高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第44講)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1、題目 第七章直線和圓的方程直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系高考要求 1掌握直線和圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，能夠從代數(shù)特征（解或討論方程組）或幾何性質(zhì)去考慮2會(huì)運(yùn)用半徑長(zhǎng)、半徑、弦心距構(gòu)成的直角三角形減少運(yùn)算量知識(shí)點(diǎn)歸納1研究圓與直線的位置關(guān)系最常用的方法：判別式法；考查圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系。直線與圓的位置關(guān)系有三種，若，則 ; ; 2兩圓位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，3直線和圓相切：這類問(wèn)題主要是求圓的切線方程求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點(diǎn)兩種情況，而已知直線上一點(diǎn)又可分為已知圓上一點(diǎn)和圓外一點(diǎn)兩種情況過(guò)圓上一點(diǎn)的切線

2、方程：圓為切點(diǎn)的切線方程是。當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，表示切點(diǎn)弦的方程。一般地，曲線為切點(diǎn)的切線方程是：。當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，表示切點(diǎn)弦的方程。這個(gè)結(jié)論只能用來(lái)做選擇題或者填空題，若是做解答題，只能按照求切線方程的常規(guī)過(guò)程去做。過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程：4直線和圓相交：這類問(wèn)題主要是求弦長(zhǎng)以及弦的中點(diǎn)問(wèn)題5經(jīng)過(guò)兩個(gè)圓交點(diǎn)的圓系方程：經(jīng)過(guò)，的交點(diǎn)的圓系方程是：。在過(guò)兩圓公共點(diǎn)的圖象方程中，若=1，可得兩圓公共弦所在的直線方程6 經(jīng)過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程： 經(jīng)過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程是：7幾何法: 比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小8代數(shù)法: 討論圓的方程與直線方程的實(shí)數(shù)解的組數(shù)題型講解 例1 已知圓x2+y2+x

3、6y+m=0和直線x+2y3=0交于P、Q兩點(diǎn)，且OPOQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑分析：由于OPOQ，所以kOP·kOQ=1，問(wèn)題可解解：由消去x得5y220y+12+m=0設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），則y1、y2滿足條件y1+y2=4，y1y2=OPOQ，x1x2+y1y2=0而x1=32y1，x2=32y2，x1x2=96（y1+y2）+4y1y215+15+0m=3，此時(shí)0，圓心坐標(biāo)為（，3），半徑r=點(diǎn)評(píng)：(1)在解答中，我們采用了對(duì)直線與圓的交點(diǎn)“設(shè)而不求”的解法技巧，但必須注意這樣的交點(diǎn)是否存在，這可由判別式大于零幫助考慮(2)體會(huì)垂直條件是怎樣

4、轉(zhuǎn)化的，以及韋達(dá)定理的作用：處理y1,y2與x1,x2的對(duì)稱式 在解析幾何中經(jīng)常運(yùn)用韋達(dá)定理來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算例2 求經(jīng)過(guò)兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線xy4=0上的圓的方程分析：根據(jù)已知，可通過(guò)解方程組得圓上兩點(diǎn)，由圓心在直線xy4=0上，三個(gè)獨(dú)立條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程；也可根據(jù)已知，設(shè)所求圓的方程為，再由圓心在直線xy4=0上，定出參數(shù)，得圓方程解：因?yàn)樗蟮膱A經(jīng)過(guò)兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點(diǎn)，所以設(shè)所求圓的方程為展開、配方、整理，得+=+圓心為，代入方程xy4=0，得=7故所求圓的方程為點(diǎn)評(píng)：圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圓C2：x2+y2+D

5、2x+E2y+F2=0，若圓C1、C2相交，那么過(guò)兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為（x2+y2+D1x+E1y+F1）+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（R且1）它表示除圓C2以外的所有經(jīng)過(guò)兩圓C1、C2公共點(diǎn)的圓 例3 已知圓C：，直線l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)l的方程分析：直線過(guò)定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題便可解得（1）證明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0 mR，得即l恒過(guò)定點(diǎn)A（3，1）圓心C（1，2），AC5（半徑），點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交于兩點(diǎn)（2）解：

