函數(shù)單調(diào)性和曲線凹凸性

1、關于函數(shù)單調(diào)性和曲線凹凸性現(xiàn)在學習的是第一頁，共50頁定理定理1.(函數(shù)單調(diào)性的判別法).(1)若x(a,b)有 f (x) 0. 則y=f (x)在a,b上單調(diào)增加;(2)若x(a,b)有f (x) 0.則y=f (x)在a,b上單調(diào)減少;設y=f (x)C(a,b), 且在(a,b)內(nèi)可導.證證: x1, x2 a,b 且x10,則f ( )0.故f (x2) f (x1)0, 即 f (x2) f (x1). (2)若f (x)0, 則f ()0. 故f (x2) f (x1)0, 即 f (x2) f (x1). f (x2 ) f (x1 )= f ()(x2 x1 ) (x1 x2

2、)根據(jù)Lagrange中值定理,得出由x1, x2 在a,b上的任意性知f (x)在a, b上單調(diào)增加.于是f (x)在a,b上單調(diào)減少.現(xiàn)在學習的是第三頁，共50頁例例1. 討論y=lnx在(0, +)上的單調(diào)性.解解:)0( 01時當因為xxy由定理1知 y=lnx在(0,+)內(nèi)單調(diào)增加.oxyy=lnx現(xiàn)在學習的是第四頁，共50頁例例2. 討論f (x)=x36x2+9x3的單調(diào)性.解解: f (x)=3x212x+9以x1=1, x2=3為界將f (x)的定義域(,+)分成三個部分區(qū)間(, 1), (1, 3), (3, +).當 x0, 當1x3時: f (x)3 時: f (x)0

3、, = 3(x1)(x3)所以f (x)單調(diào)增加;所以f (x)單調(diào)減少;所以f (x)單調(diào)增加.現(xiàn)在學習的是第五頁，共50頁10331yx故 f (x) 在 (, 1) (3, +) 內(nèi)單調(diào)增加，在(1, 3)內(nèi)單調(diào)減少.現(xiàn)在學習的是第六頁，共50頁例例3. 討論f (x)=x3的單調(diào)性.解解: 因為f (x)=3x20 (x 0) 由定理1知 f (x)=x3在(, 0)和(0, +)內(nèi)均單調(diào)增加.這里 x=0 時 f (0)=0. 但x0時有f (x)0時,有f (0) 0 時 x ln(1+ x)y= f ( x) f (x)0思考思考問題問題現(xiàn)在學習的是第八頁，共50頁oxyy =x

4、2xy 現(xiàn)在學習的是第九頁，共50頁oxyx1x2xf (x1)f (x2)AB 在曲線 y=f (x)上任取兩點 A(x1, y1)和 B(x2, y2)，txxxx)(212tyyyy)(212固定 t(0, 1) 得 (x1, x2)內(nèi)一點t0, 1txxxx)(21221)1 (xttx則弦 AB 的參數(shù)方程為：現(xiàn)在學習的是第十頁，共50頁oxyx1x2xf (x1)f (x2)()1 ()(21xftxtfAB)1 (21xttxf這時，弦上對應點縱坐標為)()1 ()()(21212xftxtftyyy而曲線弧上對應點縱坐標為)1 (21xttxf有)()1 ()()1 (2121

5、xftxtfxttxf現(xiàn)在學習的是第十一頁，共50頁x1x2xf (x1)f (x2)oxyAB)1 (21xttxf)()1 ()(21xftxtf)()1 ()()1 (2121xftxtfxttxf有現(xiàn)在學習的是第十二頁，共50頁定義定義1: 設f (x)C ( a, b ) ，x1, x2 a, b (x1x2)和 t(0, 1), 若有則稱曲線y=f (x)在a, b上是凹的(凸的).)()1 ()()1 (2121xftxtfxttxf)()1 ()()1 (2121xftxtfxttxf()現(xiàn)在學習的是第十三頁，共50頁oxyoxy定理定理2. 設f (x)C a,b且在(a,b

