線(xiàn)性代數(shù)-N階行列式的性質(zhì)

1、第二節(jié)第二節(jié) n階行列式的性質(zhì)階行列式的性質(zhì) 本節(jié)介紹行列式的一些性質(zhì)，并以此來(lái)解決本節(jié)介紹行列式的一些性質(zhì)，并以此來(lái)解決一般一般 n 階行列式的階行列式的簡(jiǎn)化計(jì)算簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題。問(wèn)題。 對(duì)對(duì) n 階行列式階行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)nnnnnnTaaaaaaaaaDD212221212111 )(為行列式為行列式 的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式（Transpose）。 D 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。 不難用不難用歸納法歸納法去證明，證明過(guò)程略。去證明，證明過(guò)程略。 稱(chēng)行列式稱(chēng)行列式 性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)

2、性質(zhì)1說(shuō)明，行列式中行和列的地位是對(duì)稱(chēng)的。說(shuō)明，行列式中行和列的地位是對(duì)稱(chēng)的。 行行行行jiaaaaaaDjnjjinii2121 行行行行jiaaaaaaDiniijnjj2121 互換第互換第i i行與行與j j行（行（ jinji，1）得）得 設(shè)行列式設(shè)行列式 證證互換行列式中兩行互換行列式中兩行( (列列) )，行列式值變號(hào)。，行列式值變號(hào)。 性質(zhì)性質(zhì)2DD 2112221122211211aaaaaaaaD 1122122112112221aaaaaaaaD 1 1） 當(dāng)當(dāng) n=2 n=2 時(shí)時(shí)顯然顯然DD 2）假設(shè)對(duì)階數(shù)為）假設(shè)對(duì)階數(shù)為 n-1 的行列式，結(jié)論成立，的行列式，結(jié)論成

3、立，下證對(duì)下證對(duì) n（3）階行列式命題結(jié)論也成立。）階行列式命題結(jié)論也成立。下面用下面用數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：iniliiknklkkjnjljjaaaaaaaaaaaaD211121 jnjlijknklkkiniliiaaaaaaaaaaaaD211121 位置互換外，其余各行均相同。位置互換外，其余各行均相同。并將行列式并將行列式 與與 DD都按第都按第 k k 行展開(kāi)，行展開(kāi)，由由第一節(jié)定理第一節(jié)定理1 1的結(jié)論，得到的結(jié)論，得到 取定一個(gè)取定一個(gè)k k（k k i i，j j），），注意到行列式注意到行列式中除去第中除去第i i行與第行與第j j行的行的與與 DD nlkl

4、lkklnlklklNaBaD111)(第第 k k行元素的行元素的余子式余子式 klMklN，都是都是n-1n-1階行列式階行列式121212iiilinkkklknjijljnaaaaaaaaDaaaa 121212jjjljnkkklkniiilinaaaaDaaaaaaaa klMklN nlkllkklnlklklMaAaD111)(余各行都相同。由歸納法假設(shè)知余各行都相同。由歸納法假設(shè)知 klklMN對(duì)對(duì)成立，成立，nl, 2 , 1從而由前面的兩個(gè)展開(kāi)式可從而由前面的兩個(gè)展開(kāi)式可知知DD對(duì)對(duì)n n階行列式也成立。階行列式也成立。 綜上，命題得證。綜上，命題得證。 如果行列式中有兩

5、行（列）元素對(duì)應(yīng)相如果行列式中有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)相等，則此行列式為零。等，則此行列式為零。 推論推論1而且而且, , klMklN，除去兩行的元素互換外，其除去兩行的元素互換外，其 行列式中的某一行行列式中的某一行(列列)中所有的元素都乘中所有的元素都乘以同一數(shù)以同一數(shù)k，等于用數(shù)，等于用數(shù) k 乘此行列式，乘此行列式，nnnnniiinnnnnniiinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212112111 證證 等式兩邊分別按第等式兩邊分別按第 i i 行展開(kāi)即得。行展開(kāi)即得。 性質(zhì)性質(zhì)3即即 行列式中某一行（列）中所有元素的公行列式中某一行（列）中所有元素的公

