)向量的權(quán)向量12/15/1212/15211B方案層對方案層對C1(景色景色)的成對比較陣的成對比較陣1383/1138/13/112B方案層對方案層對C2(費(fèi)用費(fèi)用)的成對比較陣的成對比較陣CnBn最大特征根最大特征根 1 2 n 權(quán)向量權(quán)向量 w1(3) w2(3) wn(3) 第第3層對第層對第2層的計(jì)算結(jié)果層的計(jì)算結(jié)果k)3(kwkkCI10.

29、5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量組合權(quán)向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通過一致性檢驗(yàn)均可通過一致性檢驗(yàn) w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110方案方案P1對目標(biāo)的組合權(quán)重為對目標(biāo)的組合權(quán)重為0.595 0.263+ =0.300方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為 (0.300, 0.246, 0.456)TTnwww),()2()2(1)2

30、()2()3()3(wWw組合組合權(quán)向量權(quán)向量第第1層層O第第2層層C1,Cn第第3層層P1, PmnkwwwTkmkk, 2 , 1,),()3()3(1)3(第第2層對第層對第1層的權(quán)向量層的權(quán)向量第第3層對第層對第2層各元素的權(quán)向量層各元素的權(quán)向量,)3()3(1)3(nwwW構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣則第則第3層對第層對第1層的組合權(quán)向量層的組合權(quán)向量)2()3() 1()()(wWWWwsss第第s層對第層對第1層的組合權(quán)向量層的組合權(quán)向量其中其中W(p)是由第是由第p層對第層對第p-1層權(quán)向量組成的矩陣層權(quán)向量組成的矩陣層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型）建立層

31、次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)準(zhǔn)則或指標(biāo)準(zhǔn)則或指標(biāo)方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨(dú)立。各因素基本上相對獨(dú)立。2）構(gòu)造成對比較陣）構(gòu)造成對比較陣用成對比較法和用成對比較法和19尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。成對比較陣。3）計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)）計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)對每一成對比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性對每一成對比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量。檢驗(yàn)，若通過，則

32、特征向量為權(quán)向量。4）計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)）計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。二二. . 層次分析法的廣泛應(yīng)用層次分析法的廣泛應(yīng)用 應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，人才選拔和評價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。 處理問題類型：決策、評價(jià)、分析、預(yù)測等。處理問題類型：決策、評價(jià)、分析、預(yù)測等。 建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決建立層次分析結(jié)構(gòu)

33、模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。策層參與。 構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出。斷力強(qiáng)的專家給出。國家綜合實(shí)力國家綜合實(shí)力國民國民收入收入軍事軍事力量力量科技科技水平水平社會(huì)社會(huì)穩(wěn)定穩(wěn)定對外對外貿(mào)易貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國美、俄、中、日、德等大國工作選擇工作選擇貢貢獻(xiàn)獻(xiàn)收收入入發(fā)發(fā)展展聲聲譽(yù)譽(yù)關(guān)關(guān)系系位位置置供選擇的崗位供選擇的崗位例例1 國家國家實(shí)力分析實(shí)力分析例例2 工作選擇工作選擇過河的效益過河的效益 A經(jīng)濟(jì)效益經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益社會(huì)效益B2環(huán)境效益環(huán)境效益B3節(jié)節(jié)省省時(shí)時(shí)間間C1收收入入C2岸岸間間商商業(yè)業(yè)C3

34、當(dāng)當(dāng)?shù)氐厣躺虡I(yè)業(yè)C4建建筑筑就就業(yè)業(yè)C5安安全全可可靠靠C6交交往往溝溝通通C7自自豪豪感感C8舒舒適適C9進(jìn)進(jìn)出出方方便便C10美美化化C11橋梁橋梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)）過河效益層次結(jié)構(gòu)例例3 橫渡橫渡江河、海峽江河、海峽方案的抉擇方案的抉擇(2002(2002年賽年賽) )過河的代價(jià)過河的代價(jià) A經(jīng)濟(jì)代價(jià)經(jīng)濟(jì)代價(jià) B1環(huán)境代價(jià)環(huán)境代價(jià)B3社會(huì)代價(jià)社會(huì)代價(jià)B2投投入入資資金金C1操操作作維維護(hù)護(hù)C2沖沖擊擊渡渡船船業(yè)業(yè)C3沖沖擊擊生生活活方方式式C4交交通通擁擁擠擠C5居居民民搬搬遷遷C6汽汽車車排排放放物物C7對對水水的的污污染染C8對對生生態(tài)態(tài)的的破破壞壞

