圓的有關(guān)性質(zhì)復(fù)習(xí)薛慶海

1、圓的有關(guān)性質(zhì)圓的有關(guān)性質(zhì)薛慶海薛慶海圓圓定義定義點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系經(jīng)過(guò)不在同一條直經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)的圓線上的三個(gè)點(diǎn)的圓基本定理基本定理垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論圓心角，弧、弦，圓心角，弧、弦，弦心距之間的關(guān)系弦心距之間的關(guān)系圓周角定理及其推論圓周角定理及其推論條件、步驟條件、步驟圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形點(diǎn)的集合點(diǎn)的集合推理推理單元知識(shí)結(jié)構(gòu)：?jiǎn)卧R(shí)結(jié)構(gòu)：?jiǎn)卧R(shí)要點(diǎn)和要求單元知識(shí)要點(diǎn)和要求1.理解圓的定義：理解圓的定義：“在一個(gè)平面內(nèi)，圓是在一個(gè)平面內(nèi)，圓是到到 定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合?！?圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組圓

2、是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成成 的圖形，是封閉曲線，圓是圈，要和日的圖形，是封閉曲線，圓是圈，要和日常生活中的圓形區(qū)分開。常生活中的圓形區(qū)分開。 圓有外部和內(nèi)部圓有外部和內(nèi)部 2 .理解點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系，并會(huì)應(yīng)用。理解點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系，并會(huì)應(yīng)用。QPRO P點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓外 OP r R點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi) OR rQ點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上 OQ=r3 圓的確定圓的確定 圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。 （1）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)圓）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)圓 （2）經(jīng)過(guò)）經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)圓，圓心在線段兩點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)圓，圓心在線段AB 的垂直平分線上

3、。的垂直平分線上。（3）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓 a）經(jīng)過(guò)在一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓。）經(jīng)過(guò)在一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓。 b） 定理定理:不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓. 理解確定的含義理解確定的含義: 不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)能不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)能作且只能作一個(gè)圓。作且只能作一個(gè)圓。 會(huì)用尺規(guī)作已知三角形的外接圓會(huì)用尺規(guī)作已知三角形的外接圓. c）外心的概念：三角形外接圓的圓心是三角形的）外心的概念：三角形外接圓的圓心是三角形的外心外心.外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，外心到外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。銳角

4、、鈍角、直角三三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。銳角、鈍角、直角三角形的外心分別在三角形的內(nèi)部、外部和斜邊中點(diǎn)角形的外心分別在三角形的內(nèi)部、外部和斜邊中點(diǎn)4 .理解圓的軸對(duì)稱性理解圓的軸對(duì)稱性,掌握垂徑定理及其推論掌握垂徑定理及其推論,并并會(huì)運(yùn)用它們解決有關(guān)計(jì)算、證明和作圖問(wèn)題會(huì)運(yùn)用它們解決有關(guān)計(jì)算、證明和作圖問(wèn)題. (1)圓是軸對(duì)稱圖形圓是軸對(duì)稱圖形,經(jīng)過(guò)圓心的每條直線都是經(jīng)過(guò)圓心的每條直線都是圓的對(duì)稱軸。（不能說(shuō)直徑是圓的對(duì)稱軸）圓的對(duì)稱軸。（不能說(shuō)直徑是圓的對(duì)稱軸） (2) 垂徑定理垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦, 并且平分弦所對(duì)的兩條弧。并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 表示法表示

5、法:如圖如圖, CD是是 O的直徑的直徑,CDAB AE=BE,AD=BD,AC=BCABCEODO.推論推論1:平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦, 并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條?。?)垂徑定理的推論垂徑定理的推論表示法表示法:如上圖如上圖, CD是是 O的直徑的直徑, AE=BE(AB不是直徑不是直徑) CDAB AD=BD,AC=BC平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧表示法表示法:如上圖如上圖, CD是是 O的直徑的直徑, AC=BC CDAB AE=BE,AD=