6、因數(shù)，可以提取到行列式符號(hào)的前面。因數(shù)，可以提取到行列式符號(hào)的前面。 如果行列式中某行（列）的元素全為零，如果行列式中某行（列）的元素全為零，則此行列式為零。則此行列式為零。 如果一個(gè)行列式的兩行（列）元素對(duì)應(yīng)如果一個(gè)行列式的兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式為零。成比例，則此行列式為零。推論推論2 2推論推論3 3推論推論4nnnnnnaaacccaaa212111211 如果行列式中某行如果行列式中某行(列列)的各元素都是兩的各元素都是兩數(shù)之和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式之和。數(shù)之和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式之和。nnnnnnnaaacbcbcbaaa21221111211 與性質(zhì)與性

7、質(zhì)3的證明類(lèi)似，將等式左邊的行列式的證明類(lèi)似，將等式左邊的行列式按第按第 i 行展開(kāi)即可。行展開(kāi)即可。 這個(gè)性質(zhì)一般稱(chēng)之為這個(gè)性質(zhì)一般稱(chēng)之為行列式分解行列式分解。證證性質(zhì)性質(zhì)4即即設(shè)該行為第設(shè)該行為第i i行行nnnnnnaaabbbaaa212111211 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的元素的的元素的 k (kR)倍加到另一行倍加到另一行(列列)上去，行列式的值不變。上去，行列式的值不變。jnjjjninjijiaaakaakaakaa212211 jnjjiniiaaaaaa2121證證 由推論由推論4和性質(zhì)和性質(zhì)4即可證得。即可證得。 性質(zhì)性質(zhì)5 即即Kjnjjiniiaaa

8、aaa2121 行列式的行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素與另一行與另一行(列列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，等于零， nkkjkiAa102211 njnijijiAaAaAaji 即即性質(zhì)性質(zhì)6 nkjkikAa102211 jninjijiAaAaAaji njnijijiaaaaaa1211或或作行列式作行列式行行行行jiaaaaaaDiniiinii2121 首先由性質(zhì)首先由性質(zhì)2的推論可知，當(dāng)?shù)耐普摽芍?，?dāng) ji 時(shí)時(shí), ,0D。則有則有 再再將它將它按第按第 j 行展開(kāi)行展開(kāi), ,證證 ( 把原行列式中的第把原行列式中的第 j 行元素也換

9、為與行元素也換為與 nkkjkiAaD1第第 i 行相同的元素行相同的元素 )從而從而 01 nkkjkiAa)(ji 命題得證。命題得證。 本章本章第一節(jié)中定理第一節(jié)中定理1 1 與上述與上述 性質(zhì)性質(zhì)6 6 的結(jié)論可的結(jié)論可以合并為統(tǒng)一的一個(gè)式子：以合并為統(tǒng)一的一個(gè)式子： DAajinkkjki 1其中其中 ,01jijiji 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 上述結(jié)論非常重要，它是證明許多其它命題的上述結(jié)論非常重要，它是證明許多其它命題的基礎(chǔ)。對(duì)行列式的基礎(chǔ)。對(duì)行列式的列列來(lái)說(shuō)也有同樣的性質(zhì)。來(lái)說(shuō)也有同樣的性質(zhì)。常稱(chēng)之為常稱(chēng)之為 函數(shù)函數(shù)（Kronecker Delta）二、小結(jié)二、小結(jié)行列式的行列式的六個(gè)六個(gè)性質(zhì)性質(zhì)行列式性質(zhì)的行列式性質(zhì)的四個(gè)四個(gè)推論推論三、思考題三、思考題8364010343123111 D 已知已知4 階行列式階行列式試求其試求其第二行第二行元素元素的代數(shù)余子式之和，即的代數(shù)余子式之和，即24232221AAAAS 技巧性題技巧性題思考題解答：思考題解答： 由由性質(zhì)性質(zhì)6可知：用行列式的可知