6、)內(nèi)可導.則曲線 y=f (x) 在a, b上為凹的(凸的)充分必要條件是 f (x)在(a, b)內(nèi)單調(diào)增加(減少).現(xiàn)在學習的是第十四頁，共50頁定理定理3. (曲線凹凸的判別法) 設 f (x)C(a, b)且在(a, b)內(nèi)具有二階導數(shù).(1)若x (a,b), 有f (x)0. 曲線y=f (x)在a, b上是凹的.(2)若x (a,b), 有f (x)0. 曲線y=f (x)在a, b上是凸的.現(xiàn)在學習的是第十五頁，共50頁例例4. 討論曲線y=lnx在(0, +)內(nèi)的凹凸性.解解:)0( 012時因為 xxy由定理3知曲線 y=lnx在(0, +)內(nèi)是凸的. oyx1y=lnx現(xiàn)

7、在學習的是第十六頁，共50頁例例5. 討論曲線 y=x3 的凹凸性.解解: y=6x當 x0時, y0時, y 0. 這里點(0, 0)稱曲線 y=x3 的拐點.故 y=x3在(, 0內(nèi)是凸弧.故 y=x3 在 0, +) 內(nèi)是凹弧.0yxy=x3現(xiàn)在學習的是第十七頁，共50頁 一般地，設f (x)C ( U ( x0) ), 若曲線 y=f (x)在點(x0, f (x0)處左右兩側(cè)凹凸性相反，則稱 (x0, f (x0) 為該曲線的拐點.現(xiàn)在學習的是第十八頁，共50頁定義1中有 y=f (x)凹 f (t x1+(1t)x2) 0, y0 且 xy 時，有，)(212nnnyxyx其中n1

8、.證證：令 f ( t )= tn. ( t 0 )f ( t )=n(n1) t n2 0. ( t 0)故t 0時 f (t)的曲線為凹的.取 x 0, y 0 得)(212nnnyxyx現(xiàn)在學習的是第二十頁，共50頁3-5 函數(shù)的極值與最大值最小值函數(shù)的極值與最大值最小值y y= f ( x )x0有 f (x) f (x0) )定義定義1. 設f (x)在U(x0)內(nèi)有定義. 若)(0 xUx(極小值).(極小值點).點x0稱為極大值點現(xiàn)在學習的是第二十一頁，共50頁定理定理1. . (Fermat) 若f (x)在x0可導, 且在 x0 取得極值, 則 f (x0)=0.使 f (x

9、) 為零的點稱為f (x)的駐點.現(xiàn)在學習的是第二十二頁，共50頁(1)可導函數(shù)的極值點必是駐點. 但其逆命題不成立. (2)連續(xù)函數(shù)在其導數(shù)不存在的點處,也有可能取得極值. 0yxy=|x|0yxy=x3例如y=x3在x=0處不取極值.例如y=|x|在x=0處有極小值f (0)=0.現(xiàn)在學習的是第二十三頁，共50頁0yxx00yxx0(1)當 x0,當 xx0時, f (x) 0, 則f (x)在 x0 處取極大值;(2)當 xx0 時, f (x)x0時, f (x)0, 則f (x)在x0處取極小值.定理定理2. (判別條件I ) 設f (x)C(U(x0), 在)(0 xU可導.內(nèi)若在

10、)(0 xU現(xiàn)在學習的是第二十四頁，共50頁證證：(1) 在內(nèi))(0 xU當 x0. 故 f (x) 單調(diào)增加，有 f (x) x0時，f (x) 0. 故 f (x) 單調(diào)減少，也有 f (x) f ( x0 ).從而)(0 xUx有f (x) f ( x0 ).即 f ( x0 )為極大值.同理證(2).現(xiàn)在學習的是第二十五頁，共50頁例例1. 求f (x)=x33x29x+5的極值.解解: f (x)=3x2 6x 9 =3(x+1)(x3)令f (x)=0 解得駐點 x1= 1, x2=3x= 1: x0. x1時 f (x)0 x=3: x3時 f (x)3時 f (x)0 極大值f