6、BD弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧表示法表示法: 如圖如圖, CDAB, AE=BE CD是是 O的直徑的直徑, AD=BD,AC=BC推論推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等表示法表示法:如圖如圖, AB/CD AC=BD BCADABCEODO.垂徑定理及推論垂徑定理及推論1可敘述為：一條直線如果它具有可敘述為：一條直線如果它具有垂直垂直于弦于弦平分弦平分弦平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的劣弧平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的優(yōu)弧經(jīng)過(guò)圓心等五個(gè)性質(zhì)中的任何兩個(gè)，它就有其余的三個(gè)經(jīng)過(guò)圓心等五個(gè)性質(zhì)中的任何兩個(gè)，它就有其

7、余的三個(gè)（其中有一種情況所說(shuō)的弦不能是直徑）（其中有一種情況所說(shuō)的弦不能是直徑）（4）弦心距是重要輔助線，常用的有三種：）弦心距是重要輔助線，常用的有三種：a)作作OMAB, 垂足為垂足為M,則則AM=BMb)已知已知M是是AB的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)OM,則則OM垂直垂直ABc)已知已知C是弧是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)的中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)OC,則則OC垂直平分垂直平分ABBAOM(a)BAOM(b)BAOC(c)5理解圓的旋轉(zhuǎn)不變性，掌握?qǐng)A心角，弦，弦心距的理解圓的旋轉(zhuǎn)不變性，掌握?qǐng)A心角，弦，弦心距的概念和圓心角，弧、弦，弦心距之間的相等關(guān)系，并概念和圓心角，弧、弦，弦心距之間的相等關(guān)系，并能運(yùn)用

8、它們解決有關(guān)計(jì)算、證明能運(yùn)用它們解決有關(guān)計(jì)算、證明（1）圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，圓具）圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，圓具有圍繞圓心旋轉(zhuǎn)的不變性，它是研究圓心角，弧、弦，有圍繞圓心旋轉(zhuǎn)的不變性，它是研究圓心角，弧、弦，弦心距之間的關(guān)系的依據(jù)弦心距之間的關(guān)系的依據(jù)（2）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們兩條弦或兩條

9、弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等 定理與推論使用的前提條件必須是定理與推論使用的前提條件必須是“在同圓或等圓中在同圓或等圓中”（3）在同圓或等圓中，若證明兩條弦相等，可以考慮：）在同圓或等圓中，若證明兩條弦相等，可以考慮： 證明弦所對(duì)的弧相等證明弦所對(duì)的弧相等 證明弦的弦心距相等證明弦的弦心距相等 6理解圓周角的概念，掌握?qǐng)A周角定理及其推理解圓周角的概念，掌握?qǐng)A周角定理及其推論，并能熟練地運(yùn)用它們進(jìn)行論證和計(jì)算論，并能熟練地運(yùn)用它們進(jìn)行論證和計(jì)算（1）定理：同一條弧所對(duì)的圓周角等于它所）定理：同一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的對(duì)的 圓圓

10、心心 角的一半角的一半表示法：表示法：A= ， 如圖如圖BOC21 定理的證明運(yùn)用了數(shù)學(xué)的分情況討論的思想OCABOABCAOBC.（2）推論）推論推論推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，同圓或等圓中同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，相等的圓周角所對(duì)的弧相等推論推論2：半圓或直徑所對(duì)的：半圓或直徑所對(duì)的圓周角圓周角是直角；是直角； 90度的度的圓周角圓周角所對(duì)的弦是直徑（所對(duì)的弧是半圓）所對(duì)的弦是直徑（所對(duì)的弧是半圓）表示法：表示法： AB是是 O的直徑的直徑 AC BC或或 AB是是 O的直徑的直徑090C推論推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，

11、：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形那么這個(gè)三角形是直角三角形表示法：表示法： 是直角三角形是直角三角形CDBDADABCABCO.ABCD7 理解圓的內(nèi)接四邊形的概念和性質(zhì)，并且會(huì)在推理解圓的內(nèi)接四邊形的概念和性質(zhì)，并且會(huì)在推 理論證中應(yīng)用理論證中應(yīng)用（1）定理：圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一）定理：圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一 個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角表示法：如圖表示法：如圖ADCEBCDADB00180180(2)圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形ABCD中中A:B:C:D=m:n:p:q 則則m+p=n+q(3) 圓內(nèi)接平行四邊形是矩形