6、弦長(zhǎng)最小時(shí)，lAC，由kAC，l的方程為2xy5=0點(diǎn)評(píng)：若定點(diǎn)A在圓外，要使直線與圓相交則需要圓心到直線的距離小于半徑。例4 一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P被圓截得的弦長(zhǎng)為8, 求此弦所在直線方程解: (1)當(dāng)斜率k不存在時(shí), 過(guò)點(diǎn)P的直線方程為,代入,得弦長(zhǎng)為,符合題意(2)當(dāng)斜率k存在時(shí),設(shè)所求方程為,即 由已知,弦心距 ,解得 所以此直線方程為 ,即 所以所求直線方程為 或點(diǎn)評(píng): 關(guān)于圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題,可用幾何法從半徑、弦心距、半弦所組成的直角三角形求解,也可用代數(shù)法的弦長(zhǎng)公式求解本題還要注意,斜率不存在時(shí)直線符合題意例5 自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在的直線與圓相切,

7、求光線所在的直線方程解：由已知可得圓C：關(guān)于x軸對(duì)稱的圓C的方程為，其圓心C（2，-2），則與圓C相切，設(shè): y-3=k(x+3),，整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或，所以所求直線方程為y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0點(diǎn)評(píng): 關(guān)于求切線問(wèn)題,利用圓心到切線的距離等于圓的半徑的條件,是求圓的切線方程的常用方法若本題由“”求切線方程也可,但過(guò)程要復(fù)雜些例6 如果實(shí)數(shù)滿足,求的最大值、2x-y的最小值解:（1）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率的最大值, 由圖形性質(zhì)可知, 由原點(diǎn)向圓作切線,其中切線斜率的最大值即為的最大值設(shè)過(guò)原

8、點(diǎn)的直線為y=kx,即kx-y=0,由,解得或（2）x,y滿足, 另法：應(yīng)用線性規(guī)劃的思路，如圖， 2x-y的最小值或最大值就在直線2x-yb與圓的切點(diǎn)處達(dá)到。由,解得或點(diǎn)評(píng): 圓的有關(guān)幾何性質(zhì)的應(yīng)用往往可以簡(jiǎn)化問(wèn)題,由圓的參數(shù)方程設(shè)圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)在解題中應(yīng)用也非常廣泛例7 一個(gè)圓和已知圓外切,并與直線: 相切于點(diǎn)M（）,求該圓的方程解: 已知圓方程化為: ,其圓心P（1,0）,半徑為1設(shè)所求圓的圓心為C（a,b）,則半徑為, 因?yàn)閮蓤A外切, ,從而1+ (1)又所求圓與直線：相切于M(),直線,于是,即 （2）將（2）代入（1）化簡(jiǎn),得a2-4a=0, a=0或a=4當(dāng)a=0時(shí),所求圓方程為

9、當(dāng)a=4時(shí),b=0,所求圓方程為例8 已知O方程為x2+y2=4，定點(diǎn)A（4，0），求過(guò)點(diǎn)A且和O相切的動(dòng)圓圓心的軌跡分析：兩圓外切，連心線長(zhǎng)等于兩圓半徑之和，兩圓內(nèi)切，連心線長(zhǎng)等于兩圓半徑之差，由此可得到動(dòng)圓圓心在運(yùn)動(dòng)中所應(yīng)滿足的幾何條件，然后將這個(gè)幾何條件坐標(biāo)化，即得到它的軌跡方程解法一：設(shè)動(dòng)圓圓心為P（x，y），因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A，所以|PA|即動(dòng)圓半徑當(dāng)動(dòng)圓P與O外切時(shí)，|PO|=|PA|+2；當(dāng)動(dòng)圓P與O內(nèi)切時(shí)，|PO|=|PA|2綜合這兩種情況，得|PO|PA|=2將此關(guān)系式坐標(biāo)化，得|=2化簡(jiǎn)可得（x2）2=1解法二：由解法一可得動(dòng)點(diǎn)P滿足幾何關(guān)系|OP|PA|=2，即P點(diǎn)到兩定點(diǎn)

