線性代數(shù)與運籌學(xué) 第一講

1、上 海 海 事 大 學(xué) 任課教師：鄧 偉郵 箱：課程安排課程安排 參考書目 運籌學(xué)張伯生 科學(xué)出版社 2007年管理運籌學(xué)第三版 韓伯棠 高等教育出版社 2010年工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 高等教育出版社 運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)（Operations Research） 系統(tǒng)工程的最重要的理論基礎(chǔ)之一，在美國有學(xué)者把運籌學(xué)稱之為管理科學(xué)（Management Science）。運籌學(xué)所研究的問題，可簡單地歸結(jié)為一句話： “依照給定條件和目標(biāo)，從眾多方案中選擇最佳方案?！?故有人稱之為最優(yōu)化技術(shù)。運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)（Operations Research） 運籌學(xué)是一門應(yīng)用

2、科學(xué)，至今沒有統(tǒng)一的定義。 據(jù) 大英百科全書釋義：“運籌學(xué)是一門應(yīng)用于管理有組織系統(tǒng)的科學(xué)”，“運籌學(xué)為掌管這類系統(tǒng)的人提供決策目標(biāo)和數(shù)量分析的工具”。運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)（Operations Research） 運籌學(xué)是一門應(yīng)用科學(xué)，至今沒有統(tǒng)一的定義。 據(jù) 大英百科全書釋義：“運籌學(xué)是一門應(yīng)用于管理有組織系統(tǒng)的科學(xué)”，“運籌學(xué)為掌管這類系統(tǒng)的人提供決策目標(biāo)和數(shù)量分析的工具”。運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)（Operations Research） 中國大百科全書的釋義為： 運籌學(xué) “用數(shù)學(xué)方法研究經(jīng)濟(jì)、民政和國防等部門在內(nèi)外環(huán)境的約束條件下合理分配人力、物力、財力等資源，使實際系統(tǒng)

3、有效運行的技術(shù)科學(xué)，它可以用來預(yù)測發(fā)展趨勢，制定行動規(guī)劃或優(yōu)選可行方案”。運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)（Operations Research） 中國管理百科全書的釋義為： “運運籌學(xué)是應(yīng)用分析、試驗、量化的方法，對籌學(xué)是應(yīng)用分析、試驗、量化的方法，對經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)中的人力、物力、財力等資源進(jìn)行統(tǒng)經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)中的人力、物力、財力等資源進(jìn)行統(tǒng)籌安排，為決策者提供有依據(jù)的最優(yōu)方案，以實現(xiàn)籌安排，為決策者提供有依據(jù)的最優(yōu)方案，以實現(xiàn)最有效的管理。最有效的管理?！边\籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)（Operations Research） 運籌學(xué)是運用科學(xué)的方法(如分析、試驗、量化等)來決定如何最佳地運營和設(shè)

4、計各種系統(tǒng)的一門學(xué)科。 簡而言之，運籌學(xué)就是一門研究系統(tǒng)優(yōu)化的學(xué)科。 運籌學(xué)強(qiáng)調(diào)以量化為基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)運籌學(xué)強(qiáng)調(diào)以量化為基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用現(xiàn)有的科學(xué)技術(shù)知識和數(shù)學(xué)方法，解決實際中提出的專門問題，技術(shù)知識和數(shù)學(xué)方法，解決實際中提出的專門問題，為決策者選擇最優(yōu)決策提供定量依據(jù)，具有多學(xué)科為決策者選擇最優(yōu)決策提供定量依據(jù)，具有多學(xué)科交叉的特點。交叉的特點。 通常以最優(yōu)、最佳等作為決策目標(biāo)，避開最劣的方案。運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)的歷史 在英國稱為: Operational Research 在美國稱為: “Operations Research” 可直譯為“運用研究”“作業(yè)研究”“運作研究

5、”。 1957 年，我國科技工作者從 “夫運籌帷幄之中，決勝千里之外”（史記 高祖本記）這句古語中摘取 “運籌” 二字，將 O.R. 正式譯作運籌學(xué)。運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)的歷史 中國古代：樸素的運籌學(xué)思想(田忌賽馬（對策論）、孫子兵法) 戰(zhàn)國時期，齊王與大臣賽馬： 齊 王: 上 中 下田 忌: 下 上 中田忌兩勝一負(fù)，以劣勢凈得千金。故有人稱之為最優(yōu)化技術(shù)?！斑\籌帷幄之中，決勝千里之外” 運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)的歷史 北宋真宗年間，皇城失火，皇宮被毀，朝廷決定 重建皇宮，時間非常緊迫。宋真宗：“沒有皇宮,如何上朝,如何議政,如何安居呢?” 宰相丁謂(9621033)負(fù)責(zé)修繕宮殿。

