高中數學新課程創(chuàng)新教學設計案例篇等差數列的前項和

1、46等差數列的前n項和教材分析等差數列的前n項和是數列的重要內容，也是數列研究的基本問題.在現實生活中，等差數列的求和是經常遇到的一類問題.等差數列的求和公式，為我們求等差數列的前n項和提供了一種重要方法教材首先通過具體的事例，探索歸納出等差數列前n項和的求法，接著推廣到一般情況，推導出等差數列的前n項和公式.為深化對公式的理解，通過對具體例子的研究，弄清等差數列的前n項和與等差數列的項、項數、公差之間的關系，并能熟練地運用等差數列的前n項和公式解決問題.這節(jié)內容重點是探索掌握等差數列的前n項和公式，并能應用公式解決一些實際問題，難點是前n項和公式推導思路的形成.教學目標1 .通過等差數列前n

2、項和公式的推導，讓學生體驗數學公式產生、形成的過程，培養(yǎng)學生抽象概括能力2 .理解和掌握等差數列的前n項和公式，體會等差數列的前n項和與二次函數之間的聯(lián)系，并能用公式解決一些實際問題，培養(yǎng)學生對數學的理解能力和邏輯推理能力3 .在研究公式的形成過程中，培養(yǎng)學生的探究能力、創(chuàng)新能力和科學的思維方法任務分析這節(jié)內容主要涉及等差數列的前n項公式及其應用.對公式的推導，為便于學生理解，采取從特殊到一般的研究方法比較適宜，如從歷史上有名的求和例子1+2+3+100的高斯算法出發(fā)，一方面引發(fā)學生對等差數列求和問題的興趣，另一方面引導學生發(fā)現等差數列中任意的第k項與倒數第k項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律，

3、進而發(fā)現求等差數列前n項和的一般方法，這樣自然地過渡到一般等差數列的求和問題.對等差數列的求和公式，要引導學生認識公式本身的結構特征，弄清前n項和與等差數列的項、項數、公差之間的關系為加深對公式的理解和運用，要強化對實例的教學，并通過對具體實例的分析，引導學生學會解決問題的方法特別是對實際問題，要引導學生從實際情境中發(fā)現等差數列的模型，恰當選擇公式.對于等差數列前n項和公式和二次函數之間的聯(lián)系，可引導學生拓展延伸教學設計一、問題情景1 .在200多年前，有個10歲的名叫高斯的孩子，在老師提出問題：“訃2+3+100=?”時，很快地就算出了結果.他是怎么算出來的呢？他發(fā)現1+100=2+99=3

4、+97=50+51=101,于是1+2+100=101X50=5050.2 .受高斯算法啟發(fā)，你能否求出1+2+3+-+11的和.3 .高斯的方法妙在哪里呢？這種方法能否推廣到求一般等差數列的前n項和？二、建立模型1 .數列的前n項和定義對于數列an,我們稱a1+a2+an為數列an的前n項和，用Sn表示，即Sn=a1+a2+an.2 .等差數列的求和公式(1)如何用高斯算法來推導等差數列的前n項和公式？對于公差為d的等差數列an：Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n1)d,依據(Wj斯算法，將Sn表不'為Sn=an+(an-d)+(an2d)+an(n1)d.由此得到

5、等差數列的前n項和公式小結：這種方法稱為反序相加法，是數列求和的一種常用方法(2)結合通項公式an=a1+(n1)d,又能得怎樣的公式?(3)兩個公式有什么相同點和不同點，各反映了等差數列的什么性質？學生討論后，教師總結：相同點是利用二者求和都須知道首項a1和項數n;不同點是前者還須要知道an,后者還須要知道d.因此，在應用時要依據已知條件合適地選取公式.公式本身也反映了等差數列的性質：前者反映了等差數列的任意的第k項與倒數第k項的和都等于首、末兩項之和，后者反映了等差數的前n項和是關于n的沒有常數項的上次函數”.三、解釋應用題1.根據下列各題中的條件，求相應的等差數列an的前n項和Sn.（1

6、）ai=4,88=18,n=8.（2）ai=14.5,d=0.7,an=32.注：恰當選用公式進行計算2 .已知一個等差數列an前10項的和是310,前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎？分析：將已知條件代入等差數列前n項和的公式后，可得到兩個關于a1與d的關系式,它們都是關于a1與d的二元一次方程，由此可以求得a1與d,從而得到所求前n項和的公式解：由題意知注：（1）教師引導學生認識到等差數列前n項和公式，就是一個關于an,a1,n或者a1,n,d的方程，使學生能把方程思想和前n項和公式相結合，再結合通項公式，對a1，d,n,an及Sn這五個量知其三便可求其

7、二.（2）本題的解法還有很多，教學時可鼓勵學生探索其他的解法例如，3 .2000年11月14日教育部下發(fā)了關于在中小學實施“校校通”工程的通知某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網據測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費500萬元為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？教師引學生分析：每年校校通”工程的經費數構成公差為50的等差數列.問題實質是求該數列的前10項的和解：根據題意，從20012010年，該市每年投入校校通”工程的經

8、費都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數列an,表示從2001年起各年投入的資金，其中，ai=500,d=50.那么，至IJ2010年（n=10）,投入的資金總額為答：從20012010年，該市在校校通”工程中的總投入是7250萬元.注：教師引導學生規(guī)范應用題的解題步驟4 .已知數列an的前n項和Sn=n2+求這個數列的通項公式這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？解：根據由此可知，數列an是一個首項為公差為2的等差數列思考：一般地，數列an前n項和Sn=An2+Bn(Aw0),這時an是等差數列嗎？為什么？練習1 .一名技術人員計劃用下面的辦法測試一種賽車：從時速

9、10km/h開始，每隔2s速度提高20km/h.如果測試時間是30s,測試距離是多長？2 .已知數列an的前n項的和為Sn=n2+n+4,求這個數列的通項公式.3 .求集合M=m|m=2n-1,nCN*,且mV60的元素個數，并求這些元素的和四、拓展延伸1 .數列an前n項和Sn為Sn=pn2+qn+r（p,q,r為常數且pwo）,則an成等差數列的條件是什么？2.已知等差數列5，4,的前n項和為Sn,求使Sn最大的序號的值.分析1:等差數列的前n項和公式可以寫成Sn=n2+(ai)n，所以Sn可以看成函數x2+(ai)x(xCN*).當x=n時的函數值.另一方面，容易知道&關于n的圖像是一條拋物線上的一些點.因此，我們可以利用二次函數來求n的值.,的公差為一于是，當n取與最接近的整數即 7 或 8時，Sn取最大值<0,所以此分析2:因為公差d=數列為遞減數列，如果知道從哪一項開始它后邊的項全為負的，而它之前的項是正的或者是零，那么就知道前多少項的和最大了即使然后從中求出n.點評這篇案例從具體的實例出發(fā)，引出等差數列的求和問題，在設計上，設計者注意激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望，通過等差數列求和公式的探索過程，培養(yǎng)學生觀察、探索、發(fā)現規(guī)律、解決問題的能力對例題、練習的