10、O、A的距離差的絕對(duì)值為定值2，所以P點(diǎn)軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，中心在OA中點(diǎn)（2，0），實(shí)半軸長(zhǎng)a=1，半焦距c=2，虛半軸長(zhǎng)b=，所以軌跡方程為（x2）2=1小結(jié)：1有關(guān)直線和圓的位置關(guān)系，一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來(lái)確定2當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長(zhǎng)一般要用切線、半徑及圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形；與圓相交時(shí)，弦長(zhǎng)的計(jì)算也要用弦心距、半徑及弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形3有關(guān)圓的問(wèn)題，注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用4在確定點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，經(jīng)常要用到距離，因此，兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公

11、式等應(yīng)熟練掌握，靈活運(yùn)用5使用圓的參數(shù)方程在解決有關(guān)最值問(wèn)題時(shí)可以使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單6解圓與直線的綜合問(wèn)題時(shí),注意數(shù)形結(jié)合及利用圓的幾何性質(zhì)學(xué)生練習(xí) 1x軸與圓的位置關(guān)系是（ ）A 相切 B 相離 C 相交且不過(guò)圓心 D 通過(guò)圓心答案: A2圓與圓的位置關(guān)系是（ ）A 相離 B 外切 C 相交 D 內(nèi)切答案:C3由點(diǎn)M(5,3)向圓所引切線長(zhǎng)是（ ）A B C 51 D 1答案: A4圓與圓的位置關(guān)系是（ ）A 相離 B 外切 C 相交 D 內(nèi)切答案: C5在圓上,與直線4x+3y-12=0的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A B C D 答案: B6若動(dòng)圓與圓相外切,且與直線x=2相切,則動(dòng)圓圓心的軌

12、跡方程是（ ）A y2+12x-12=0 B y2-12x+12=0 C y2+8x=0 D y2-8x=0答案: A7直線x=2被圓所截弦長(zhǎng)等于,則a的值為（ ）A -1或-3 B 或 C 1或3 D 答案: C8集合,且僅有2個(gè)元素,則a的值為（ ）A 1 B 0 C -1 D 0,1答案: B9設(shè)m>0，則直線（x+y）+1+m=0與圓x2+y2=m的位置關(guān)系為A相切 B相交 C相切或相離 D相交或相切解：圓心到直線的距離為d=，圓半徑為dr=（m2+1）=（1）20，直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離答案：C10圓x2y24x+4y+6=0截直線xy5=0所得的弦長(zhǎng)等于A B C1

13、D5解：圓心到直線的距離為，半徑為，弦長(zhǎng)為2=答案：A11圓x2+y24x=0在點(diǎn)P（1，）處的切線方程為Ax+y2=0 Bx+y4=0 Cxy+4=0 Dxy+2=0解法一：x2+y24x=0， y=kxk+x24x+（kxk+）2=0該二次方程應(yīng)有兩相等實(shí)根，即=0，解得k=y=（x1），即xy+2=0解法二：點(diǎn)（1，）在圓x2+y24x=0上，點(diǎn)P為切點(diǎn)，從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直又圓心為（2，0），·k=1解得k=，切線方程為xy+2=0答案：D12若過(guò)兩點(diǎn)A(-1,0),B(0,2)的直線與圓相切,則a=_答案: 13如果直線將圓平分,且不通過(guò)第四象限,那么的斜率取值范

14、圍是_答案: 14方程的曲線形狀是_答案:圓或二射線15過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P（3,1）的切線方程為_答案: 3x+y=r216兩圓x2+y2=16 及（x-4）2+（y+3）2=R（R>0）在交點(diǎn)處的切線互相垂直,則R=_答案:317由點(diǎn)P(6,8)作圓x2+y2=9的切線，則切線長(zhǎng)等于 (),兩切點(diǎn)所在的直線方程是 (6x+8y9=0)說(shuō)明求切線的方法18經(jīng)過(guò)圓(xa)2+(yb)2=r2上一點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程是 ( (x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2 )說(shuō)明：當(dāng)圓的方程為x2+y2=r2 (即a=b=0) 時(shí)，過(guò)圓上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x