6、 瓦礫：失火中毀壞和修路中廢棄的瓦礫填溝筑 路。 解決三項任務(wù)：取土、外地材料運輸、處理瓦礫 取土：皇宮外的大街上挖溝取土； 運輸：引開封附近汴水入溝，使載運外地材料的船 只直接抵達(dá)宮前；運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)的歷史 “Operational Research”這一名詞最早出現(xiàn)在第二次世界大戰(zhàn)期間 美、英等國家的作戰(zhàn)研究小組為了解決作戰(zhàn)中所遇到的許多錯綜復(fù)雜的戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)問題而提出的。運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)的歷史 1946年 二次世界大戰(zhàn)期間，英美國家都發(fā)明制造了一些新式武器，如雷達(dá)，單武器的有效使用卻落后于武器的制造，難以正確評估和迅速提高這些武器的使用效率。1935年，英國軍方成

7、立了科學(xué)小組，研究如何有效地運用英國的一支力量有限的空軍，來抵抗敵人的空襲和對付敵人的潛艇。反潛戰(zhàn)爭、運輸問題、商船編隊和艦隊護(hù)航、武器質(zhì)量控制和檢測運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)的歷史 1946年 “運作研究運作研究(Operational Research)小組小組”:解決解決復(fù)雜的戰(zhàn)略和戰(zhàn)術(shù)問題。例如：復(fù)雜的戰(zhàn)略和戰(zhàn)術(shù)問題。例如：1. 如何合理運用雷達(dá)有效地對付德軍德空襲如何合理運用雷達(dá)有效地對付德軍德空襲2. 對商船如何進(jìn)行對商船如何進(jìn)行編隊編隊護(hù)航，使船隊遭受德國潛護(hù)航，使船隊遭受德國潛艇攻擊時損失最少；艇攻擊時損失最少；3. 在各種情況下如何調(diào)整反潛深水炸彈的爆炸深在各種情況下如何調(diào)

8、整反潛深水炸彈的爆炸深度，才能增加對德國潛艇的殺傷力等。度，才能增加對德國潛艇的殺傷力等。運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)的歷史 1947年-1960年代上半期 主要用于企業(yè)管理，理論上趨于成熟 。從軍事運籌研究轉(zhuǎn)向國民經(jīng)濟(jì)各個部門，取得了良好的效果。 基礎(chǔ)理論的研究，使之科學(xué)化、條理化 研究運籌學(xué)的新方法 企業(yè)管理運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)的歷史 1960年代下半期 運籌學(xué)的內(nèi)容越來越豐富，分工越來越細(xì)，產(chǎn)生了許多新的分支。 研究的系統(tǒng)由小而大，逐漸和系統(tǒng)分析相結(jié)合。 在時間上由短到長，逐漸和未來學(xué)結(jié)合。 研究的因素由技術(shù)性轉(zhuǎn)向非技術(shù)性，和社會科學(xué)結(jié)合。運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)的歷史 戰(zhàn)后

9、這些研究成果被應(yīng)用到生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，并得到迅速發(fā)展有關(guān)理論和方法的研究、實踐不斷深入。1947年美國數(shù)學(xué)家丹捷格(G.B.Dantzig）提出了求解線性規(guī)劃的有效方法單純形法。數(shù)學(xué)對運籌學(xué)的作用是有關(guān)理論和方法的研究基礎(chǔ)，是建立運籌學(xué)模型的工具。計算機(jī)的發(fā)展，促進(jìn)運籌學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展高速、可靠的計算是運籌學(xué)解決問題的基本保障。運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介1.選址問題3.切割問題4.路線選擇問題5.NEWSBOY問題6.飛行員排班問題2.裝箱問題 典型運籌學(xué)問題7.排隊服務(wù)問題8.人員招聘問題運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)學(xué)科體系： 規(guī)劃理論（線性規(guī)劃、運輸問題、整數(shù)規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、多

