高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)學(xué)案新人教A版必修4

1、高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)學(xué)案新人教A版必修4r1學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航I1 .掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，會(huì)判斷三角函數(shù)值的符號(hào),（重點(diǎn)）2 .掌握誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用.（重點(diǎn)）3 .了解三角函數(shù)線的意義，會(huì)利用三角函數(shù)線表示任意角的正弦、余弦、正切.（難點(diǎn)）階段1認(rèn)知預(yù)習(xí)質(zhì)疑1基礎(chǔ)初探教材整理1任意角的三角函數(shù)閱讀教材P11P12例1以上內(nèi)容，完成下列問題.1 .單位圓：在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓2 .定義：圖 1-2-1在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)Rx,y）,那么：（1） y叫做a的正弦,記作sina

2、,即sina=y;（2） X叫做a的余弦,記作cosa,即COSa=X;（3） y叫做a的正切,記作tana,即tana=y（xw。）.xx對(duì)于確定的角a,上述三個(gè)值都是唯一確定的.所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).3 .正弦函數(shù)sina的定義域是R;余弦函數(shù)cosa的定義域是R;正切函數(shù)tana的一一,兀一7E義域是xxCR,且xwk71+-,kCZ.C微體go判斷（正確的打，錯(cuò)誤的打“X”）y由sina=丁故角a終邊上的點(diǎn)P(x,y)滿足y越大，sina的值越大.()(2)終邊相同的角，其三角函數(shù)值也相等.()2

3、2三角函數(shù)是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函【解析】(1)當(dāng)y越大時(shí)，y比值不變，故sina不變.(2)由正弦定義知正確.(3)由三角函數(shù)定義知正確X(2)V(3)V教材整理2正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)閱讀教材P13 “探究”內(nèi)容，完成下列問題圖 1-2-2口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.口鎖體驗(yàn)口0.(填已知a是第三象限角，則sina教材整理3誘導(dǎo)公式一閱讀教材P14 “例4”以上內(nèi)容，完成下列問題iui(I+k*Hit)=tiinafk£Zcos11 71611 717171cos6- = cos 2 % + - = cos-,32

4、.教材整理4三角函數(shù)線閱讀教材P15倒數(shù)第四行至P17“練習(xí)”以上部分，完成下列問題.1 .（1）把規(guī)定了正方向的直線稱為有向直線.（2）有向線段：規(guī)定了方向（即規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)）的線段稱為有向線段.2 .三角函數(shù)線的定義：如圖1-2-3,設(shè)任意角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)0（0亦為單位圓圓心）,始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)Rx,y）,過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M過點(diǎn)A（1,0）作單位圓的切線，設(shè)它與角a的終邊（當(dāng)a位于第一、四象限時(shí)）或其反向延長(zhǎng)線（當(dāng)a位于第二、三象限時(shí)）相交于點(diǎn)T（由于過切點(diǎn)的半徑垂直于圓的切線，所以AT平行于y軸）.于是sin圖 1-2-3a = y= MP cos

5、 a = x= OM tan aML 空 at xOM" OA11我們規(guī)定與坐標(biāo)軸同向時(shí)，方向?yàn)檎颍c坐標(biāo)軸反向時(shí)，方向?yàn)樨?fù)向，則有向線段MPOMLAT分別叫做角a的正弦線、余弦線、正切線.3 .軸線角的三角函數(shù)線：當(dāng)角a的終邊與x軸重合時(shí)，正弦線、正切線分別變成一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)角a的正弦值和正切值都為0；當(dāng)角a的終邊與y軸重合時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線不存在,此時(shí)角a的正切值不存在.微體驗(yàn)0如圖1-2-4,在單位圓中角a的正弦線、正切線完全正確的是（）圖 1-2-4A.正弦線PM正切線AT'B.正弦線MP正切線ATC.正弦線MP正切線ATD.正弦線PM正切線AT【解析】【答