35、C9橋梁橋梁D1隧道隧道D2渡船渡船D2（2）過河代價(jià)層次結(jié)構(gòu)）過河代價(jià)層次結(jié)構(gòu)例例3 橫渡橫渡江河、海峽江河、海峽方案的抉擇方案的抉擇待評價(jià)的科技成果待評價(jià)的科技成果直接直接經(jīng)濟(jì)經(jīng)濟(jì)效益效益 C11間接間接經(jīng)濟(jì)經(jīng)濟(jì)效益效益 C12社會(huì)社會(huì)效益效益 C13學(xué)識(shí)學(xué)識(shí)水平水平 C21學(xué)術(shù)學(xué)術(shù)創(chuàng)新創(chuàng)新 C22技術(shù)技術(shù)水平水平 C23技術(shù)技術(shù)創(chuàng)新創(chuàng)新 C24效益效益C1水平水平C2規(guī)模規(guī)模C3科技成果評價(jià)科技成果評價(jià)例例4 科技成果科技成果的綜合評價(jià)的綜合評價(jià)三三. 層次分析法的若干問題層次分析法的若干問題 正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？

36、一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？近一致陣的程度？ 怎樣簡化計(jì)算正互反陣的最大特征根和特征向量？怎樣簡化計(jì)算正互反陣的最大特征根和特征向量？ 為什么用特征向量作為權(quán)向量？為什么用特征向量作為權(quán)向量？ 當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時(shí)怎樣用當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時(shí)怎樣用層次分析法？層次分析法？1. 正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理定理1 1 正矩陣正矩陣A 的的最大特征根最大特征根 是正單根，對應(yīng)是正單根，對應(yīng)正特征向量正特征向量w，且，且TkTkkeweAeeA) 1 , 1 , 1

37、 (,lim定理定理2 2 n階階正互反陣正互反陣A的最大特征根的最大特征根 n , = n是是A為一致陣的充要條件。為一致陣的充要條件。 正互反陣的最大特征根是正數(shù)，正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。特征向量是正向量。一致性指標(biāo)一致性指標(biāo) 定義合理定義合理1nnCI2. 正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計(jì)算正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計(jì)算 精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要 簡化計(jì)算的思路簡化計(jì)算的思路一致陣的任一列向量都是特征向量，一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可

38、取其某種意義下的平均。其某種意義下的平均。（1）和法）和法取列向量的算術(shù)平均取列向量的算術(shù)平均14/ 16/ 1412/ 1621A例091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0w089. 0324. 0587. 0286. 0974. 0769. 1Aw009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31列向量列向量歸一化歸一化算術(shù)算術(shù)平均平均wAw精確結(jié)果精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010(2)根法根法取列向量的幾何平均取列向量的幾何平均(3)冪法冪法迭代算

39、法迭代算法1）任取初始向量）任取初始向量w(0), k:=0，設(shè)置精度，設(shè)置精度 )()1(kkAww2) 計(jì)算計(jì)算nikikkwww1)1()1()1(/3）歸一化）歸一化nikikiwwn1)()1(15) 計(jì)算計(jì)算簡化簡化計(jì)算計(jì)算4）若）若 ，停止；，停止；否則，否則，k:=k+1, 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2)()1(maxkikiiww3. 特征向量作為權(quán)向量特征向量作為權(quán)向量成對比較的多步累積效應(yīng)成對比較的多步累積效應(yīng)問題問題一致陣一致陣A, 權(quán)向量權(quán)向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wjA不一致不一致, 應(yīng)選權(quán)向量應(yīng)選權(quán)向量w使使wi/wj與與 aij相差相差盡量小（對所有盡量?。▽λ衖,

40、j)。211),1(min ninjjiijniwwwai用擬合方法確定用擬合方法確定w非線性非線性最小二乘最小二乘211),1(lnlnmin ninjjiijniwwwai線性化線性化對數(shù)最小二乘對數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同結(jié)果與根法相同 按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點(diǎn)。同，特征向量有什么優(yōu)點(diǎn)。成對比較成對比較Ci:Cj (直接比較）直接比較） aij 1 1步強(qiáng)度步強(qiáng)度)()2(2ijaA sjnsisijaaa1)2(aisasj Ci通過通過Cs 與與Cj的比較的比較aij(2) 2步強(qiáng)度步強(qiáng)度更能反映更能反映Ci對對Cj 的強(qiáng)度的強(qiáng)度步強(qiáng)度kaaAkijkijk),()()(多步累積效應(yīng)多步累積效應(yīng)體現(xiàn)體現(xiàn)多步累積效應(yīng)多步累積效應(yīng)), 1,)()()()(00nsaaaakkkjikjskiskjskis（或定理定理1 1weAeeAkTkklim特征向量體現(xiàn)特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng)多步累積效應(yīng)當(dāng)當(dāng)k足