11、 (1)=10. 極小值 f (3)= 22.現(xiàn)在學習的是第二十六頁，共50頁例例2. 求f (x)=32x的極值解解: 3313232)( xxxf)0(xx 0時, f (x) 0時, f (x) 0故得 極小值f (0)=032xy xy0現(xiàn)在學習的是第二十七頁，共50頁定理定理3. (判別條件II) 設f (x)在U(x0)內(nèi)二階可導. 且f (x0)=0. f (x0)0, 則(1) 當 f ( x0) 0 時, f (x)在 x0 取極小值.現(xiàn)在學習的是第二十八頁，共50頁證證: (1) 由 f (x0) 0 時, 按定義得0)( )( lim000 xxxfxfxx根據(jù)極限保號性

12、，在U( x0 ) 內(nèi)有0)( )( 00 xxxfxf又由于f (x0 )=0 所以0)( 0 xxxf現(xiàn)在學習的是第二十九頁，共50頁 當 x0, xx0時 f (x)0, 同理可證(2).于是在U(x0)內(nèi), 從而由定理2知 f (x) 在 x0 取極大值.現(xiàn)在學習的是第三十頁，共50頁xxxfcossin)( ,41x例例3. 求xxxfcossin)(的極值.解解: f (x) 以2 為周期，故考慮區(qū)間0, 2 )令 f (x)=cosxsinx = 0又有得駐點452x, 0)4(f. 0)45(f現(xiàn)在學習的是第三十一頁，共50頁由定理3知 為極大值 2)4(f為極小值 2)45(

13、f由周期性知)( 245 24Zkkxkx和分別為 f (x) 的極大值點和極小值點.現(xiàn)在學習的是第三十二頁，共50頁若 f (x)C( a, b ), 且在(a, b)內(nèi)可導，則 y = f (x)凹(凸) f (x)( )(x0, f (x0)是 y=f (x)拐點 x0是 f ( x) 極值點.定理定理4. 若f (x0)存在，且點(x0, f (x0)是曲線 y=f (x)的拐點，則 f (x0) = 0現(xiàn)在學習的是第三十三頁，共50頁0yx定理定理5. (拐點的充分條件) 設f (x)C(U(x0), 且在)(0 xU內(nèi)點在)(0 xU內(nèi)二階可導，若 f ( x )x0的兩側(cè)符號相反

14、，則(x0, f (x0)是拐點.y0 y=x4現(xiàn)在學習的是第三十四頁，共50頁例例4. 確定曲線y=3x44x3+1的凹凸和拐點.解：解：由可得 )32(36xxy x1=0, 322x顯然 x 00 :320yx0 :32yx故曲線在(, 0和32 0,) ,32上為凹的，在上為凸的.xyy=3x44x3+113210.)2711 ,32( ) 1 , 0( 是拐點和點現(xiàn)在學習的是第三十五頁，共50頁例例5. 確定曲線. 3的凹凸性和拐點xy 解：解：,3132xy . 92 32xxy在 x=0 處 y 不存在. 但 x 0 x 0: y 0 時因其唯一. 故也是最小值點.于是當302V

15、r 時，S最小. 故所用材料能最省. 此時.2 20rrVh現(xiàn)在學習的是第四十五頁，共50頁例例7. 某企業(yè)開發(fā)出一種新產(chǎn)品. 已知生產(chǎn)銷售 x件產(chǎn)品所需成本費用C = 25000+5x(元). 若每件產(chǎn)品銷售價為，)60001 (30 xP問生產(chǎn)銷售多少件產(chǎn)品，能使企業(yè)的利潤最大？這時每件產(chǎn)品的銷售價定為多少？解解：目標函數(shù):= x P Cxxx525000)60001 (30利潤 L = 收入成本現(xiàn)在學習的是第四十六頁，共50頁25000252002xx ,10025xL. 2500 . 01001為極小值點知由xL亦即最大值點. 故生產(chǎn)銷售 x=2500 件產(chǎn)品可使企業(yè)的利潤最大，此時)(5 .17235)600025001 (30元P2500 0 xL得駐點令求解：現(xiàn)在學習的是第四十七頁，共50頁例例8. 寬為2m的支渠道垂直地流向?qū)挒?m 的主渠道，若在其中漂運原木，問能通過的原木的最大