10、目標(biāo)規(guī)劃） 網(wǎng)絡(luò)流分析、圖與網(wǎng)絡(luò)計劃 庫存分析 決策分析 對策分析 排隊分析運籌學(xué)簡介 運籌學(xué)研究問題的主要步驟： 運籌學(xué)簡介目前國際、國內(nèi)著名的運籌學(xué)刊物有： Management ScienceOperations ResearchJournal of Operational Research SocietyEuropean Journal of Operations Research運籌學(xué)學(xué)報運籌與管理運籌學(xué)簡介運籌學(xué)簡介運籌學(xué)方法在中國使用情況(隨機(jī)抽樣) ：0 0101020203030404050506060707080809090統(tǒng)計統(tǒng)計計算機(jī)模擬計算機(jī)模擬網(wǎng)絡(luò)計劃網(wǎng)絡(luò)計劃線性規(guī)

11、劃線性規(guī)劃排隊論排隊論非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃對策論對策論從不使用從不使用有時使用有時使用經(jīng)常使用經(jīng)常使用運籌學(xué)簡介運籌學(xué)界對于運籌學(xué)的發(fā)展方向的觀點： 從強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型到強(qiáng)調(diào)應(yīng)用、建模協(xié)調(diào)發(fā)展，重視多學(xué)科的橫向交叉聯(lián)系和解決實際問題的研究；引入非數(shù)學(xué)方法(AHP方法，Pareto解)；人機(jī)對話和現(xiàn)代優(yōu)化算法(決策支持系統(tǒng)、專家系統(tǒng)；遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模擬退火、進(jìn)化算法、禁忌搜索等)。用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,12222212

12、12112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時，時，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程組的四個系數(shù)確定由方程組的四個系數(shù)確定. 由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表稱列）的數(shù)表)4(22211211aaaa

13、)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階稱稱為為數(shù)數(shù)表表（表表達(dá)達(dá)式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 11a12a22a12a主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計算二階行列式的計算若記若記,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa對于二元線性方程組對于二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,

14、2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式.2221121122111122aaaababaDDx . 12,12232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組解解1223 D)4(3 , 07

15、112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 二、三階行列式二、三階行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的數(shù)表列的數(shù)表行行個數(shù)排成個數(shù)排成設(shè)有設(shè)有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式稱為數(shù)表（）式稱為數(shù)表（5 5）所確定的）所確定的. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三

16、階行列式的計算三階行列式的計算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列標(biāo)列標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號元素的乘積冠以負(fù)號說明說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa

17、如果三元線性方程組如果三元線性方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求解三元線性方程組 2 2. . 三階行列式包括三階行列式包括3!3!項項, ,每一項都是位于不同行每一項都是位于不同行, ,不同列的三個元素的乘積不同列的三個元素的乘積, ,其中三項為正其中三項為正, ,三項為三項為負(fù)負(fù). . ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxax

18、abxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若記若記333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 記記,3332323222131211aabaabaabD 即即 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,33332321312323222121131

19、3212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baaba

20、abaaD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 則三元線性方程組的解為則三元線性方程組的解為:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 2-43-122-4-21D 計算三階行列式計算三階行列式按對角線法則，有按對角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322

21、xxxxD, 652 xx解得解得由由052 xx3.2 xx或或例例4 4 解線性方程組解線性方程組 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程組的系數(shù)行列式由于方程組的系數(shù)行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程組的解為故方程組的解為:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的程組引入的.對角線法則對

22、角線法則二階與三階行列式的計算二階與三階行列式的計算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小結(jié)三、小結(jié)一、概念的引入一、概念的引入引例引例用用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解解1 2 3123百位百位3種放法種放法十位十位1231個位個位12 32種放法種放法1種放法種放法種放法種放法.共有共有6123 二、全排列及其逆序數(shù)二、全排列及其逆序

23、數(shù)同的排法？同的排法？，共有幾種不，共有幾種不個不同的元素排成一列個不同的元素排成一列把把 n問題問題定義定義把把 個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 個個元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.nn 個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用用 表示表示.nnP由引例由引例1233 P. 6 nPn )1( n)2( n123 !.n 同理同理 在一個排列在一個排列 中，若數(shù)中，若數(shù) 則稱這兩個數(shù)組成一個逆序則稱這兩個數(shù)組成一個逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定義定義 我們規(guī)定各元素之間有一

24、個標(biāo)準(zhǔn)次序我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序, n 個個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序標(biāo)準(zhǔn)次序.排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定義定義 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù).例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序數(shù)為逆序數(shù)為31010故此排列的故此排列的逆序數(shù)為逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.計算排列逆序數(shù)的方法計算排列逆序數(shù)的方法方法方法1 1分別計算出排在分別計算出排在 前面比它大的數(shù)前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出碼之和即分別算出 這這 個元素個元素的