15、0x+y0y=r2,應(yīng)記住這個(gè)公式19P(3,0)為圓C:x2+y28x2y+12=0內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的最短弦所在的直線方程是 ( x+y3=0 )用勾股定理推導(dǎo)出所求直線垂直于CP（提問(wèn)是哪條直線即可，然后立即給出答案）20已知圓的方程是(x1)2+y2=1,過(guò)原點(diǎn)O作圓的弦，則弦的中點(diǎn)M的軌跡方程是 ( (x1/2)2+y2=1/4 (x¹0) )提示：設(shè)已知圓的圓心是P，則M的軌跡是以O(shè)P為直徑的圓去掉O21若圓(x3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x3y=2的距離等于1,則半徑r的取值范圍是 ( 4<r<6 )提示：圓心P(3,5)到直線4x3y=2

16、的距離等于5,由|5r|<1得 4<r<622圓x2+y2+2x+4y3=0上到直線4x3y=2的距離為的點(diǎn)公有_個(gè)( 3 )提示：圓的半徑為2,計(jì)算圓心(1,2)到直線x+y+1=0的距離為d=,即可作出判斷23 曲線與直線y=k（x-2）+4有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案: 24圓心在直線2xy7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A（0，4）、B（0，2），則圓C的方程為_解析：圓C與y軸交于A（0，4），B（0，2），由垂徑定理得圓心在y=3這條直線上又已知圓心在直線2xy7=0上，聯(lián)立y=3，2xy7=0 解得x=2，圓心為（2，3），半徑r=|AC|=所求圓C的方程

17、為（x2）2+（y+3）2=5答案：（x2）2+（y+3）2=525若直線y=x+k與曲線x=恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是_答案：1k1或k=26一個(gè)圓的圓心在直線x-y-1=0上,與直線4x+3y+14=0相切,在3x+4y+10=0上截得弦長(zhǎng)為6,求圓的方程解:由圓心在直線x-y-1=0上,可設(shè)圓心為（a,a-1）,半徑為r,由題意可得 ,經(jīng)計(jì)算得a=2,r=5所以所求圓的方程為（x-2）2+（y-1）2=2527已知圓C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線L,使以L被圓C截得弦AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)?若存在,寫出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由解:設(shè)直線L的斜率為

18、，且L的方程為y=x+b,則消元得方程x2+（2b+2）x+b2+4b-4=0,設(shè)此方程兩根為x1,x2，則x1x2（b+1）,y1+y2= x1x2+2b=b-1,則中點(diǎn)為，又弦長(zhǎng)為，由題意可列式解得b=1或b=-9,經(jīng)檢驗(yàn)b=-9不合題意所以所求直線方程為y=x+128求圓C1: 與圓C2: 的公共弦所在直線被圓C3:所截得的弦長(zhǎng)解: 圓C1與圓C2的公共弦所在直線方程為: 即x+y-1=0圓心C3到直線x+y-1=0的距離。所以所求弦長(zhǎng)為。課前后備注 1若圓（x3）2（y+5）2r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x3y=2的距離等于1，則半徑r的范圍是A（4，6） B4，6） C（4，6 D4，6答案：A2已知直線ax+by+c=0（abc0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長(zhǎng)分別為a、b、c的三角形A是銳角三角形 B是直角三角形 C是鈍角三角形 D不存在解：由題意得=1，即c2=a2+b2，由a、b、c構(gòu)成的三角形為直角三角形 答案：B3若圓x2+y2+mx=0與直線y=1相切，且其圓心在y軸的左側(cè)，則m的值為_解：圓方程配方得（x+）2+y2=，圓心