12、圓內(nèi)接平行四邊形是矩形 圓內(nèi)接梯形是等腰梯形圓內(nèi)接梯形是等腰梯形 圓內(nèi)接菱形是正方形圓內(nèi)接菱形是正方形DCABE10課本例題得出的規(guī)律：課本例題得出的規(guī)律：（1）過(guò)相交兩圓的交點(diǎn)的直線與兩圓分別有兩個(gè)交點(diǎn)一）過(guò)相交兩圓的交點(diǎn)的直線與兩圓分別有兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)圓上兩個(gè)交點(diǎn)的連線與另一個(gè)圓上兩個(gè)交點(diǎn)的連線平行個(gè)圓上兩個(gè)交點(diǎn)的連線與另一個(gè)圓上兩個(gè)交點(diǎn)的連線平行（2）三角形兩邊的乘積等于第三邊上的高與三角形）三角形兩邊的乘積等于第三邊上的高與三角形外接圓直徑的乘積外接圓直徑的乘積ABCEFD.EACOBD單元例題解析單元例題解析 例例1 一圓弧拱橋的跨度為一圓弧拱橋的跨度為8米，拱高為米，拱高為2米，米，

13、 求此拱橋的半徑求此拱橋的半徑.由垂徑定理得由垂徑定理得AD=BD= ,AC=BC.又又CD=2米米, 421AB在在RtAOD中中 222ODADOA, 222)2(4OAOA即即 解得：解得： OA=5（米）（米）答答: : 拱橋的半徑為拱橋的半徑為5 5米米. .OABCD解解: :設(shè)設(shè)ABAB表示橋拱表示橋拱, ,弧弧ABAB的圓心為的圓心為O,O,過(guò)過(guò)O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OD,DOD,D為垂足為垂足, ,且與且與ABAB交于交于C.C.連結(jié)連結(jié)OAOA例例2 2 如圖如圖, ,以以ABAB為直徑作半圓為直徑作半圓,CD,CD是任一弦是任一弦, ,由由A ,BA ,B向向

14、CDCD所所在直線作垂線在直線作垂線, ,垂足為垂足為E,F,BFE,F,BF交半圓于交半圓于G.G.求證求證: :EC=FD,AC=DG.EC=FD,AC=DG.ABFECDOGM證明證明 連結(jié)連結(jié)AGAG作作OMEF,MOMEF,M為垂足為垂足. . 則則CM=DM.CM=DM.OMOM，又，又，即即是的直徑，是的直徑，又又 例例3中，中，C=90 度，度，AC=8,BC=15,以為以為圓心，為半徑的圓心，為半徑的 交于交于求的長(zhǎng)求的長(zhǎng).CABDM解解: :方法一：方法一： 作作，為垂足，則，為垂足，則 在 在 中 ， 中 ， 90，178152222BCACAB，ABAMAC2 .176

15、42ABAC1712817642 AD例如圖，四邊形內(nèi)接于例如圖，四邊形內(nèi)接于 ，過(guò)作，過(guò)作 交的延長(zhǎng)線于交的延長(zhǎng)線于 求證：求證：CDBCADBE 分析分析ADBCCDBE DCADCADCADCADBADBA DBADBAAEBCD圓內(nèi)接四邊圓內(nèi)接四邊形形ABCD證明略證明略1、如圖，O的半徑OA=1，弦AB、AC長(zhǎng)分別是 、 ，求BAC的度數(shù)。分析：過(guò)O點(diǎn)作OD AB，OE AC。答案： BAC=75EOCFBA 232、如圖，O是ABC的外接圓，AD BC于D，AE是直徑，求證： BAE= CAD。分析： 證法一：連結(jié)BE。 EDCAB證法二：連結(jié)CE。證法三：延長(zhǎng)AD到F，連結(jié)EF。 F3、如圖，AB是O的直徑，弦CD垂直AB于E，F(xiàn)是弧AC上的任一點(diǎn)，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P， 求證：FA FP=FC FD。PFEDACB分析：欲證FA FP=FC FD只證FA：FC=FD：FP FAD FCP1、過(guò)圓O內(nèi)的點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦與最短弦分別為10cm、8cm，則OP長(zhǎng)為 cm。2、圓內(nèi)接四邊形ABC