25、逆序數(shù)，這個元素的逆序數(shù)的總和即為所求的逆序數(shù)，這個元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù).n,n,121 n,n,121 n逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)序數(shù).方法方法2 2例例1 1 求排列求排列32514的逆序數(shù)的逆序數(shù).解解在

26、排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序數(shù)為逆序數(shù)為0;2的前面比的前面比2大的數(shù)只有一個大的數(shù)只有一個3,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為1;3 2 5 1 40 1 0 3 1于是排列于是排列32514的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為13010 t. 5 5的前面沒有比的前面沒有比5大的數(shù)大的數(shù),其逆序數(shù)為其逆序數(shù)為0;1的前面比的前面比1大的數(shù)有大的數(shù)有3個個,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為3;4的前面比的前面比4大的數(shù)有大的數(shù)有1個個,故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為1;例例2 2 計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性偶性. 2179863541解解4536897125443100

27、10 t18 此排列為此排列為偶排列偶排列.54 0100134 321212 nnn解解12 ,21 nn當(dāng)當(dāng) 時為偶排列；時為偶排列；14 ,4 kkn當(dāng)當(dāng) 時為奇排列時為奇排列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n2 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3 計算排列逆序數(shù)常用的方法有計算排列逆序數(shù)常用的方法有2 種種.1 1 個不同的元素的所有排列種數(shù)為個不同的元素的所有排列種數(shù)為n!.n三、小結(jié)三、小結(jié)一、概念的引入一、概念的引入三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaa

28、aaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 說明說明（1）三階行列式共有）三階行列式共有 項，即項，即 項項6!3（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積乘積（3）每項的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列）每項的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列 的三個元素的下標(biāo)排列的三個元素的下標(biāo)排列例如例如322113aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 211312 t322311aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正號正號 ,負(fù)號負(fù)號 .)1(3213213332312322211

29、31211 ppptaaaaaaaaaaaa二、二、n階行列式的定義階行列式的定義nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 記記作作的的代代數(shù)數(shù)和和個個元元素素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列列式式等等于于所所有有個個數(shù)數(shù)組組成成的的由由定義定義).det(ija簡記作簡記作的元素的元素稱為行列式稱為行列式數(shù)數(shù))det(ijijaa為這個排列的逆序數(shù)為這個排列的逆序數(shù)的一個排列，的一個排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD21212

30、1212122221112111 說明說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的定義的;2、 階行列式是階行列式是 項的代數(shù)和項的代數(shù)和;n!n3、 階行列式的每項都是位于不同行、不同階行列式的每項都是位于不同行、不同列列 個元素的乘積個元素的乘積;nn4、 一階行列式一階行列式 不要與絕對值記號相混淆不要與絕對值記號相混淆;aa 5、 的符號為的符號為nnpppaaa2121 .1t 例例1 1計算行列式計算行列式0004003002001000分析分析展開式

31、中項的一般形式是展開式中項的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa否則這個項為零。否則這個項為零。所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不為零的項為即行列式中不為零的項為.aaaa41322314例例2 2 計算上計算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不為零的項只有所以不

32、為零的項只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解例例3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 證明證明對角行列式對角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 證明證明第一式是顯然的第一式是顯然的,下面證第二式下面證第二式.若記若記,1

33、, iniia 則依行列式定義則依行列式定義11,21nnnaaa 證畢證畢一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. TDD記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211例如例如推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. .,571571 266853.825825 361567567361266853說明說明 行列式中行與列具有同等的地位行列式

34、中行與列具有同等的地位, 因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立. 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面子可以提到行列式符號的外面性質(zhì)性質(zhì)行列式中如果

35、有兩行（列）元素成比行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零例，則此行列式為零證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 則則D等于下列兩個行列式之和：等于下列兩個行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122

36、211111122211111例如例如性質(zhì)性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對應(yīng)的元素上去，行對應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjijnninjnjnjaakaaaaakaaackcaakaaa k例如例如例例2101044614753124025973313211 D二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而

37、算得行列式的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 312rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 514rr413rr2220001000211003512013211 34rr 222002010021100351201321

38、1 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 習(xí)題習(xí)題8(2):計算計算n階行列式階行列式abbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例例1010nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 設(shè)設(shè),)det(111

39、11kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明證明證明;0111111kkkkkpppppD 設(shè)為設(shè)為化為下三角形行列式化為下三角形行列式，把，把作運算作運算對對11DkrrDji 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把作運算作運算對對22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 設(shè)為設(shè)為,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化為下三角形行列式化為下三角形行列式把把算算列作運列作運，再對后，再對后行作運算行作運算的前的前對對DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21