6、案】 Ca為第三象限角，故正弦線為MP正切線為AT,C正確.狗合作探究通關(guān)小組合作型1外書任意角三角函數(shù)的定義及應(yīng)用，例U若Sina=3-,COSa=4,則在角a終邊上的點(diǎn)有()55A.(4,3)B.(3,4)C.(4,3)D.(3,4)(2)右a=,則sina=,COSa=,tana=3(3)已知角a的終邊過點(diǎn) P( 3a, 4a)( aw。)，則 2sin a + cos a =【精彩點(diǎn)撥】準(zhǔn)確理解任意角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵【自主解答】(1)由 sin a , cosa的定義知x=4, y = 3, r = 5時(shí)，滿足題意，故選A.兀(2)因?yàn)榻且粀的終邊與單位圓交于3所以sin a

7、13, cos21a = 2(3) 因?yàn)?r=q 3a_2+4a_2 = 5| a| ,若a>0,貝U r = 5a,角a在第二象限,siny 4a 45a 5'cosx3a3r 5a5所以2sina + COs a3 5=1.若a<0,則r = 5a,角a在第四象限,sin4aa =_5a-3a 30c = -5a=5所以2sina+cosa=二+匚=1.55【答案】(1)A(2)專2一/(3)1或1由角a終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求其三角函數(shù)值的步驟:(1)已知角a的終邊在直線上時(shí)，常用的解題方法有以下兩種:先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求

8、出相應(yīng)三角函數(shù)值在a的終邊上任選一點(diǎn)P(x,y),P到原點(diǎn)的距離為r(r>0).則sina=：,cosa=x-.已知a的終邊求a的三角函數(shù)時(shí)，用這幾個(gè)公式更萬(wàn)便.r(2)當(dāng)角a的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，一定注意對(duì)字母正、負(fù)的辨別，若正、負(fù)未定，則需分類討論.II再練一題1.設(shè)函數(shù)f(e)=43sine+cose,其中，角e的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)Rx,y),且0WeWit.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為；中，求f(0)的值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00680006】【解】由點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,平和三角函數(shù)定義得sin0=、23，cos8=1，31所以f(8)=$sin0+cos0=

9、a/3x+2=2.三角函數(shù)符號(hào)的判斷卜例3判斷下列各式的符號(hào).(1)sin2015°cos2016°tan2017°(2)tan191°-cos190°(3)sin2cos3tan4.【精彩點(diǎn)撥】角度確定了，所在的象限就確定了，三角函數(shù)值的符號(hào)也就確定了，因此只需確定角所在象限，即可進(jìn)一步確定各式的符號(hào)【自主解答】(1)/2015。=1800。+215°=5X360°+215°,2016°=5X360°+216°,2017°=5X360°+217°,.它們

10、都是第三象限角，sin2015°<0,cos2016°<0,tan2017°>0,.sin2015°cos2016°tan2017°>0.(2) 191°角是第三象限角，tan191°>0,cos191°<0,.tan191°-cos191°>0.2<2<兀，2<3<兀，兀<4爺，.2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角,sin2>0,cos3<0,tan4>0,sin2cos3tan4&

11、lt;0.UL判斷三角函數(shù)值在各象限符號(hào)的攻略：1基礎(chǔ)：準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限；2關(guān)鍵：準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號(hào)；3注意：用弧度制給出的角常常不寫單位，不要誤認(rèn)為角度導(dǎo)致象限判斷錯(cuò)誤II再練一題2.(1)已知點(diǎn)P(tana,cosa)在第四象限，則角a終邊在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2)下列各式:sin(100°);cos(-220°);tan(10);cos兀.其中符號(hào)為負(fù)的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)tana>0,【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，所以有由此可判斷角a終邊在第cosa<0,三象限.(2)-

12、100°在第三象限，故sin(-100°)<0;-220°在第二象限，故cos(220°)<0;10C7兀，一3兀,在第二象限，故tan(10)<0；cos兀=1<0.(1)C(2)D誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用例圖求下列各式的值：(1)a2sin(-1350°)+b2tan405°2abcos(-1080°)；(2)sin+cos兀tan4兀.65【精彩點(diǎn)撥】利用誘導(dǎo)公式，把每個(gè)角化為0,2兀)間的角，再利用特殊角的三角函數(shù)求值.【自主解答】原式=a2sin(-4X360°+90°)+b2t