40、DD 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb11110kkkpDpp1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb1111111111100kkkknnnknnnpppDccbbccbb1111111111100kkkknnnknnnpppDccbbccbb11210nnnqDqq 11111111110kkkknnknnnpppDccqccqq例例11 11 計算計算2 2n階行列式階行列式200000000nabababDcdcdcd解解 第第2 2n行依次與第行依次與第2 2n 1、第、第2行對換行對換(2(2n 2次次

41、),),再把第再把第2 2n列依次與第列依次與第2 2n 1、第、第2列對換列對換(2(2n 2次次) )得得200000000nabcdabDabcdcd 222(1)2(1)().nnnDD Dadbc D22(1)2(2)12()() ().()() .nnnnnDadbc Dadbcadbc DadbcDadbc,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333

42、123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.Mij ，記記ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231M

43、A .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .個個代代數(shù)數(shù)余余子子式式對對應(yīng)應(yīng)著著一一個個余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每個個元元素素分分別別引理引理 一個一個 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都為零，那末這行列式等于外都為零，那末這行列式等于 與它的與它的代數(shù)余子式的乘積，即代數(shù)余子式的乘積，

44、即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 證證nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行（列）展開法則二、行列式按行（列）展開法則nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaa

45、aaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 證證用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立時（時（當(dāng)當(dāng)12 n例例2證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxx

46、xxxxxxxD)1(，階范德蒙德行列式成立階范德蒙德行列式成立）對于）對于假設(shè)（假設(shè)（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展開開，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi 1nx從第 行開始，后行減去前行的 倍)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式推論推論 行列式任一行（列）

47、的元素與另一行（列）行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 證證行展開，有行展開，有按第按第把行列式把行列式j(luò)aDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,時時當(dāng)當(dāng)ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjn

48、ijiji 相同相同關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ;,0,1jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其中其中0532004140013202527102135 D例例 計算行列式計算行列式解解0532004140013202527102135 D23110 072066 6627210 .1080124220 2312 5414235 53204140132021352152 13rr 122 rr 計算計算2n階行列式階行列式將將D2n先按第先按第1列展開列展開, 再分別按第再分別按第2

49、n -1列展開列展開, 得得200000000nabababDcdcdcd200nababDacdcdd210( 1)0nbabcabcdcd 22(1)2(1)2(1)()()().nnnnDad Dbc Dadbc D22(1)2(2)12()() ().()() .nnnnnDadbc Dadbcadbc DadbcDadbc克萊姆克萊姆(Gabriel Cramer, 公元公元1704年年7月月31日日公公元元1752年年1月月4日日)瑞士數(shù)瑞士數(shù)學(xué)家。他一生未婚，專心學(xué)家。他一生未婚，專心治學(xué)，平易近人且德高望治學(xué)，平易近人且德高望重，先後當(dāng)選為倫敦皇家重，先後當(dāng)選為倫敦皇家學(xué)會、柏

50、林研究院和法國、學(xué)會、柏林研究院和法國、意大利等學(xué)會的成員。意大利等學(xué)會的成員。1.7 Cramer法則法則1.7 Cramer法則法則他的主要著作是在他的主要著作是在1750年出版的年出版的代數(shù)曲缐的分代數(shù)曲缐的分析引論析引論, 首先定義了正則、非正則、超越曲缐首先定義了正則、非正則、超越曲缐和無理曲缐等概念和無理曲缐等概念, 第一次正式引入坐標(biāo)系的縱第一次正式引入坐標(biāo)系的縱軸軸(y軸軸), 然後討論曲缐變換，并依據(jù)曲缐方程的然後討論曲缐變換，并依據(jù)曲缐方程的階數(shù)將曲缐進(jìn)行分類。為了確定經(jīng)過階數(shù)將曲缐進(jìn)行分類。為了確定經(jīng)過5個點的一個點的一般二次曲缐的系數(shù)般二次曲缐的系數(shù),應(yīng)用了著名的應(yīng)用了

51、著名的Cramers Rule, 即由缐性方程組的系數(shù)確定方程組解的表達(dá)式。即由缐性方程組的系數(shù)確定方程組解的表達(dá)式。該 法 則 於該 法 則 於 1 7 2 9 年 由 英 國 數(shù) 學(xué) 家 馬 克 勞 林年 由 英 國 數(shù) 學(xué) 家 馬 克 勞 林(Maclaurin)得到得到, 1748年發(fā)表年發(fā)表, 但克萊姆的優(yōu)越符但克萊姆的優(yōu)越符號使之流傳。此外，他還留下若干數(shù)學(xué)史筆記，號使之流傳。此外，他還留下若干數(shù)學(xué)史筆記，提出應(yīng)用於數(shù)理經(jīng)濟(jì)和概率論的提出應(yīng)用於數(shù)理經(jīng)濟(jì)和概率論的“數(shù)學(xué)效益數(shù)學(xué)效益”概概念。念。 一、克拉默法則一、克拉默法則如果線性方程組如果線性方程組)1(2211222221211

52、1212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式不等于零，即的系數(shù)行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的組右端的常數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即階行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么線性方程組那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表為可以表為 1教材例教

53、材例14 用克拉默則解方程組用克拉默則解方程組 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx.

54、 1272744 DDx二、重要定理二、重要定理定理定理1 1 如果線性方程組如果線性方程組 的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 則則 一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . . 1 1, 0 D定理定理2 2 如果線性方程組如果線性方程組 無解或有兩個不同的無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零解，則它的系數(shù)行列式必為零. . 1 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組,21不全為零不全為零若常數(shù)項若常數(shù)項nbbb則稱此方程組為則稱此方程組為非非 非齊次線性方程組非齊次線性方程組;,21全為零全為

55、零若常數(shù)項若常數(shù)項nbbb此時稱方程組為此時稱方程組為齊次線性方程組齊次線性方程組.非齊次與齊次線性方程組的概念非齊次與齊次線性方程組的概念齊次線性方程組的相關(guān)定理齊次線性方程組的相關(guān)定理 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 則齊次線性方程組則齊次線性方程組 沒有非零解沒有非零解. .0 D 2 2定理定理 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 2有非零解有非零解, ,則它則它的系數(shù)行列式必為零的系數(shù)行列式必為零. . 0002211222212112121

56、11nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解. .系數(shù)行列式系數(shù)行列式0 D習(xí)題習(xí)題12 問問 取何值時，齊次方程組取何值時，齊次方程組 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？ 解解 111132421D134211101 2134(1)212110013(1)(3)2121100 13(1)(3)2121100D23 齊次方程組有非零解，則齊次方程組有非零解，則0 D所以所以 或或 時齊次方程組有非零解時齊次方程組有非零解.20 ,3 1. 1. 用克拉默法則解方程組的兩個條件用克拉默法則解方程組的兩個條件(1)(1)

57、方程個數(shù)等于未知量個數(shù)方程個數(shù)等于未知量個數(shù); ;(2)(2)系數(shù)行列式不等于零系數(shù)行列式不等于零. .2. 2. 克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系. .它主要適用于理論推導(dǎo)它主要適用于理論推導(dǎo). .三、小結(jié)三、小結(jié)思考題思考題當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時, 能否用克拉默能否用克拉默法則解方程組法則解方程組? 為什么為什么? 此時方程組的解為何此時方程組的解為何?思考題解答思考題解答不能不能, 此時方程組的解為無解或有無窮多解此時方程組的解為無解或有無窮多解.把把 個不同的元

58、素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 個元個元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）nn個不同的元素的所有排列的種數(shù)用個不同的元素的所有排列的種數(shù)用 表示，表示，且且 nnP!nPn 逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列，逆序數(shù)為，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列在一個排列在一個排列 中，若數(shù)中，若數(shù) ，則稱這兩個數(shù)組成一個則稱這兩個數(shù)組成一個逆序逆序 nstiiiii21stii 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆逆序數(shù)序數(shù)分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之

59、和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)方法方法2 2方法方法1 1分別計算出排在分別計算出排在 前面比它大的前面比它大的數(shù)碼之和，即分別算出數(shù)碼之和，即分別算出 這這 個元素個元素的逆序數(shù)，這的逆序數(shù)，這 個元素的逆序數(shù)之總和即為所求個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)n,n,121 n,n,121 nn npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121222211121121211 ., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所

60、有排的所有排表示對表示對個排列的逆序數(shù)個排列的逆序數(shù)為這為這的一個排列的一個排列為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中ntnppppppnn . ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式乘此行列式等于用數(shù)等于用數(shù)一數(shù)一數(shù)中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零則此行列式則此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有兩行如果行列式有兩行行列式變號行列式變號列列互換行列式的兩行互換行列式的兩行即即式相等式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列行列式與它的轉(zhuǎn)置行列kk ., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行列式的值不變行列式的值不變對