13、an(360°+45°)-2abcos(3X360°)=a2sin90°+b2tan45°2abcos0°=a2+b22ab=(ab)2.(2)sin一?兀+cosTttan4兀65,c ,兀=sin 2 % + 6+ cos星兀 tan 057t= sin + 0= 2.1 .利用誘導(dǎo)公式一可把任意角的三角函數(shù)化歸為0,2兀)內(nèi)的三角函數(shù)，實(shí)現(xiàn)“負(fù)化正,大化小”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸轉(zhuǎn)化思想2 .一定要熟記一些特殊角的三角函數(shù)，有利于準(zhǔn)確求值再練一題3 .求下列各式的值：小25,15(1)cos%+tan"4兀；(2)sin

14、810°+tan1125°+cos420=cosc ，兀.8 兀 + "3- + tan兀兀=cos y + tan -(2)原式=sin(2X360°+90°)+tan(3x360°+45°)+cos(360°+60°)=sin90°+tan45°+cos60°=1+1+-=-.22探究共研型三角函數(shù)線問題探究1有人說：在三角函數(shù)線上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosa,sina),點(diǎn)T的坐標(biāo)為(1,tana),你認(rèn)為正確嗎？【提不】正確.由三角函數(shù)的定義可知sina=；,COSa=1

15、，而在單位圓中，=1,所以單位圓上的點(diǎn)都是(cosa,sina)；另外角的終邊與直線x=1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是1,所以根據(jù)tana=X,知縱坐標(biāo)y=tana,所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為(1,tana).探究2利用三角函數(shù)線如何解答形如sina>a,sina<a(|a|<1);cosa>a,cosa<a(|a|<1)的不等式.【提示】(1)對(duì)形如sina>a,sinawa(|a|w1)的不等式：畫出如圖所示的單位圓；在y軸上截取O陣a,過點(diǎn)(0,a)作y軸的垂線交單位圓于兩點(diǎn)P和P',并彳射線O可口OP;寫出終邊在O可口OP上的角的集合；圖中陰影部分即為滿足

16、不等式sin“wa的角風(fēng)的范圍，其余部分即為滿足不等式sin”>a的角風(fēng)的范圍.圖(2)對(duì)形如cosa>a,cosa<a(|a|w1)的不等式：畫出如圖所示的單位圓；在x軸上截取OM=a,過點(diǎn)(a,0)作x軸的垂線交單位圓于兩點(diǎn)P和P',作射線O可口OP；寫出終邊在OP和OP上的角的集合；圖中陰影部分即為滿足不等式cosawa的角oc的范圍，其余部分即為滿足不等式cosa>a的角a的范圍.圖卜例日在單位圓中畫出適合下列條件的角a的終邊范圍，并由此寫出角a的集合.(1)sin狂坐(2)cosa<-2.【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)三角函數(shù)線，在單位圓中首先作出滿足Sin”

17、=、23,COS"=2的角的終邊，然后由已知條件確定角”的終邊范圍.【自主解答】（1）作直線v=專,交單位圓于A,B兩點(diǎn)，連接OAOB則OA與OBH成的區(qū)域（圖（1）中陰影部分）即為角a的終邊的范圍.故滿足條件的角a的集合為：a2kit+WaW2kTtH3-,kCZ.1（2）作直線x=2,交單位圓于C,D兩點(diǎn)，連接OC與OD則OC與OD0成的區(qū)域（圖（2）中的陰影部分）即為角故滿足條件的角a的終邊的范圍.a的集合為22k%+<aw2k兀+-r-,kCZ.33名師1 .三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問題的工具，要注意利用其來解決問題2 .三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式、

18、比較大小及求函數(shù)的定義域，在求三角函數(shù)定義域時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為不等式（組），因此必須牢固掌握三角函數(shù)線的畫法及意義'1再練一題4 .求函數(shù)y=2cosx1的定義域.【解】由題意得：2cosx-1>0,、1則有COSx>2.1如圖在x軸上取點(diǎn)M使OW2,過M作x軸的垂線交單位圓于點(diǎn)P1,R,連接OP,OP則OP與OP圍成的區(qū)域（如圖中陰影部分）即為角x的終邊的范圍.1,，滿足cosx2的角的集合即y=,2cosx1的te義域?yàn)橐回Ｒ回?，一一x2k%<x<2k%+kez.階段3體驗(yàn)落實(shí)評(píng)價(jià)1.已知角a終邊經(jīng)過P3, J ,則cos a等于（）1A.21D. 土 2【解析】 由三角